专题05 函数的单调性与最大（小）值专项训练（5题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题05 函数的单调性与最大（小）值重难点五大题型突破 【题型1：定义法判断或证明函数的单调性】 【题型2：求函数的单调区间】 【题型3：根据单调性求参数】 【题型4：利用函数值求最值或值域】 【题型5：利用函数单调性解不等式】 【题型1：定义法判断或证明函数的单调性】 解题技巧： 核心步骤(取值一作差一变形一定号一下结论) 1.取值:在区间内任取x1， x2，设 x1< x2 2.作差:计算 f(x1)-f(x2) 3.变形:因式分解、通分、配方，化成乘积/商式(方便判断正负) 4.定号:判断 f(x1)-f(x2)的正负 5.结论 f(x1)-f(x2)<0→f(x1)＜f(x2),函数单调递增。 F(x1)-f(x2)>0→f(x1)＞f(x2),区函数单调递减个 1．已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 【答案】(1)因为，所以，所以， 所以． (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． (3)． 【分析】（1）直接代入函数表达式算出，再与相加化简完成等式证明； （2）利用函数单调性定义，作差变形，判断差值正负，证明函数单调递增； （3）利用第（1）问结论变形不等式，再利用单调性化简，联立定义域与大小关系解不等式组． 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 2．已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 3．已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 4．已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）略 （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 5．已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 【题型2：求函数的单调区间】 解题技巧：方法 1.图象法:看图上升区间为增区间，下降区间为减区间(最直观) 2.复合函数口诀:同增异减(先求内层函数单调区间，注意定义域优先) 3.分段函数:分段看，单调区间不能随便合并 易错点: 单调区间之间用逗号隔开，不能写并集符号U 定义域优先，单调区间一定是定义域的子集 6．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 7．函数的单调递增区间为__． 【答案】[﹣2，2] 【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16， 令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6， 而g（x）的对称轴是：x=2， 故g（x）在递增，在（2，6]递减， 故函数f（x）在[﹣2，2]递增， 故答案为：[﹣2，2] 【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，求解时注意函数的定义域，属于易错题. 8．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 9．（多选）如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象上升趋势， 由图知：的递增区间为，， 故选：AC． 10．（多选）函数在下列区间（    ）上单调递减． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先将函数解析式写出分段函数型，再画出函数图象，结合图象即可求出函数的单调区间； 【详解】解：因为，函数图象如下所示： 由图可知函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和 故选：AC 【题型3：根据单调性求参数】 解题技巧： 两类考法: 1.一次/二次函数:利用函数图像、对称轴列式例:二次函数 y= ax2+ bx +c，开口向上，对称轴左侧减、右侧增 2.分段函数在 R 上单调: ① 每一段自身满足单调性 ② 分段点处，左边函数值≤(递增)或>(递减)右边函数值(最容易漏的条件) 11．已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 12．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 13．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得； 易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增； 若满足函数在上单调递增， 则分段端点处的函数值需满足，如下图所示： 所以，解得； 综上可得. 故选：A 15．（多选）已知函数，若，都有成立，则下面正确的是为（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．a的取值范围是 D．a的取值范围是 【答案】AC 【分析】由定义可判断函数为增函数，结合临界点建立不等式可求参数. 【详解】因为若，都有成立，则函数为增函数，故A正确； 同时满足，解得. 故选：AC 16．已知函数，满足对任意的实数，都有，则的取值范围是___________. 【答案】. 【解析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可. 【详解】由题意得：在上单调递减， 故，解得， 即的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式. 【题型4：利用函数值求最值或值域】 解题技巧： 核心结论: 单调递增:区间左端点取最小值，右端点取最大值单调递减:区间左端点取最大值，右端点取最小值 适用:闭区间[a,6]上单调函数，最值一定在端点处。 思路:先判断单调性，再代入区间端点算出最值，直接写出值域。 17．已知函数．当时，函数的值域是________ 【答案】 【分析】可以通过将二次函数化为顶点式，再通过其函数特征得出结果． 【详解】由题意得， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，取得最小值，且． 又， 所以， ∴函数的值域是， 18．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由二次函数的图象的性质可得的取值范围． 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 19．已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【分析】根据定义写出函数解析式的分段形式，数形结合确定其单调性并求最小值. 【详解】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 20．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 21．函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 22．已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)证明： ，且， ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）利用函数单调性，可求函数在区间内的最值. 【详解】（1）由函数过点，有， 解得， 所以的解析式为：． （2）略 （3）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 23．已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 【题型5：利用函数单调性解不等式】 解题技巧： 核心原理: 若 f(x)在定义域上单调递增 f(x1)＜f(x2)⟺ x1＜x2 若单调递减: f(x1)＜f(x2)⟺ x1 ＞x2 三步解题模板 1.写出定义域(所有自变量必须在定义域内，不要漏掉!) 2.利用单调性去掉 f，转化普通不等式 3.联立不等式组，取交集得到解集 24．函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. (2) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 25．已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 26．已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由 ，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为 或 或， 即或. 故选：C 27．已知函数的定义域为，若对于，且，有成立，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，原不等式可转化为，利用已知条件和函数单调性的定义判断的单调性，结合给出的特殊点求解即可. 【详解】因为对于，且，有成立， 不妨设，则， 不等式可转化为 令，任取且， 因为，即， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以的解集为， 故选：A 28．已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，变形可得，设，根据单调性的定义，可得的单调性，将条件整理为，根据的单调性，即可得答案. 【详解】由，得，即， 设，则，所以在R上单调递增， 由，得， 因为，所以， 由，可得， 因为在R上单调递增，所以，解得. 故选：A 29．已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2) 设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用赋值法代入求值即可. （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【详解】（1）令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. （2）略 （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 30．已知连续函数满足：①，则有，②当时，． (1)求及的值； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于不等式． 【答案】(1)；． (2) 设且，则，， ， 所以，即在上单调递减． (3) 【分析】(1) 令，得到，再令，即可得到结果； (2) 设且，则，，根据定义即可求； (3) 由，得到 ，根据题意，转化为，即可得到. 【详解】（1）令，则，所以； 令，则， 所以． （2）略 （3）由，即， 即，即， 又因为，故， 所以，即， 故，即． 所以不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的单调性与最大（小）值重难点五大题型突破 【题型1：定义法判断或证明函数的单调性】 【题型2：求函数的单调区间】 【题型3：根据单调性求参数】 【题型4：利用函数值求最值或值域】 【题型5：利用函数单调性解不等式】 【题型1：定义法判断或证明函数的单调性】 解题技巧： 核心步骤(取值一作差一变形一定号一下结论) 1.取值:在区间内任取x1， x2，设 x1< x2 2.作差:计算 f(x1)-f(x2) 3.变形:因式分解、通分、配方，化成乘积/商式(方便判断正负) 4.定号:判断 f(x1)-f(x2)的正负 5.结论 f(x1)-f(x2)<0→f(x1)＜f(x2),函数单调递增。 F(x1)-f(x2)>0→f(x1)＞f(x2),区函数单调递减个 1．已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 2．已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 3．已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 4．已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 5．已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【题型2：求函数的单调区间】 解题技巧：方法 1.图象法:看图上升区间为增区间，下降区间为减区间(最直观) 2.复合函数口诀:同增异减(先求内层函数单调区间，注意定义域优先) 3.分段函数:分段看，单调区间不能随便合并 易错点: 单调区间之间用逗号隔开，不能写并集符号U 定义域优先，单调区间一定是定义域的子集 6．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间为__． 8．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）函数在下列区间（    ）上单调递减． A． B． C． D． 【题型3：根据单调性求参数】 解题技巧： 两类考法: 1.一次/二次函数:利用函数图像、对称轴列式例:二次函数 y= ax2+ bx +c，开口向上，对称轴左侧减、右侧增 2.分段函数在 R 上单调: ① 每一段自身满足单调性 ② 分段点处，左边函数值≤(递增)或>(递减)右边函数值(最容易漏的条件) 11．已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________. 12．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）已知函数，若，都有成立，则下面正确的是为（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．a的取值范围是 D．a的取值范围是 16．已知函数，满足对任意的实数，都有，则的取值范围是___________. 【题型4：利用函数值求最值或值域】 解题技巧： 核心结论: 单调递增:区间左端点取最小值，右端点取最大值单调递减:区间左端点取最大值，右端点取最小值 适用:闭区间[a,6]上单调函数，最值一定在端点处。 思路:先判断单调性，再代入区间端点算出最值，直接写出值域。 17．已知函数．当时，函数的值域是________ 18．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 19．已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 20．已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 21．函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 22．已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 23．已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【题型5：利用函数单调性解不等式】 解题技巧： 核心原理: 若 f(x)在定义域上单调递增 f(x1)＜f(x2)⟺ x1＜x2 若单调递减: f(x1)＜f(x2)⟺ x1 ＞x2 三步解题模板 1.写出定义域(所有自变量必须在定义域内，不要漏掉!) 2.利用单调性去掉 f，转化普通不等式 3.联立不等式组，取交集得到解集 24．函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 25．已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 26．已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 27．已知函数的定义域为，若对于，且，有成立，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 28．已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 29．已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 30．已知连续函数满足：①，则有，②当时，． (1)求及的值； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $