精品解析：山西太原市外国语学校2026-2027学年第一学期10月学情自测八年级数学试卷

太原市外国语学校限时练（1） 一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 判断下列各组数，其中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列二次根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数一定是无理数 C. 直角三角形中斜边是最长的边 D. 若，则三角形一定不是直角三角形 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的相反数是__________． 12. 比较大小：__________2（填“>”“<”或“=”）． 13. 若点与点关于轴对称，则____________． 14. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为___________ 15. 在中，，高，则的周长是 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 下面是李华同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应任务： 　第一步 　第二步 　第三步 　第四步 　第五步 （1）任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是_________________（用含，的式子表示，并写出，的取值范围）． （2）任务二：第_______步开始出现错误，该式运算后的正确结果是______________． 18. 如图，在平面直角坐标系中描出下面各点：，，，． （1）点到轴的距离为________，到轴的距离为_________． （2）将点向左平移________个单位，它与点重合； （3）点与点连线段恰好穿过坐标原点，该线段长度为_________． 19. 如图， 在 中， 求 的面积． 20. 双碳战略下，我国大力建设新型储能电站，为风电、光伏等清洁能源保驾护航．科研人员在研发大容量储能电池时建立数学模型：储能参数与电池单体体积满足关系式：，当时，求的值． 21. 如图矩形中，，，点在线段上．点在线段上，沿折叠，使落在边上的处，若． （1）直接写出__________； （2）求的长． 22. 阅读探究：三角形三边长与面积的关系． 古希腊数学家发现：已知三角形三边长，可以不用高，直接用三边求出面积．定义：若一个三角形的三边长分别为、、，令半周长，则三角形面积公式为：这个公式被称为海伦公式． 请你利用以上新知识，完成下列问题： （1）如图，等腰的三边长分别为5、5、6，请你用作高的方法求出它的面积，再利用题目给出的海伦公式计算该三角形面积，结果一致吗？ （2）已知三边长为、、5，直接利用海伦公式写出三角形面积________． 23. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． （1）___________，____________． （2）如图2，向右匀速平移，的直角边在射线上向右匀速移动，移动速度为2个单位/秒，移动时间为秒，连接． ①在移动过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市外国语学校限时练（1） 一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】带根号的数需先化简，再判断是否为无理数． 【详解】解：A、，为有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、开方开不尽，是无理数，符合题意； D、，为有理数，不符合题意． 2. 判断下列各组数，其中为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数就是能构成直角三角形三边的三个正整数‌，它们要同时满足“是正整数”和“符合勾股定理”这两个条件． 【详解】解：A、，，均为小数，均不是正整数，不是勾股数； B、，且，，均为正整数，是勾股数； C、，，，不是勾股数； D、，，均为分数，均不是正整数，不是勾股数． 3. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴4的平方根是． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 5. 下列二次根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，运算错误，不符合题意． 6. 已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长为6，8， ∴斜边长为， ∴ 解得． 7. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为，且点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴， 解得，即． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数一定是无理数 C. 直角三角形中斜边是最长的边 D. 若，则三角形一定不是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边最长的性质可初步锁定正确选项，再通过举反例排除其余错误选项． 【详解】解：A. 无限循环小数是有理数，不是无理数，故A错误； B. 如，是有理数，故B错误； C. 直角三角形中直角所对的边为斜边，是最长的边，故C正确； D. 若不是三角形的斜边，三角形仍可能是直角三角形，如为斜边时满足，此时，但三角形是直角三角形，故D错误． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 10. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：C． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的相反数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相反数的概念，掌握互为相反数的两个数只有符号不同是关键． 12. 比较大小：__________2（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】通过估算的取值范围，利用不等式性质即可比较两个数的大小． 【详解】解：∵ ∴，即 ∴，即 不等式两边同除以，得 ∴． 13. 若点与点关于轴对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴． 14. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为___________ 【答案】##厘米 【解析】 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴（负值舍去）． 15. 在中，，高，则的周长是 _____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：当高在的内部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 当高在的外部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 综上所述，的周长是或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式． 17. 下面是李华同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应任务： 　第一步 　第二步 　第三步 　第四步 　第五步 （1）任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是_________________（用含，的式子表示，并写出，的取值范围）． （2）任务二：第_______步开始出现错误，该式运算后的正确结果是______________． 【答案】（1）（，） （2）二； 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的定义与运算法则进行判断即可； （2）利用二次根式的运算法则重新计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，第一步化简为二次根式的除法法则，即， 由二次根式的定义可知，，， ∴第一步化简的依据是（，）； 【小问2详解】 解：第二步出错，原因为除法没有分配律， 正确步骤如下： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中描出下面各点：，，，． （1）点到轴的距离为________，到轴的距离为_________． （2）将点向左平移________个单位，它与点重合； （3）点与点连线段恰好穿过坐标原点，该线段长度为_________． 【答案】（1）描点如下： ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系及点到坐标轴的距离进行求解即可； （2）根据坐标的平移进行求解即可； （3）根据两点距离公式可进行求解． 【小问1详解】 解：图略， 由可知：点到轴的距离为，到轴的距离为． 【小问2详解】 解：由，可知：将点向左平移个单位，它与点重合； 【小问3详解】 解：根据两点距离公式可得：． 19. 如图， 在 中， 求 的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理；根据已知利用勾股定理的逆定理求得，再根据勾股定理求得的长即可． 【详解】∵ ∴，即是直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 20. 双碳战略下，我国大力建设新型储能电站，为风电、光伏等清洁能源保驾护航．科研人员在研发大容量储能电池时建立数学模型：储能参数与电池单体体积满足关系式：，当时，求的值． 【答案】的值为 【解析】 【详解】解：把代入得：， ∵， ∴． 21. 如图矩形中，，，点在线段上．点在线段上，沿折叠，使落在边上的处，若． （1）直接写出__________； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，设，则，即，然后运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图：过G作于H，则，由折叠的性质可得，设，则，然后运用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴， 设，则， ∵沿折叠，使落在边上的处，， ∴， ∵， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：如图：过G作于H，则， ∵沿折叠，使落在边上的处， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴． 22. 阅读探究：三角形三边长与面积的关系． 古希腊数学家发现：已知三角形三边长，可以不用高，直接用三边求出面积．定义：若一个三角形的三边长分别为、、，令半周长，则三角形面积公式为：这个公式被称为海伦公式． 请你利用以上新知识，完成下列问题： （1）如图，等腰的三边长分别为5、5、6，请你用作高的方法求出它的面积，再利用题目给出的海伦公式计算该三角形面积，结果一致吗？ （2）已知三边长为、、5，直接利用海伦公式写出三角形面积________． 【答案】（1）一致 （2）5 【解析】 【分析】（1）如图：过A作于D，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求得的面积，先运用海伦公式求得的面积；然后比较两次计算结果即可； （2）直接运用海伦公式、平方差公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：如图：过A作于D， ∵，， ∴， ∴， ∴等腰的面积为， ∵等腰的三边长分别为5、5、6， ∴， ∴由海伦公式可得等腰的面积为． ∴结果一致． 【小问2详解】 解：∵三边长为、、5， ∴， ∴由海伦公式可得的面积为 ． 23. 如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． （1）___________，____________． （2）如图2，向右匀速平移，的直角边在射线上向右匀速移动，移动速度为2个单位/秒，移动时间为秒，连接． ①在移动过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1） （2）①能，；②，3， 【解析】 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则每一个数都为零可得，即可得到m、n的值； （2）①由于，点C在上， ，故只能是，根据勾股定理得出关于t的方程求出t的值即可． ②先根据勾股定理算出的长及用含t的式子表示出 ，然后分、、三种情况，分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解∶∵，  ∴ ∴． 【小问2详解】 解：①能． 由题意可知：，则， ∴， ∵，点C在上，， ∴只能是， ∴， 即 ， 解得． ∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时． ②由①可知，， ∵，， ∴， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，解得； 当时，即时， ， 解得． 综上，满足条件的的值，3，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $