专题3.3 单调性与最大(小)值专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“定义-性质-应用”为逻辑主线，系统整合单调性与最值的判定方法、运算规律及综合应用，通过分层题型实现从基础到提高的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|2个核心知识点|单调性定义法/图象法/性质法；最值单调性法/图象法/不等式法|从概念内涵（定义、几何意义）到外延（运算性质、复合函数规律）构建知识网络| |基础题型|16类基础题型|复合函数“同增异减”；分段函数单调性衔接条件；恒成立问题转化策略|每种题型对应明确解法，如定义法证明“作差变形定号”，参数问题“端点值控制”| |提高题型|3类综合题型|单调性与不等式融合；分段函数最值分类讨论；存在性问题参数范围分析|综合应用基础方法，培养逻辑推理与数学运算素养，体现知识迁移能力|

专题3.3 单调性与最大(小)值重难点题型专训 （2个知识点+16大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 题型二、求函数的单调区间 题型三、根据函数的单调性求参数值 题型四、根据图像判断函数单调性 题型五、复合函数的单调性 题型六、利用函数单调性求最值或值域 题型七、根据函数的最值求参数 题型八、根据解析式直接判断函数的单调性 题型九、比较函数值的大小关系 题型十、根据函数的单调性解不等式 题型十一、函数不等式恒成立问题 题型十二、函数不等式能成立(有解)问题 题型十三、分段函数的值域或最值 题型十四、根据分段函数的单调性求参数 题型十五、解分段函数不等式 题型十六、根据分段函数的值域(最值)求参数 第二部分·练提高题型 题型一、函数单调性的相关求解 题型二、函数不等式恒成立的相关求解 题型三、分段函数的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 函数的单调性 1．函数的单调性 （1）单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. （2）函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. （3）常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞，0)和(0，+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞，0)和(0，+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞，m]，单调递增区间是[m，+∞)； a<0时，单调递减区间是[m，+∞)，单调递增区间是(-∞，m]. （4）单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). （5）复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a，b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 （1）函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. （2）复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【即时训练】 1．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则a的最大值为（   ）． A． B．2 C．4 D． 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是______． 知识点02 函数的最值 1．函数的最大（小）值 （1）函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）∀x∈1，都有f(x)≤M； （2）∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）∀x∈1，都有f(x)≥m； （2）∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. （2）利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y=f(x)，x∈[a，c]在x=b处有最大值f(b)，如图（1）所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y=f(x)， x∈[a，c]在x=b处有最小值f(b)，如图（2）所示. 2．求函数最值的三种基本方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【即时训练】 1．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 2．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）函数y=+的最大值为__________. 【基础题型一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建漳州·期末）（多选）定义域为的函数满足，则（    ） A． B．为增函数 C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【基础题型二 求函数的单调区间】 【例2】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若存在，当时，有，则在上单调递增 B．函数在定义域内单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．不等式的解集是 3．（25-26高一上·山东济宁·期中）函数的单调递增区间是______ 4．（2026高一上·全国·专题练习）求函数的单调区间． 【基础题型三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（24-25高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段检测）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 4．（24-25高一上·陕西安康·期中）已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 【基础题型四 根据图像判断函数单调性】 【例4】（25-26高一上·海南·期中）下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 3．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______.    4．（24-25高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 【基础题型五 复合函数的单调性】 【例5】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏常州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）（多选）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 3．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为_______. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 【基础题型六 利用函数单调性求最值或值域】 【例6】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）（多选）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高一上·新疆喀什·期中）函数在区间上的最小值为__________. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【基础题型七 根据函数的最值求参数】 【例7】（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 2．（24-25高一上·湖北荆州·期中）（多选）定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（    ） A．-2 B．6 C．4 D．-4 3．（24-25高一上·福建三明·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则的取值范围是______． 4．（24-25高二上·广东·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. 【基础题型八 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例8】（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列函数中，在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林辽源·期中）（多选）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，若，则单调递减”为假命题的一个函数______ 4．（24-25高一上·新疆喀什·期中）指出下列函数的单调区间（定义法证明）： (1) (2)； 【基础题型九 比较函数值的大小关系】 【例9】（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 【基础题型十 根据函数的单调性解不等式】 【例10】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知函数，，则不等式的解集不正确的为（    ） A．（1，2） B．（1，4） C．（0，2） D． 3．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 4．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【基础题型十一 函数不等式恒成立问题】 【例11】（24-25高二下·浙江·阶段检测）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 1．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁本溪·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 4．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【基础题型十二 函数不等式能成立(有解)问题】 【例12】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）若函数，则下列结论正确的是（   ） A．对恒成立，则实数的取值范围是 B．若，使得，则实数的取值范围是 C．若，使得，则实数的取值范围是 D．对，都，使得成立 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是__________． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数. (1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； (2)若存在，使成立，求实数的范围. 【基础题型十三 分段函数的值域或最值】 【例13】（25-26高一上·湖北·阶段检测），用表示中的最小者，记为；若，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（   ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．既无最大值也无最小值 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 4．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【基础题型十四 根据分段函数的单调性求参数】 【例14】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）（多选）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 3．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）若函数在上为增函数，求的取值范围. 【基础题型十五 解分段函数不等式】 【例15】（2025·江西·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·北京东城·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集包含，求的取值范围． 4．（2025·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【基础题型十六 根据分段函数的值域(最值)求参数】 【例16】（24-25高二下·黑龙江双鸭山·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）（多选）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（24-25高三上·北京·期中）设函数，若的值域为，则的取值范围是__________. 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数 (1)若关于的方程有解，求实数的取值范围； (2)若存在正实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数的取值范围． 【提高题型一 函数单调性的相关求解】 【例1】（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南焦作·期末）（多选）下列函数中满足“对任意，都有”的是（    ） A． B．为常数） C． D． 3．（2025高一上·福建龙岩·专题练习）函数的单调递增区间是__________. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 【提高题型二 函数不等式恒成立的相关求解】 【例2】（25-26高一上·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·新疆·阶段检测）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北荆州·期中）（多选）函数，若对任意，存在，使得，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 4．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【提高题型三 分段函数的相关求解】 【例3】（24-25高一上·天津·期中）给定函数，，用表示函数，中的较大者，即,，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．2 1．（24-25高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）函数，若函数的最小值是4．则______． 4．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数． (1)求的值； (2)写出函数的单调递减区间． 1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 3．（25-26高一上·江西·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且为增函数，则（   ） A． B． C． D．0 4．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知函数在上单调递减，则可以为（    ） A． B．1 C． D．2 9．（25-26高一上·浙江金华·期中）（多选）下列函数中，满足对任意，的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数是上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集为__________． 12．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知函数，对且都有恒成立，则的取值范围是______． 13．（25-26高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 15．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为______． 16．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 18．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 19．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）设函数，其中. (1)若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； (2)若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； (3)求函数 在 上的最小值. 20．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 专题3.3 单调性与最大(小)值重难点题型专训 （2个知识点+16大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 题型二、求函数的单调区间 题型三、根据函数的单调性求参数值 题型四、根据图像判断函数单调性 题型五、复合函数的单调性 题型六、利用函数单调性求最值或值域 题型七、根据函数的最值求参数 题型八、根据解析式直接判断函数的单调性 题型九、比较函数值的大小关系 题型十、根据函数的单调性解不等式 题型十一、函数不等式恒成立问题 题型十二、函数不等式能成立(有解)问题 题型十三、分段函数的值域或最值 题型十四、根据分段函数的单调性求参数 题型十五、解分段函数不等式 题型十六、根据分段函数的值域(最值)求参数 第二部分·练提高题型 题型一、函数单调性的相关求解 题型二、函数不等式恒成立的相关求解 题型三、分段函数的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 函数的单调性 1．函数的单调性 （1）单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. （2）函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. （3）常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞，0)和(0，+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞，0)和(0，+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞，m]，单调递增区间是[m，+∞)； a<0时，单调递减区间是[m，+∞)，单调递增区间是(-∞，m]. （4）单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). （5）复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a，b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 （1）函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. （2）复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【即时训练】 1．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则a的最大值为（   ）． A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】先求出函数的单调递增区间，然后由是单调递增区间的子集求参数的范围即可求得最大值. 【详解】函数的对称轴为：， 所以函数的单调递增区间为：， 由于函数在上单调递增，所以， 所以，故a的最大值为. 故选：D 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. 知识点02 函数的最值 1．函数的最大（小）值 （1）函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）∀x∈1，都有f(x)≤M； （2）∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）∀x∈1，都有f(x)≥m； （2）∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. （2）利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y=f(x)，x∈[a，c]在x=b处有最大值f(b)，如图（1）所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y=f(x)， x∈[a，c]在x=b处有最小值f(b)，如图（2）所示. 2．求函数最值的三种基本方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【即时训练】 1．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 2．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）函数y=+的最大值为__________. 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由，解得， 即函数的定义域为， ， 当时，取得最大值， 即. 故答案为： 【基础题型一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 2．（25-26高一上·福建漳州·期末）（多选）定义域为的函数满足，则（    ） A． B．为增函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法计算可得A正确，举反例常函数可判断B错误，将表达式代入化简计算可得C正确，利用二次函数性质可得D正确. 【详解】令，可得，即，A正确， 假设存在常函数，此时满足， 但函数不是增函数，因此B错误. 所以，C正确， 令,则, 所以, 当且仅当时等号成立，即可得，D 正确， 故选：ACD 3．（25-26高三·全国·一轮复习）试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 【答案】 . 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ， ， ，即， 在内是减函数. ②设， 由①知， ， ， 即， 在内是增函数. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【答案】在上单调递增 【分析】根据题意，利用函数单调性的定义和判断方法，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 可得， 因为且，所以，所以，所以， 即，所以在上单调递增. 【基础题型二 求函数的单调区间】 【例2】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若存在，当时，有，则在上单调递增 B．函数在定义域内单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．不等式的解集是 【答案】CD 【分析】由函数单调性的定义、具体函数的单调性、一元二次不等式的解法相关知识逐项辨析即可． 【详解】对于A，由函数单调性的定义，对任意，，当时，有，则在上单调递增，不能使用存在量词“存在”，故选项A错误； 对于B，函数在区间和单调递减，而不是定义域内单调递减，故选项B错误； 对于C，二次函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，所以函数在区间,上单调递增，故选项C正确； 对于D，不等式对应的二次函数为，，其图象是开口向上，与轴有一个公共点的抛物线，当时，，即不等式的解集为，故选项D正确． 故选：CD． 3．（25-26高一上·山东济宁·期中）函数的单调递增区间是______ 【答案】和 【分析】画出分段函数的图象，由图象可看出其单调增区间. 【详解】 画出的图象，如图所示： 由图可知的单调增区间为和， 故答案为：和 4．（2026高一上·全国·专题练习）求函数的单调区间． 【答案】减区间是，，，，无增区间. 【分析】先确定定义域，再在定义域内的每一个区间上根据单调性的定义判断. 【详解】函数的定义域是， 在或或或上，函数，，都是减函数， 设，则，，， 所以，即， 所以函数在上是减函数，同理它在或或上都是减函数. 所以函数的减区间是，，，，无增区间. 【基础题型三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（24-25高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性，结合函数定义域，列出不等关系，即可求得的范围. 【详解】二次函数的对称轴为，考虑到其定义域为，故. 故选：A. 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段检测）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 3．（25-26高一上·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性列式计算求解参数. 【详解】因为函数在单调递减，在单调递增， 又已知函数在区间上是严格增函数，所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·陕西安康·期中）已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 【答案】(1)证明：当时，， 设，则， ，，， 在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法可证得结论； （2）分别讨论、和，结合二次函数单调性可求得结果. 【详解】（1）略； （2）当，即时，在上单调递增，满足题意； 当，即时，是开口方向向上，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：； 当，即时，是开口方向向下，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为. 【基础题型四 根据图像判断函数单调性】 【例4】（25-26高一上·海南·期中）下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据图象和减函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，该函数随着的增大，的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在轴右侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在轴左侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，D错误. 故选：A. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 2．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 3．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______.    【答案】和 【分析】根据图象，呈下降趋势所对应的区间为单调递减区间. 【详解】观察图象可知，的单调递减区间为和. 故答案为：和. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 【答案】单调区间分别为，，，且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 【分析】观察图像得到单调区间即可，判断函数增减性即可. 【详解】由题中图像可以看出的单调区间分别为，，，， 且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数． 【基础题型五 复合函数的单调性】 【例5】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求出函数的递增区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，在上为减函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递增区间为. 故选：B. 1．（24-25高一上·江苏常州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得． 【详解】由得，又， 所以在在上递增函数，在上是递减函数， 又函数在是递增函数， 所以在是递减函数. 故选：D. 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）（多选）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法， 可知，在上单调递增，故A正确，B错误； 在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：AD 3．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可得出原函数的增区间. 【详解】由得或， 故函数的定义域为， 令，， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调减区间为，单调增区间为 【分析】首先求函数的定义域，再结合复合函数的单调性，判断函数的单调性. 【详解】令，则函数． ∵，即，得， 即函数的定义域为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，为增函数，∴函数为减函数， ∴函数的单调减区间为； 当时，为减函数，∴函数为增函数， ∴函数的单调增区间为． 【基础题型六 利用函数单调性求最值或值域】 【例6】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意利用配方法求二次函数最值即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值是2. 故选：B. 2．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）（多选）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将不等式转化为,求的最大值即可. 【详解】将不等式转化为, 令， 则在取最小值，在单调递减，所以在时，单调递减， 即单调递增，所以最大值为，所以. 故选：ABC 3．（25-26高一上·新疆喀什·期中）函数在区间上的最小值为__________. 【答案】/0.2 【分析】利用函数单调性求出最小值. 【详解】函数在上单调递减，所以当时，. 故答案为： 4．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【基础题型七 根据函数的最值求参数】 【例7】（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 1．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 2．（24-25高一上·湖北荆州·期中）（多选）定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（    ） A．-2 B．6 C．4 D．-4 【答案】AC 【解析】根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可． 【详解】在，上的最大值为5， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，即时，，此时解得，符合题意； 当时，即时，，此时解得，符合题意； 故或4， 故选：AC 3．（24-25高一上·福建三明·阶段检测）设，若关于的不等式在上有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用分离常数，结合函数的最值来求得的取值范围. 【详解】依题意，关于的不等式在上有解， 即在上能成立， 由于函数在区间上单调递增，最大值为， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高二上·广东·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)递增，证明如下： 设任意， 则 ， ， ， ， 在上单调递增. 【分析】（1）由可得答案； （2）在递增，利用单调性定义证明即可. 【详解】（1），且， ，解得：； （2）由（1）得：在递增，证明略. 【基础题型八 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例8】（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故D错误． 1．（25-26高一上·广东汕头·期中）下列函数中，在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数在上的单调性即可判断. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数定义域为，则该函数在上不单调，C不是； 对于D，函数在上单调递增，D是. 故选：D 2．（25-26高一上·吉林辽源·期中）（多选）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的图像与性质分析即可得出答案. 【详解】对于A：为开口向上的二次函数，对称轴为y轴，所以满足上单调递增； 对于B：为反比例函数，在上单调递减； 对于C：当时，，显然单调递增； 对于D：为一次函数，且斜率大于0，所以满足上单调递增， 故选：ACD. 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，若，则单调递减”为假命题的一个函数______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要所求的函数在上的最小值为，但在上不单调即可. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，图象连续不断， ，， 所以函数在区间 上是一条连续不断的曲线，在处取得最小值，但在上不单调. 故答案为：（答案不唯一） 4．（24-25高一上·新疆喀什·期中）指出下列函数的单调区间（定义法证明）： (1) (2)； 【答案】(1) 函数在定义域R上单调递减， ，， 由，得，因此， 所以函数在定义域R上单调递减. (2) 函数的定义域为，函数在上单调递减， ，， 由，得，，因此， 所以函数在上单调递减，同理函数在上单调递减. 【分析】（1）（2）确定函数的单调性，再利用定义证明单调性即得. 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型九 比较函数值的大小关系】 【例9】（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 3．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义，结合二次函数的性质，即可得解. 【详解】由绝对值的几何意义可知，在数轴上表示到的距离比到1的距离更近， 而，该二次函数的对称轴为，且开口朝上，易知到对称轴的距离越近，函数值越小，故， 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 【答案】，证明如下： 因为，所以， 因为在R上是减函数，所以， 同理可得，故， 两式相加得 【分析】根据函数单调性得到和，相加后得到答案. 【详解】，证明略. 【基础题型十 根据函数的单调性解不等式】 【例10】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【详解】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 1．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为是上的单调递增函数， 由可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知函数，，则不等式的解集不正确的为（    ） A．（1，2） B．（1，4） C．（0，2） D． 【答案】BCD 【解析】去绝对值判断出函数的单调性，由函数的解析式利用函数的单调性可知或，解不等式组即可求解. 【详解】，，在上单调递增， ， ，解得， 或，解得， 综上所述，不等式的解集为． 故选：BCD 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求解析式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数是定义在区间上的增函数，得， 解得，所以所求的取值范围是. 故答案为： 4．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； (2). 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 【基础题型十一 函数不等式恒成立问题】 【例11】（24-25高二下·浙江·阶段检测）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】将问题转化为在区间上恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】由题意可得，在区间上恒成立， 因，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 1．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立，而当时，， 当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是. 故选：D 2．（25-26高一上·辽宁本溪·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断. 【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立. 对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立. 对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立. 对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立. 故选：BCD. 3．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】把恒成立转化为最大值之间的关系列式计算求解. 【详解】对任意，总存在，使得成立， 所以，当，时，，所以． 故答案为：． 4．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) ，设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 【基础题型十二 函数不等式能成立(有解)问题】 【例12】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【详解】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得存在实数，使得，则，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由已知，存在实数，使得，则， 因为二次函数在区间上单调递减，则， 所以，，故实数的最大值为. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）若函数，则下列结论正确的是（   ） A．对恒成立，则实数的取值范围是 B．若，使得，则实数的取值范围是 C．若，使得，则实数的取值范围是 D．对，都，使得成立 【答案】ACD 【分析】求出、的值域，再根据恒成立问题或能成立问题逐项判断可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 对于A，，若恒成立，则， 所以实数的取值范围是，故A正确； 对于B，，若，则， 所以实数的取值范围是，故B错误； 对于C，，有解，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，由于，，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 而， 显然，故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可． 【详解】， 所以在时单调递减， 所以，，即； 因为对存在，存在，使， 所以， 所以存在，使得， 即，即能成立， 令，则要使在能成立， 只需使， 根据增函数减减函数易知：函数在上单调增， 所以， 故只需，所以的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数. (1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； (2)若存在，使成立，求实数的范围. 【答案】(1)在区间上单调递增. 证明如下：设，则 因为，所以，，，即 所以，故在区间上单调递增. (2). 【分析】（1）利用单调性定义，令，作差法判断符号，即可得结果； （2）问题化为成立，即可求参数范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，当时，取得最小值，即 又存在，使成立， 所以只需成立，即，解得. 故实数的范围为. 【基础题型十三 分段函数的值域或最值】 【例13】（25-26高一上·湖北·阶段检测），用表示中的最小者，记为；若，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】画出函数图象，即可求解. 【详解】由，可得：，画出函数的图象，如下图， 由图象可知当时，取得最大值2， 故选：C 1．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论和的正负，去掉绝对值符号，根据不等式的性质，求出代数式的最小值. 【详解】因为，且, 所以，当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，代数式的最小值为3. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（   ） A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为 C．不等式的解集为 D．既无最大值也无最小值 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，利用图象判断各选项. 【详解】由得，作出函数的图象，如图，由图可知无最大值，也无最小值，当的最大值为， 时，，所以不等式的解集为， 所以A错，BCD均正确， 故选：BCD. 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 4．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式由里往外求函数值. （2）分段求函数的值域，再综合可得函数的值域． 【详解】（1）由题意，， 所以. （2）当时，函数在上单调递减，所以； 当时，； 当时，函数在上单调递减，所以. 综上，当时，函数的值域为. 【基础题型十四 根据分段函数的单调性求参数】 【例14】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可 【详解】依题意，解得， 故选：B 1．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性的性质，结合一次函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以. 故选：D 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）（多选）已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：ABC. 3．（25-26高一上·安徽宣城·期末）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用分段函数单调性，结合二次函数、反比例函数单调性列式求解. 【详解】由函数在R上单调递减，得，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·课前预习）若函数在上为增函数，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】由在上递增， 则，即. 在上递增，则， 又在上为增函数， 所以还需，得. 综上：的取值范围是. 【基础题型十五 解分段函数不等式】 【例15】（2025·江西·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在R上单调递增可求解. 【详解】易得函数在R上单调递增， 则由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：A． 1．（24-25高一上·北京东城·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 【答案】A 【分析】先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式. 【详解】解：当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且 当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且， 所以在上为增函数， 因为， 所以，解得， 故选：A 【点睛】此题考查了分段函数的单调性，由函数的单调性解不等式，属于基础题. 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，然后分类讨论求解不等式即可. 【详解】当时，单调递减，； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 即，解得或，所以； 当且，即时，， 故不等式的解为； 当且，即时，， 不等式恒成立，所以不等式的解为； 当且，即时，， 不等式成立，所以不等式的解为； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集包含，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把函数化成分段函数，再分段解不等式即得. （2）由已知，结合（1）列出恒成立的不等式，再分离参数求解即可. 【详解】（1）当时，，， 当时，不等式化为，，解得，于是 当时，不等式化为，，解得2，于是， 当时，不等式化为，，解得，于是， 所以不等式的解集为. （2）由（1）知，当时，， 依题意，在恒成立，即在上恒成立， 因此，解得， 所以的取值范围是. 4．（2025·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 【基础题型十六 根据分段函数的值域(最值)求参数】 【例16】（24-25高二下·黑龙江双鸭山·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出时的最小值，然后对a与1的关系讨论，根据函数的性质即可求解． 【详解】当时， ， 此时， 而当时， ①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为-1， ②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值， 只需 解得， 综上，满足题意的实数a的取值范围为： ， 故选：A． 1．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围. 【详解】当时， ，此时； 当时，. ①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为， ②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值， 需 解得， 综上，满足题意的实数a的取值范围为： ， 故选：C． 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）（多选）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数， ，对称轴为， 当时， 当时，， 要想函数的最小值为，只需，即， 显然选项AB符合， 当时， 当时，，显然不是， 综上所述：只有选项AB符合条件， 故选：AB 3．（24-25高三上·北京·期中）设函数，若的值域为，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由分段函数解析式，结合一次函数、二次函数性质分别求出对应区间的值域，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】由在上递减，且值域为，又的值域为， 对于开口向下，即，在上值域为， 所以，即，故. 故答案为： 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数 (1)若关于的方程有解，求实数的取值范围； (2)若存在正实数，，使得函数的定义域为时，值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的值域即得. （2）根据函数在上的单调性，按照，且，以及分类，即可确定在上的值域，从而建立方程组，根据方程根与系数的关系即可解出m的取值范围. 【详解】（1）当时，在单调递增，所以， 当时，在单调递减，所以， 所以的值域为，故． （2）若存在实数，，使得函数的定义域为时，值域为． 则，． ①当时，由于在上是减函数， 故，此时得，得与条件矛盾，所以a､b不存在. ②当，时，易知0在值域内，值域不可能是，所以，不存在． ③故只有 ∵在上是增函数， ∴，即， a，是方程的两个根． 即关于的方程有两个大于1的实根．设这两个根为，． 则， ∴，即， 解得， 故的取值范围是． 【提高题型一 函数单调性的相关求解】 【例1】（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为或或， 即或. 故选：C ．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 2．（24-25高三上·河南焦作·期末）（多选）下列函数中满足“对任意，都有”的是（    ） A． B．为常数） C． D． 【答案】ACD 【分析】由单调函数的定义可知在区间上单调递增，根据反比例、一次函数、二次函数和幂函数的单调性依次判断选项即可. 【详解】若对于函数，任意，都有， 则在区间上单调递增， A：在上单调递增，故A正确； B：在上单调递减，故B错误； C：图象的对称轴为直线，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C正确： D：，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 3．（2025高一上·福建龙岩·专题练习）函数的单调递增区间是__________. 【答案】和 【分析】按的正负分类讨论，当时为双勾函数，时为渐升函数，根据函数的性质即可得出答案. 【详解】当时，，为双勾函数，此时单调增区间为； 当时，，为增函数，单调增区间为， 故答案为：和. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 【答案】(1)证明：设，且， 则，即， 所以， 所以，所以是上的增函数． (2) 【分析】（1）结合函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性. （2）先利用赋值法得到，再结合函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以． 在上式中取，，则有，因为，所以. 于是不等式等价于（）． 由题意知是上的增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为． 【提高题型二 函数不等式恒成立的相关求解】 【例2】（25-26高一上·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式恒成立问题，转化为小于在处的最小值即可. 【详解】由题意得，对恒成立， 且在的最小值为， 则. 故选：D. 1．（25-26高一上·新疆·阶段检测）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【详解】，，即在上恒成立， 因为在上的最小值为1，所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·湖北荆州·期中）（多选）函数，若对任意，存在，使得，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将问题转化为在上值域为在上值域的子集或，再结合一次函数、二次函数的性质求的范围，即可确定其可能取值. 【详解】对任意，存在，使得，只需保证在上值域是在上值域的子集或， 在上单调递增，故， 开口向下且对称轴： 当时，，此时恒成立； 当时，，此时即可，可得. 综上，. 故选：ABC 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用分离参数法，结合函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】因为存在，所以， 又当，单调递减，所以的最大值为. 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域； （2）根据二次函数函数性质可得的最大值，可得，结合存在性问题分析求解即可． 【详解】（1）若，方程有解，即，， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 可知在上为减函数，则， 可得，即，所以的取值范围为. （2）若对任意的，总存在，使得， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 且，由对称性可知函数有最大值为； 可得在有解，即，即在有解， 可得或，解得或， 可得，所以的取值范围为. 【提高题型三 分段函数的相关求解】 【例3】（24-25高一上·天津·期中）给定函数，，用表示函数，中的较大者，即,，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示：    由图象可知，当时，取得最小值为． 故选：C． 1．（24-25高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 2．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】分段讨论求解可判断ABC，代入求值可判断D. 【详解】对于A，当时，，， 当时，，， 所以，当时，函数有最小值0，A正确； 对于B，的值域为，B正确； 对于C，在和上单调递减，C错误： 对于D，，D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）函数，若函数的最小值是4．则______． 【答案】5或 【分析】分类讨论a的取值范围，去掉绝对值符号，确定函数的最小值，解方程求得a的值. 【详解】当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，解得； 当时， ， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，解得； 综上，5或. 故答案为：5或. 4．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数． (1)求的值； (2)写出函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分段函数解析式，直接代入相应的表达式进行计算即可． （2）分，情况讨论，并根据所得解析式直接判断即可． 【详解】（1）因为， 所以，所以． （2）因为， 当时，， 所以单调递减区间为：; 当时，， 此时为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以单调递减区间为：； 因此函数的单调递减区间为：，． 1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段去绝对值符号将化简并画出的图象，根据图象写出单调递增区间. 【详解】, 图象如图所示 函数的单调递增区间为 故选：D. 2．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 3．（25-26高一上·江西·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且为增函数，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】由题意可得一定为函数与的图象交点的横坐标，由此求出，可求出，进而求出. 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 所以一定为函数与的图象交点的横坐标. 由，解得或2. 若，则当时，单调递减，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，故为增函数，符合题意. 所以，故. 故选：A. 4．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 令，则， 因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递减， 所以，即，化简得. 5．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 6．（25-26高一上·陕西西安·期中）（多选）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，的对称轴为，函数在上单调性递增，此条件对无限制； 若函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：BCD. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【分析】对ABC举反例即可判断，对D直接根据函数单调性定义即可判断. 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知函数在上单调递减，则可以为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】由函数在各段单调递减且断点左侧的函数值不小于右侧的函数值得到不等式组，求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以符合题意的有B、C. 故选：BC 9．（25-26高一上·浙江金华·期中）（多选）下列函数中，满足对任意，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知，在上单调递增，结合选项分析判断. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 对于C选项，在上单调递减， 对于ABD选项，在上均单调递增. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案. 【详解】由，则， 因为函数在上是减函数，所以， 则，. 故选：CD. 11．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数是上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集为__________． 【答案】 【分析】利用单调增函数的性质分类讨论即可. 【详解】已知函数 经过点 和 ， 所以有：， 由于 是增函数，对任意 ，有 ， 当 时，由增函数性质得 ， 所以 ，不满足题意； 当 时，由增函数性质得 ， 从而 ，不满足题意； 当 时，由增函数性质得 ， 即 ，即 ，满足不等式. 因此，不等式 的解集为 . 故答案为： 12．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知函数，对且都有恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合已知将问题转化为恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】由， 因为，所以. 又对，恒成立，所以. 故答案为：. 13．（25-26高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分，和三种情况，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，画出图象如下： 函数有最小值0； 当时， 函数大致图象如图所示， 此时，要使函数有最小值，则，即； 当时，，， 故，函数大致图象如图所示， 此时，因此函数恒存在最小值， 综上，的取值范围为. 故答案为： 15．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】分情况讨论，结合单调性即可求. 【详解】当时，， 所以在区间内单调递增，值域为， 所以，解得， 所以； 当时，， 所以在区间内单调递减，值域为， 则，，解得， 所以； 当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故值域为或， 若,则； 若,则， 综上，的取值范围为． 故答案为： 16．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 【答案】(1) 设是上的任意两个实数，有， ， 因为，所以，，，有， 所以，故在上单调递增. (2)时，的值域为；时， 的值域为. 【分析】（1）用函数单调性的定义证明即可； （2）由的单调性得在上的值域，从而可求的值域. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得在上单调递增，的值域为. 若，由，解得，因为，故的值域为； 若，由，解得，因为，故的值域为. 综上所述：时，的值域为；时， 的值域为. 18．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可以求得，再根据根据奇函数定义可知，化简整理，从而问题得到求解； （2）对问题时，恒成立进行转化，转化为当时，恒成立，通过构造函数，再利用函数的单调性求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为函数为定义域为的奇函数， 所以，即， 所以，整理得，解得， 因为函数的定义域为，则，解得. 所以，. （2）由（1）可知， 当时，即恒成立， 可得恒成立，即当时，恒成立， 所以，， 令，，则， 令，，根据对勾函数性质知在区间上单调递增， 所以，所以，则， 则实数m的取值范围为. 19．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）设函数，其中. (1)若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； (2)若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； (3)求函数 在 上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 当时，， 当时，. 【分析】（1）运用代入法进行求解即可； （2）根据函数的单调性，结合任意性的定义进行求解即可； （3）根据对勾函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为是关于 的不等式的解， 所以，因此的取值范围为； （2）因为对任意的 ，不等式恒成立， 所以有成立， 因为， 对于对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 对于二次函数的对称轴为，开口向上，显然， 当时，， 综上， 当时，由，所以， 当时，由，显然无实数解， 故的取值范围为； （3）因为， 所以对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由不等式恒成立，转化为. 20．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)当时，的最小值为；当时，的最小值为 【分析】（1）先分析各段函数的单调性，然后结合分段点处函数值大小关系列出不等式组求解出结果； （2）二次函数的对称轴，根据与的大小关系进行分类讨论，由此确定出的单调性，即可求解出最小值. 【详解】（1）当时，，是单调递增函数； 当时，的对称轴为，所以在上单调递增， 若函数为上的增函数，只需，解得. （2）当时，函数，对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为. $