第二十五章-第二十六章 二次函数综合复习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数与一元二次方程整合为核心，通过基础巩固、方法提炼与实际应用构建系统性复习，强化数学思维与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、填空11-13|定义辨析、系数识别|从方程定义到函数要素，构建概念关联| |方程解法|选择2、6、填空11、解答17|配方法、因式分解法、求根公式|解法与函数图像交点的逻辑推导| |函数性质|选择4-5、7-9、填空12、14、解答19|对称轴公式、图像平移、数形结合|性质与方程根、函数值范围的内在联系| |实际应用|选择10、填空15、解答20-21|建模分析、最值计算|用函数模型解决几何与经济问题| |方法探究|解答22|配方法求最值|从代数变形到实际问题的方法迁移|

第二十五章-第二十六章 二次函数综合复习 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，经过配方后正确的是（　　）． A． B． C． D． 3．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，-6，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1 4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=-2，x2=4，则二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为(　　). A．直线x=—3 B．直线x= 3 C．直 线x=1 D．直线x =-1 5．将抛物线 先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得新抛物线的表达式为(　　) A． B． C． D． 6．在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到 则该一元二次方程可能为（　　). A． B． C． D． 7．下表给出了二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y 的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … -1 一0.67 一0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根 的近似值可能是(　　). A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 8．已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．在抛物线 的图象上有三个点(4，y1)，(5，y2)，(6，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A． B． C． D．无法确定 10．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．一元二次方程x(x+1)=0的两根分别为　 　 12．抛物线 的顶点坐标是　 　. 13．已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m=　 　． 14．抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(3， 0)，(一1，0)，则不等式ax2+bx+c<0的解集为 　 　. 15．在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为，水池边与跳台支柱之间的宽度为（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面，运动过程中的最高点B距离水面，此时与点A的水平距离为．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为　 　． 16．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　 　． 三、解答题 17．解方程： （1）(x−1)2=25 （2）x(x+6)=−5(x+6) 18． 已知关于x的一元二次方程 有实数根. （1）求实数k 的取值范围. （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若 求 k的值. 19．已知抛物线y＝x2－4x＋3. （1）将抛物线的表达式化为顶点式； （2）在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线； （3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围为　 　. 20．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙． 21．某种蔬菜的销售单价y与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本z与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1的图象是直线，图2的图象是抛物线，其最低点坐标是(6，1). （1）求蔬菜每千克销售单价y与销售月份x之间，每千克成本z与销售月份x之间的关系式? （2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益w最大?并求最大收益. 22．【材料】我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题． 解：因为， 又因为， 所以 所以的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： 【探究】 （1）_______________； （2）代数式有最_________（填“大”或“小”）值为____________； 【拓展】 （3）比较代数式：与的大小； 【应用】 （4）如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的栅栏的总长是40m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 23．已知二次函数（a为常数且）． （1）当点在该函数图象上时，求a的值． （2）当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． （3）若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 参考答案 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．B 10．C 11．x1 =0 ， x2 =-1 12．（3，0） 13．1 14．－1＜x＜3 15．4 16． 17．（1）解：x−1=±5， x1=6，x2=−4 （2）解：x(x+6)+5(x+6)=0， (x+6)(x+5)=0， x1=−6，x2=−5 18．（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 解得k即k的取值范围是 （2）解：∵方程.的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2=-3， x1x2=k-2， ∵(x1+1)(x2+1)=-1，∴x1x2+(x1+x2)+1=-1 ∴k-2+(-3)+1=-1，解得k=3，即k的值是3 19．（1）【解】(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)－4＋3＝(x－2)2－1.∴抛物线的顶点式为y＝(x－2)2－1. （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 抛物线如图所示. x … 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 … （3）－1≤y＜3 20．（1） （2）石块能飞越城墙 21．（1）解：设每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝kx＋b， 将（3，5）和（6，3）代入，得解得 ∴每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝－x＋7. ∵抛物线最低点的坐标是（6，1）， ∴设每千克成本z与销售月份x之间的关系式为z＝a（x－6）2＋1， 把（3，4）代入z＝a（x－6）2＋1，可得4＝（3－6）2•a＋1，解得a＝， ∴每千克成本z与销售月份x之间的关系式为z＝（x－6）2＋1，即z＝x2－4x＋13. （2）解：根据收益等于售价减去成本， 可得w＝－x＋7－（x2－4x＋13）＝－x2＋x－6， ∵－＝5，把x＝5代入可得w＝－×52＋×5－6＝， ∴5月份收益最大，为元. 22．(1) (2) 大，1 (3)解：. ， ， ， ， ， ， ， ； (4)解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 花圃面积：， ， ， ， ， 当时，取得最大值200 此时，垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为， 答：当垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为时，花圃面积最大，最大面积是． 23．（1） （2） （3）或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $