精品解析：山西太原市第五中学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段测试数学试题

太原五中2026—2027学年度第一学期 八年级数学阶段知识落实 （2026.10） 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（ ） A. 算术平方根等于本身的数只有0 B. 平方根等于本身的数是0和1 C. 立方根等于本身的数是0和 D. 负数没有立方根 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 6. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（ ） A. B. C. D. 8. 利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（ ） A. 153 B. 485 C. D. 9. 直角三角形两条边长分别是和，则这个直角三角形的第三边长（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小________．（填“”，“”或者“”） 12. 已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 13. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 15. 如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ______． 三．解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 18. 如图所示一块四边形零件，已知，测得，，，，求这个零件的面积． 19. 在应县木塔进行修缮时，工作人员需要进行高空坠物测试，从而确定防护网的安装高度．在模拟高空坠物实验时，如果不计空气阻力，物体的下落高度（单位：）与它到达地面时的速度（单位：）满足：．实验中，测试物体从距地面的高度下落． （1）求该物体到达地面时的速度（结果保留根号）． （2）若物体到达地面的速度超过就会触发安全警报，请判断本次实验是否会触发安全警报，并说明理由． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为．按要求完成下列作图． （1）在图中，画一条长度为的线段． （2）在图中，画一个面积为的正方形． （3）在图中，画一个（标明顶点，，）使得，， 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 22. 阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 （1） 由此可归纳出结论： _________． （2）根据上面的结论计算： 类似的： __________； （3）类比应用：__________； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设点运动的时间为． （1）当点运动到线段的中点时，连接，求的长度． （2）在点运动过程中，当时，求的值． （3）在点运动过程中，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2026—2027学年度第一学期 八年级数学阶段知识落实 （2026.10） 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，故选项符合题意； C、是有限小数，是有理数，故选项不符合题意； D、是整数，是有理数，故选项不符合题意． 2. 下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（ ） A. 算术平方根等于本身的数只有0 B. 平方根等于本身的数是0和1 C. 立方根等于本身的数是0和 D. 负数没有立方根 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的定义依次验证4个选项． 【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是0和1，故A项不符合题意； B、平方根等于本身的数只有0，故 B项不符合题意； C、立方根等于本身的数是0和，故C项符合题意； D、负数有立方根，故D项不符合题意． 故答案为C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 4. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理及三角形三边关系逐一分析各选项，判断是否能构成直角三角形． 【详解】A.，， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； B.设三边比例为， 即，，， 此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），因此无法构成三角形，更无法判定为直角三角形，故此选项符合题意； C. ，即，符合勾股定理， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； D.， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 5. 如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A. 9 B. 8 C. 27 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可． 【详解】∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4=x−3． 解得：x=9． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键． 6. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可． 【详解】A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意； D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键． 7. 如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 8. 利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（ ） A. 153 B. 485 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位，即可得出结果． 【详解】解：， ． 9. 直角三角形两条边长分别是和，则这个直角三角形的第三边长（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】未明确直角三角形的斜边，需分类讨论结合勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况计算．当长为的边为直角边时，第三边为斜边，第三边长为． 当长为的边为斜边时，第三边为直角边，第三边长为． 故第三边长为或． 10. 如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得，，利用勾股定理，解答即可． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，得，，， ，， 根据勾股定理，得， 解得． 二．填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小________．（填“”，“”或者“”） 【答案】 【解析】 【分析】比较两个正数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系． 【详解】解：∵和都是正数， ∴可通过比较平方的大小判断原数大小； ∵，， ∴， ∴． 12. 已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再计算得到. 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 将代入，得， ∴. 13. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，结合数轴可得答案． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理得， ∴， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的实数是． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 【答案】 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴（），（）， 在中，（）． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 15. 如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质，化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则解答即可； （3）利用二次根式的混合运算，解答即可； （4）根据二次根式的分母有理化，完全平方公式，二次根式的运算，解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1） （2）三，计算错误 （3） 解： ． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式解得； （2）根据平方差公式进行判断即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误； 【小问3详解】 略 18. 如图所示一块四边形零件，已知，测得，，，，求这个零件的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理可知，再根据勾股定理的逆定理可知，即可求解面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， 在中，, ∴为直角三角形，, ∴． 19. 在应县木塔进行修缮时，工作人员需要进行高空坠物测试，从而确定防护网的安装高度．在模拟高空坠物实验时，如果不计空气阻力，物体的下落高度（单位：）与它到达地面时的速度（单位：）满足：．实验中，测试物体从距地面的高度下落． （1）求该物体到达地面时的速度（结果保留根号）． （2）若物体到达地面的速度超过就会触发安全警报，请判断本次实验是否会触发安全警报，并说明理由． 【答案】（1）该物体到达地面时的速度为． （2）解：本次实验不会触发安全警报． ∵由（1）得物体落地速度的平方， 又，，且， ∴，因此不会触发安全警报． 【解析】 【分析】（1）将下落高度代入给定公式，求解速度的正根． （2）通过比较速度平方的大小，判断落地速度是否超过警报阈值． 【小问1详解】 解：由题意得，代入得， ， ∵， ∴． 答：该物体到达地面时的速度为． 【小问2详解】 略． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为．按要求完成下列作图． （1）在图中，画一条长度为的线段． （2）在图中，画一个面积为的正方形． （3）在图中，画一个（标明顶点，，）使得，， 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想，结合勾股定理即可作图； （2）利用数形结合的思想，先根据网格特点作出,依次作出,即可求解； （3）利用数形结合的思想，根据勾股定理表示即可求解． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可知：，线段即为所求； 【小问2详解】 解：根据勾股定理可知：，依次可知, 正方形即为所求； 【小问3详解】 解：根据勾股定理可知,,, 三角形即为所求； ． 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】（1）海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，， ∴， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理求得，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 答：台风影响海港持续的时间为． 22. 阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 （1） 由此可归纳出结论： _________． （2）根据上面的结论计算： 类似的： __________； （3）类比应用：__________； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【小问1详解】 解： 以此类推可得， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设点运动的时间为． （1）当点运动到线段的中点时，连接，求的长度． （2）在点运动过程中，当时，求的值． （3）在点运动过程中，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）． （2）． （3） 或 ． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得 ，则 ，在 中用勾股定理求 ； （2）点 在线段 上时 ，不可能垂直，故点 在 的延长线上，设 ，用勾股定理列方程求 ； （3）分 与 两类讨论，结合点 的位置检验，舍去不合题意的解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∵点 是 的中点， ∴． ∵， ∴， 即 的长度为 ． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 若点 在线段 上，则射线 在 的内部， ∴，此时 与 不垂直， ∴点 在 的延长线上， ∴，（）． ∵， ∴， ∴． ∵在 中，， ∴， 即 ， ∴， 解得 ． ∵，符合题意， ∴ 的值为 ． 【小问3详解】 解：分两种情况． ①当 时． ∵， ∴在 中，． 若点 在线段 上，则 ， ∴，此时点 与点 重合， 不存在，舍去； 若点 在 的延长线上，则 ， ∴，，符合题意． ②当 时，． 若点 在线段 上，则 （）， 在 中，， ∴， 即 ， ∴， 解得 ． 此时 ，点 在线段 上，符合题意； 若点 在 的延长线上，则 （）， ∴， 即 ， ∴，， 此时 ，与点 在 延长线上矛盾，舍去． 综上， 的值为 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $