1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第2课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以分层设计为核心，通过基础概念辨析、运算应用到综合几何证明的三阶进阶，系统巩固空间向量研究位置关系的知识，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|空间向量平行、共线参数求解、法向量概念|以选择填空题为主，强化坐标运算（如题型01-04）| |提升层|模长计算、位置关系证明|结合多知识点综合应用（如题型05的线面关系证明）| |综合层|共面向量定理、几何体中动态问题|融入正方体、正三棱柱情境，培养数学建模（如多选题14、18）|

分层作业 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第2课时） 目 录 1 题型01 空间向量平行的坐标表示 1 题型02由空间向量共线求参数或值 2 题型03平面法向量的概念及辨析 2 题型04空间向量模长的坐标表示 3 题型05空间位置关系的向量证明 3 题型06空间共面向量定理的推论及应用 3 4 5 6 题型01 空间向量平行的坐标表示题型01 1.（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2.（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 题型02由空间向量共线求参数或值题型02 4.（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.（25-26高二上·山东青岛·期中）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6.（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知空间向量与共线，则（    ） A．-6 B．6 C．-4 D．4 题型03平面法向量的概念及辨析题型03 7.（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 8.（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝________． 9.（25-26高二上·上海·期中）已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 题型04空间向量模长的坐标表示题型04 10.25-26高二上·江西·阶段检测）已知向量，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D． 11.（25-26高二上·广东广州·期中）设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 12.（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 题型05空间位置关系的向量证明题型05 13.（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，则______． 14.（2025·山东青岛·一模）（多选题）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 15.（24-25高二上·福建福州·期中）已知向量，分别是平面、的法向量，若，则___________. 题型06空间共面向量定理的推论及应用题型06 16.（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）（多选题）关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 C．平面，的法向量分别为，，则 D．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面 17.（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）（多选题）关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 C．平面，的法向量分别为，，则 D．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面 18.（24-25高二上·广东江门·阶段检测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，已知点，则三点共线 B．已知，则在上的投影向量为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 1.（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 2.（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 3.（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 4.（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则___ 5.（24-25高二上·江西萍乡·期中）（多选题）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 6.（25-26高二上·福建福州·期中）（多选题）已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 1.（25-26高二上·河北·阶段检测）若，，三点共线，则______. 2.（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）（多选题）若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 4.（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选题）如图，棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，动点满足，则下列结论正确的有（  ） A．若则直线与直线为相交直线 B．若四面体的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 C．若，则平面截正方体所得截面可以为五边形 D．若且与面积之比为2，则线段长度最短为2 1.（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 2.（23-24高三上·河北唐山·期末）（多选题）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（    ） A． B． C． D．平面 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第2课时） 目 录 1 题型01 空间向量平行的坐标表示 1 题型02由空间向量共线求参数或值 2 题型03平面法向量的概念及辨析 3 题型04空间向量模长的坐标表示 4 题型05空间位置关系的向量证明 5 题型06空间共面向量定理的推论及应用 7 9 12 15 题型01 空间向量平行的坐标表示题型01 1.（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由，得，使得， 则， ，解得. 2.（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，所以，即. 3.（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，故． 题型02由空间向量共线求参数或值题型02 4.（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，可知，即， 得，解得：，. 故选：D 5.（25-26高二上·山东青岛·期中）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，所以，可得， 解得，则，故D正确. 故选：D 6.（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知空间向量与共线，则（    ） A．-6 B．6 C．-4 D．4 【答案】B 【详解】因为空间向量与共线， 不妨设，则，所以，解之得， 则. 故选：B 题型03平面法向量的概念及辨析题型03 7.（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，解得， 故选：B． 8.（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝________． 【答案】-1 【详解】因为，所以，故存在实数使得：， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 9.（25-26高二上·上海·期中）已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 【答案】 【详解】因为平面平面，与的法向量分别为，，所以， 所以，即，所以， 解得，所以. 故答案为： 题型04空间向量模长的坐标表示题型04 10.25-26高二上·江西·阶段检测）已知向量，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，解得， 所以, 故选：C 11.（25-26高二上·广东广州·期中）设，，，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，则，解得，则 因为，则，解得， 则，则，则. 故选：C. 12.（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意， 则与向量方向相同的单位向量是. 故选：B 题型05空间位置关系的向量证明题型05 13.（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，则______． 【答案】/ 【详解】由题意可得，则，可得，解得. 故答案为：. 14.（2025·山东青岛·一模）（多选题）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】AD 【详解】取的中点，建立如图所示空间直角坐标系：    设底面边长为2， 则， 所以，所以， A. 当时，，，，所以，故A正确； B. 当时，，，，所以不成立，故B错误； C.，，故C错误； D. 因为，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 使得平面，所以，所以，，符合，故D正确； 故选：AD. 15.（24-25高二上·福建福州·期中）已知向量，分别是平面、的法向量，若，则___________. 【答案】 【详解】因为向量，分别是平面、的法向量，且，则， 则，解得，，故. 故答案为：. 题型06空间共面向量定理的推论及应用题型06 16.（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）（多选题）关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 C．平面，的法向量分别为，，则 D．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面 【答案】BD 【详解】对于A，直线l的方向向量为，平面的法向量为， 所以，则，故错误； 对于B，直线l的方向向量为，直线m的方向向量， 由，则，故正确 对于C，平面，的法向量分别为，， 所以，，则，故错误； 对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确. 故选：BD. 17.（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）（多选题）关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 C．平面，的法向量分别为，，则 D．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面 【答案】BD 【详解】对于A，直线l的方向向量为，平面的法向量为， 所以，则，故错误； 对于B，直线l的方向向量为，直线m的方向向量， 由，则，故正确 对于C，平面，的法向量分别为，， 所以，，则，故错误； 对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确. 故选：BD. 18.（24-25高二上·广东江门·阶段检测）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，已知点，则三点共线 B．已知，则在上的投影向量为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则 【答案】BD 【详解】A选项，可得， 注意到，坐标的对应分量不成比例， 即不共线，从而三点不共线，A选项错误； B选项，根据投影向量公式可得， 在上的投影向量为，B选项正确； C选项，注意到，则，C选项错误； D选项，由于点为平面上的一点，即四点共面， 根据共面条件可知，，即，D选项正确. 故选：BD. 1.（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数、空间向量平行的坐标表示 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 2.（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间平行向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 3.（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 4.（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则___ 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据两个平面平行，则其法向量也平行，由共线向量定理，列方程组，可求得，即可得到答案. 【详解】因为平面的一个法向量为，平面β的一个法向量为，， 所以，则，所以，解得， 所以. 故答案为：. 5.（24-25高二上·江西萍乡·期中）（多选题）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AD 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量平行的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】由空间向量的坐标运算即可判断A；求出和即可判断B；假设，则存在实数使得，验证无解，即可判断C；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，假设，则存在实数使得，则，无解，所以假设错误，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 6.（25-26高二上·福建福州·期中）（多选题）已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、求空间向量的数量积 【分析】利用空间向量减法的坐标运算判断A，利用模长公式判断B，利用数量积的坐标运算判断C，利用平行向量的定义判断D即可. 【详解】由题意得， 对于A，由空间向量减法的坐标运算法则得，故A正确， 对于B，由空间向量的模长公式得，故B正确， 对于C，由空间向量的数量积的坐标运算法则得，故C正确， 对于D，设，可得，所以，此时方程组无解， 得到向量与向量不平行，故D错误. 故选：ABC 1.（25-26高二上·河北·阶段检测）若，，三点共线，则______. 【答案】 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】三点共线可得到与共线，利用向量共线定理即可求出答案. 【详解】，， 若，，三点共线，则向量与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得， 故答案为：. 2.（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）（多选题）若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解. 【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确； B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确； D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 3.（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量几何意义列方程，解之即可求得的值. 【详解】由直线平面，可得，则 则，解得 故选：D. 4.（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选题）如图，棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，动点满足，则下列结论正确的有（  ） A．若则直线与直线为相交直线 B．若四面体的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 C．若，则平面截正方体所得截面可以为五边形 D．若且与面积之比为2，则线段长度最短为2 【答案】ABD 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量平行的坐标表示、判断正方体的截面形状、多面体与球体内切外接问题 【分析】证明直线与直线共面且不平行，即可判断A；把四面体补成长方体，利用长方体外接球半径的求法可判断B；作出其截面可判断C；把面积比转化为关于的方程，再利用几何意义把问题转化成求圆上的点到定点的距离即可判断D. 【详解】对于选项，如图1，若，则点为中点，连接， 易证，则四点共面，又， 故直线与直线为相交直线，故选项A正确； 对于选项B，如图2，四面体的外接球即为长方体的外接球， 半径为，球的表面积为，故选项B正确； 对于选项C，如图3，取棱中点为，若， 则点在线段上，过点作的平行线与棱交于点， 满足，连接，得到截面，为四边形，故选项C错误； 对于选项D，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，，由知， 设点为，则， 化简得，得到以点为圆心，为半径的圆，如图4所示， 又因为，故点轨迹为圆心角为的圆弧，线段长度最短为，故D正确. 1.（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】问题转化为求的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2.（23-24高三上·河北唐山·期末）（多选题）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（    ） A． B． C． D．平面 【答案】CD 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】取的中点，连接，建系，利用空间向量逐项分析判断. 【详解】取的中点，连接， 由题意可知：， 因为平面，且平面，可得， 则，即两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 对于选项A：因为，即不相互垂直，故A错误； 对于选项B：因为，即不相互平行，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：因为， 所以平面，故D正确； 故选：CD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $