1.2.1空间的点、直线与空间向量课堂限时训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二年级上学期数学课堂限时训练 考试范围：人教B版选择性必修一 1.2.1空间的点、直线与空间向量 建议用时：40分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题8分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设的方向向量为，的方向向量为，若，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 本题考查直线方向向量的知识与空间向量的数量积运算，属于基础题． 由得从而解得． 【解答】解：， 解得， 故选B． 2.空间中，已知两条直线，，其方向向量分别为，，则“，”是“与所成的角为”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】由，， 可以推出与所成的角为， 但与所成的角为时， ，或，， 所以“，”是“与所成的角为”的充分不必要条件． 3.直三棱柱中，，，为的中点．异面直线与所成角的余弦值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答】 解：直三棱柱中，，，为的中点． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选D． 4.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查异面直线所成角的余弦值等基础知识，是基础题． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答】 解：在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，且底面为正方形， 则，，，，， ，， 则异面直线与所成角的余弦值为： ． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，分别为直线，的方向向量不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中，正确的是 A. B. C. D. 【答案】ABCD  【分析】 本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题． 根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案． 【解答】 解：因为，分别为直线，的方向向量不重合，分别为平面的法向量不重合， A.，故正确； B.，正确； C.正确； D.正确． 故选ABCD． 6.在长方体中，底面是边长为的正方形，，则(    ) A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD  【分析】 本题主要考查异面直线的夹角，线面平行的判断，点到平面的距离等，属于基础题． 根据直四棱柱的结构特征找到直线与所成角即可判断，，根据线面平行的判定定理判断，根据等体积法求点到平面的距离可判断． 【解答】 解：就是异面直线和所成的角或其补角， 取的中点，连接， 因为，，所以， 所以，故A正确，B错误； 且平面，平面， 平面，故C正确； 设点到平面的距离为， ， ，故D正确． 故选ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为           ． 【答案】  【分析】 本题考查直线与直线所成角的余弦值的向量求法，属于基础题． 建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案． 【解答】 解：以为坐标原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在正三棱柱中， 设，则， 则， ， 故，， 设异面直线与所成角为，则 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 8.如图，长方体中，，，为上一点，且，为的中点，为上的动点，则当时，          ． 【答案】  【解析】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 长方体中，， ，为上一点，且， 为的中点，为上动点， ，，， 设， ，， ，，解得， ，， ，，故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在棱长是的正方体中，，分别为，的中点． 求异面直线与所成角的大小． 证明：平面． 【答案】解：根据题意，建立如图坐标系．于是： ，，，，， ，，，． ， ， 异面直线和所成的角为． 证明：， ，即． ， ，即． 又，平面，且， 平面． 10.本小题分 如图，在正方体中，，点为的中点． 证明：直线平面； 求异面直线与所成角的正弦值． 解：证明：连接交于点， 因为，分别是，的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面． 由知，， 所以异面直线与所成角即直线与的夹角，即， ， 于是，所以， 所以． 故异面直线与所成角的正弦值为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级上学期数学课堂限时训练 考试范围：人教B版选择性必修一 1.2.1空间的点、直线与空间向量 建议用时：40分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题8分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设的方向向量为，的方向向量为，若，则等于(     ) A. B. C. D. 2.空间中，已知两条直线，，其方向向量分别为，，则“，”是“与所成的角为”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.直三棱柱中，，，为的中点．异面直线与所成角的余弦值是(     ) A. B. C. D. 4.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，分别为直线，的方向向量不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中，正确的是 A. B. C. D. 6.在长方体中，底面是边长为的正方形，，则(    ) A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为           ． 8.如图，长方体中，，，为上一点，且，为的中点，为上的动点，则当时，          ． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在棱长是的正方体中，，分别为，的中点． 求异面直线与所成角的大小． 证明：平面． 10.本小题分 如图，在正方体中，，点为的中点． 证明：直线平面； 求异面直线与所成角的正弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $