28.2（1）相似三角形的判定 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

28.2（1）相似三角形的判定（原卷版·学生用） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 第10讲 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 3 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 第 1 题 下列图形中，不是相似图形的有（     ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 第 2 题 如图，在某县地图上，以三个村庄A，B，C为顶点构成的三角形的三边长分别为，，．已知该地图标明的比例尺为，求每两个村庄之间的实际距离． 第 3 题 下列结论：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解相似三角形的定义与相似比，知道两个方向的相似比互为倒数 ★★★★ 2 知道相似比为 1 时两三角形全等，全等是相似的特殊情形 ★★★ 3 理解相似三角形的传递性 ★★ 4 掌握预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 ★★★★★ 5 掌握“两角对应相等的两个三角形相似”，并能规范书写证明过程 ★★★★★ ⭐ 学习重点 相似三角形的定义与相似比；预备定理；两角对应相等的判定定理及其符号语言。 🔥 学习难点 在复杂图形中找出两组对应相等的角（公共角、对顶角、平行线截得的角）；等积式与比例式的互化。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、相似三角形的定义与相似比 如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 △ABC 与 △A′B′C′ 相似记作 △ABC ∽ △A′B′C′，符号“∽”读作“相似于”。书写时必须把对应顶点的字母写在对应的位置上。 两个相似三角形的对应边的比叫做这两个三角形的相似比。如图（DE 为 △ABC 的中位线），AD∶AB = AE∶AC = DE∶BC = 1∶2，所以 △ADE 与 △ABC 的相似比 k = 。 DE 为中位线时 △ADE ∽ △ABC，相似比 相似比有方向：△ADE 与 △ABC 的相似比是 ，而 △ABC 与 △ADE 的相似比是 2，两者互为倒数。 🔑 二、相似比为 1 时两三角形全等 当两个相似三角形的相似比等于 1 时，这两个三角形全等；反过来，两个全等三角形一定是相似比为 1 的相似三角形。 所以全等三角形是相似三角形的特殊情形——判定全等的条件，往往可以“放宽”成判定相似的条件。 🔑 三、相似三角形的传递性 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。 符号语言：若 △A₁B₁C₁ ∽ △ABC，且 △A₂B₂C₂ ∽ △ABC，则 △A₁B₁C₁ ∽ △A₂B₂C₂。 依据：由对应角相等、对应边成比例都能传递，可推出的确三个角对应相等、三条边对应成比例。 🔑 四、预备定理（平行截三角形） 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 符号语言：如图，点 D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，且 DE∥BC，则 △ABC ∽ △ADE。 预备定理的基本图形（A 型） 证明思路：过点 D 作 DF∥AC 交 BC 于点 F，得平行四边形 DFCE，于是 DE=FC；由平行线分线段成比例可得 = = ，再结合 DE∥BC 得 ∠B=∠ADE、∠C=∠AED，由定义即可判定相似。 这条定理常被称为相似三角形的预备定理，它是后面各判定定理的基础（A 型、X 型基本图形都源于它）。 🔑 五、判定定理：两角对应相等的两个三角形相似 判定定理：两角对应相等的两个三角形相似（简称 AA）。 符号语言：在 △ABC 和 △A₁B₁C₁ 中，若 ∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，则 △ABC ∽ △A₁B₁C₁。 双弧、单弧分别表示两组对应相等的角 证明思路：不妨设 AB>A₁B₁，在 AB 上截取 AD=A₁B₁，过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E；由预备定理得 △ADE ∽ △ABC，再证 △ADE ≌ △A₁B₁C₁，从而 △ABC ∽ △A₁B₁C₁。 为什么“两角”就够了：两角对应相等后，由三角形内角和可知第三个角也相等，所以只需验证两组角。找角时常用公共角、对顶角、平行线截得的同位角/内错角、同角的余角（补角）相等。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心内容，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 相似图形的概念与“一定相似”辨析 ✏ 题型模版 第1 步 回到定义：两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，才叫相似； 第2 步 举反例最快：形状可以不同（如两个直角三角形、两个菱形）就不一定相似； 第3 步 注意“一定”与“可能”的区别，选项里凡是“都相似”的说法要逐个验。 典例 1 下列图形中，一定是相似图形的是（     ） A．两个直角三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 变式 1-1 很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（     ） A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称 变式 1-2 下列四组图形中，一定相似的图形是（     ） A．两个直角三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．有两边之比都等于的两个三角形 变式 1-3 下列命题是真命题的是（    ） A．两底角相等的三角形是等腰三角形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于对应高的比 D．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 📌 题型二 相似三角形的对应关系与相似比 ✏ 题型模版 第1 步 先按相似式的字母顺序找对应顶点，再写对应边、对应角； 第2 步 对应边成比例：把已知线段代入比例式求相似比； 第3 步 注意相似比有方向，两个方向的相似比互为倒数；相似比为 1 即全等。 典例 2 如图，，请写出这两个三角形对应边的比例式． 变式 2-1 如图是两个等边三角形，它们相似吗？试找出图形中的成比例线段，并用比例式表示． 变式 2-2 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？ 变式 2-3 如图，画一个三角形，使它与相似，且相似比为． 📌 题型三 预备定理（平行截三角形） ✏ 题型模版 第1 步 认图：只要出现“平行于三角形一边的直线”，就得到一对相似三角形； 第2 步 写相似式：公共顶点写在对应位置（如 △ADE ∽ △ABC，而不是 △ADE ∽ △ACB）； 第3 步 用结论：需要线段长时，按“对应边成比例”列式求解。 典例 3 已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 变式 3-1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形____． 变式 3-2 已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 变式 3-3 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 📌 题型四 用“两角对应相等”判定相似（AA） ✏ 题型模版 第1 步 找第一组等角：公共角、对顶角、直角、平行线截得的角； 第2 步 找第二组等角：用同角的余角（补角）相等、等角代换等关系转化； 第3 步 按“∵∠…=∠…，∠…=∠…，∴△…∽△…”的格式书写，顶点顺序要与角对应。 典例 4 如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 变式 4-1 顶角相等的两个等腰三角形相似吗？有一个底角相等的两个等腰三角形相似吗？请说明理由． 变式 4-2 已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 变式 4-3 如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 📌 题型五 相似判定的综合（找相似三角形对·等积式） ✏ 题型模版 第1 步 按“由已知角出发”逐个三角形配对，避免漏找； 第2 步 同一顶点处的多个三角形，注意公共角带来的等角关系； 第3 步 等积式先化成比例式（如 AE·AC=AD·AB 化成对应边成比例），再证相似。 典例 5 如图，，请指出图中的相似三角形． 变式 5-1 如图，，找出图中所有的相似三角形． 变式 5-2 如图，，，则图中相似的三角形有________对．    变式 5-3 如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合运用本讲知识，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 挑战 2 在中，点P位于直角边上，且与点A、C不重合，试过点P作直线截，使截得的三角形与原相似，画出所有可能的图形，并说明理由． ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 第 1 题 如图，，如果，，那么___________． 第 2 题 如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 第 3 题 已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图，在中，D，E分别是，上的点，，若，那么_______． 第 2 题 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 第 3 题 如图，在和中，和都是直角，．求证：． 第 4 题 已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2（1）相似三角形的判定（解析版·教师用） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 第10讲 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 3 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 第 1 题 下列图形中，不是相似图形的有（     ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案与解析】 B 【详解】解：图1，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形； 图2，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形； 图3，形状不相同，不符合相似图形的定义，故该图形不是相似图形； 图4，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形； 综上，不是相似图形的只有1组． 第 2 题 如图，在某县地图上，以三个村庄A，B，C为顶点构成的三角形的三边长分别为，，．已知该地图标明的比例尺为，求每两个村庄之间的实际距离． 【答案与解析】 ，两村庄的实际距离为，，两村庄的实际距离为，，两村庄的实际距离为 【分析】根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离除以比例尺，分别计算三组村庄的实际距离后换算单位即可得到结果． 【详解】解：设，，的实际距离分别为，，， ∵比例尺为，图上距离，， ∴， 解得， ， 同理可得，解得， ，解得， ， ， 答：，两村庄实际距离为，，两村庄实际距离为，，两村庄实际距离为． 第 3 题 下列结论：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案与解析】 B 【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似的判定，结合等腰三角形两底角相等的性质，分情况判断每个结论中两个三角形的内角是否对应相等． 【详解】解：①等腰三角形内角不一定对应相等，如顶角为和的等腰三角形不相似，故①错误． ②等腰三角形两底角相等，若一个底角相等，则两组底角对应相等，两三角形相似，故②正确． ③若一个等腰三角形的顶角与另一个等腰三角形的底角相等，内角不一定对应相等，如内角为和的两个等腰三角形不相似，故③错误． ④设等腰三角形顶角为，则底角为，若顶角相等，则三个内角都对应相等，两三角形相似，故④正确． 综上，正确的结论有2个． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解相似三角形的定义与相似比，知道两个方向的相似比互为倒数 ★★★★ 2 知道相似比为 1 时两三角形全等，全等是相似的特殊情形 ★★★ 3 理解相似三角形的传递性 ★★ 4 掌握预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 ★★★★★ 5 掌握“两角对应相等的两个三角形相似”，并能规范书写证明过程 ★★★★★ ⭐ 学习重点 相似三角形的定义与相似比；预备定理；两角对应相等的判定定理及其符号语言。 🔥 学习难点 在复杂图形中找出两组对应相等的角（公共角、对顶角、平行线截得的角）；等积式与比例式的互化。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、相似三角形的定义与相似比 如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 △ABC 与 △A′B′C′ 相似记作 △ABC ∽ △A′B′C′，符号“∽”读作“相似于”。书写时必须把对应顶点的字母写在对应的位置上。 两个相似三角形的对应边的比叫做这两个三角形的相似比。如图（DE 为 △ABC 的中位线），AD∶AB = AE∶AC = DE∶BC = 1∶2，所以 △ADE 与 △ABC 的相似比 k = 。 DE 为中位线时 △ADE ∽ △ABC，相似比 相似比有方向：△ADE 与 △ABC 的相似比是 ，而 △ABC 与 △ADE 的相似比是 2，两者互为倒数。 🔑 二、相似比为 1 时两三角形全等 当两个相似三角形的相似比等于 1 时，这两个三角形全等；反过来，两个全等三角形一定是相似比为 1 的相似三角形。 所以全等三角形是相似三角形的特殊情形——判定全等的条件，往往可以“放宽”成判定相似的条件。 🔑 三、相似三角形的传递性 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。 符号语言：若 △A₁B₁C₁ ∽ △ABC，且 △A₂B₂C₂ ∽ △ABC，则 △A₁B₁C₁ ∽ △A₂B₂C₂。 依据：由对应角相等、对应边成比例都能传递，可推出的确三个角对应相等、三条边对应成比例。 🔑 四、预备定理（平行截三角形） 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 符号语言：如图，点 D、E 分别在 △ABC 的边 AB、AC 上，且 DE∥BC，则 △ABC ∽ △ADE。 预备定理的基本图形（A 型） 证明思路：过点 D 作 DF∥AC 交 BC 于点 F，得平行四边形 DFCE，于是 DE=FC；由平行线分线段成比例可得 = = ，再结合 DE∥BC 得 ∠B=∠ADE、∠C=∠AED，由定义即可判定相似。 这条定理常被称为相似三角形的预备定理，它是后面各判定定理的基础（A 型、X 型基本图形都源于它）。 🔑 五、判定定理：两角对应相等的两个三角形相似 判定定理：两角对应相等的两个三角形相似（简称 AA）。 符号语言：在 △ABC 和 △A₁B₁C₁ 中，若 ∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，则 △ABC ∽ △A₁B₁C₁。 双弧、单弧分别表示两组对应相等的角 证明思路：不妨设 AB>A₁B₁，在 AB 上截取 AD=A₁B₁，过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E；由预备定理得 △ADE ∽ △ABC，再证 △ADE ≌ △A₁B₁C₁，从而 △ABC ∽ △A₁B₁C₁。 为什么“两角”就够了：两角对应相等后，由三角形内角和可知第三个角也相等，所以只需验证两组角。找角时常用公共角、对顶角、平行线截得的同位角/内错角、同角的余角（补角）相等。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心内容，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 相似图形的概念与“一定相似”辨析 ✏ 题型模版 第1 步 回到定义：两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，才叫相似； 第2 步 举反例最快：形状可以不同（如两个直角三角形、两个菱形）就不一定相似； 第3 步 注意“一定”与“可能”的区别，选项里凡是“都相似”的说法要逐个验。 典例 1 下列图形中，一定是相似图形的是（     ） A．两个直角三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 【答案与解析】 B 【分析】三角形相似可通过两角对应相等判定，四边形相似需同时满足对应角相等、对应边成比例． 【详解】解：A、两个直角三角形，仅直角对应相等，其余内角不一定对应相等，不一定相似； B、∵等腰三角形两底角相等，两个三角形顶角相等， ∴底角也对应相等， ∴三个内角对应相等，两三角形一定相似； C、两个菱形，对应边成比例，但内角不一定对应相等，不一定相似； D、两个等腰梯形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似． 变式 1-1 很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（     ） A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称 【答案与解析】 B 【分析】手机大字版只是把图形放大，图形的形状没有改变，大小改变，属于图形的缩放，是相似变换． 【详解】解：大字版是将原图形按比例放大，所得图形与原图形形状相同、大小不同． ∵全等图形要求形状、大小均相同， ∴A不符合题意． ∵轴对称、中心对称的两个图形大小均不变， ∴C，D不符合题意． ∵相似图形形状相同，大小可不同， ∴B符合题意． 变式 1-2 下列四组图形中，一定相似的图形是（     ） A．两个直角三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．有两边之比都等于的两个三角形 【答案与解析】 B 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项． 【详解】解：A. 两个直角三角形，仅一组直角对应相等，其余角与边的对应关系不确定，不一定相似，∴不符合题意； B. 各有一个角是的两个等腰三角形，为钝角，只能为顶角，底角均为，三组角对应相等，一定相似，∴符合题意； C. 两个矩形，对应角均为直角相等，但对应边的比值不一定相等，不一定相似，∴不符合题意； D. 有两边之比都等于的两个三角形，两边的夹角不一定相等，不一定相似，∴不符合题意． 变式 1-3 下列命题是真命题的是（    ） A．两底角相等的三角形是等腰三角形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于对应高的比 D．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 【答案与解析】 D 【详解】解：A．底角是等腰三角形的特有概念，判定等腰三角形应为有两个角相等的三角形，该命题为假命题． B．对角线相等的平行四边形是矩形，等腰梯形对角线相等但不是矩形，该命题为假命题． C．相似三角形面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，即面积比等于对应高的比的平方，该命题为假命题． D．设四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点， 连接，． ∵，，，分别是四边形各边中点， ∴由三角形中位线定理得：，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，该命题为真命题． 📌 题型二 相似三角形的对应关系与相似比 ✏ 题型模版 第1 步 先按相似式的字母顺序找对应顶点，再写对应边、对应角； 第2 步 对应边成比例：把已知线段代入比例式求相似比； 第3 步 注意相似比有方向，两个方向的相似比互为倒数；相似比为 1 即全等。 典例 2 如图，，请写出这两个三角形对应边的比例式． 【答案与解析】 【详解】解：， ． 变式 2-1 如图是两个等边三角形，它们相似吗？试找出图形中的成比例线段，并用比例式表示． 【答案与解析】 两个等边三角形相似，成比例线段的比例式为 【分析】由等边三角形的性质和相似多边形的定义解答即可． 【详解】解：等边三角形的三个角都相等，三条边都相等，满足相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的定义， 即两个等边三角形相似，成比例线段的比例式为． 变式 2-2 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？ 【答案与解析】 所有的直角三角形不一定相似，如等腰直角三角形与含有的直角三角形不相似； 所有的等腰直角三角形都相似，因为所有的等腰直角三角形的两个锐角都是，所以由两角对应相等的三角形相似得所有的等腰直角三角形都相似． 【详解】解：略． 变式 2-3 如图，画一个三角形，使它与相似，且相似比为． 【答案与解析】 如图，即为所求 【分析】取三边中点两两连接，得到的小三角形均满足要求；也可以通过在外部作角、截取边长的方式构造符合要求的相似三角形，只要满足新三角形的三边均为原三角形对应边长的、对应角相等即可； 【详解】解：作边的中垂线，找出的中点D，的中点E， 则为的中位线， ∴， ∴，且相似比为，图略． 📌 题型三 预备定理（平行截三角形） ✏ 题型模版 第1 步 认图：只要出现“平行于三角形一边的直线”，就得到一对相似三角形； 第2 步 写相似式：公共顶点写在对应位置（如 △ADE ∽ △ABC，而不是 △ADE ∽ △ACB）； 第3 步 用结论：需要线段长时，按“对应边成比例”列式求解。 典例 3 已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【答案与解析】 分三种情况证明： 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴； 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上，三种情况均得． 【分析】通过平行线的性质和相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：略． 变式 3-1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形____． 【答案与解析】 相似 【详解】解：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 变式 3-2 已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 【答案与解析】 ∵， ∴， ∴． 【分析】分析题意，由“”，利用“同位角相等，两直线平行”可得到； 然后结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可证明结论． 【详解】证明：略 变式 3-3 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 【答案与解析】 3 【分析】由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得、，进而得，最后综合即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有3对． 📌 题型四 用“两角对应相等”判定相似（AA） ✏ 题型模版 第1 步 找第一组等角：公共角、对顶角、直角、平行线截得的角； 第2 步 找第二组等角：用同角的余角（补角）相等、等角代换等关系转化； 第3 步 按“∵∠…=∠…，∠…=∠…，∴△…∽△…”的格式书写，顶点顺序要与角对应。 典例 4 如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案与解析】 证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】解：略 变式 4-1 顶角相等的两个等腰三角形相似吗？有一个底角相等的两个等腰三角形相似吗？请说明理由． 【答案与解析】 （1）顶角相等的两个等腰三角形相似， 理由：设两个等腰三角形分别为和，，，且顶角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）； （2）有一个底角相等的两个等腰三角形相似， 理由：设两个等腰三角形分别为和，，，且底角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】（1）设两个等腰三角形分别为和，，，且顶角，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，即可证明； （2）设两个等腰三角形分别为和，，，且底角，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，即可证明； 【详解】略 变式 4-2 已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 【答案与解析】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 变式 4-3 如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 【答案与解析】 证明：∵（平角），， ∴． 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】两角分别相等的两个三角形相似． 【详解】略． 📌 题型五 相似判定的综合（找相似三角形对·等积式） ✏ 题型模版 第1 步 按“由已知角出发”逐个三角形配对，避免漏找； 第2 步 同一顶点处的多个三角形，注意公共角带来的等角关系； 第3 步 等积式先化成比例式（如 AE·AC=AD·AB 化成对应边成比例），再证相似。 典例 5 如图，，请指出图中的相似三角形． 【答案与解析】 图中的相似三角形为，． 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：，， ； ，， ． 变式 5-1 如图，，找出图中所有的相似三角形． 【答案与解析】 ，，，，， 【分析】根据“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可证得结论． 【详解】解：，，，，，，理由如下： ∵， ∴，，， ∴，，． 变式 5-2 如图，，，则图中相似的三角形有________对．    【答案与解析】 6 【分析】根据相似三角形的判定，可判定共6对三角形相似． 【详解】解：如图，①∵，， ∴, 又∵， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴； ③∵，， ∴， ∵， ∴； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ⑤∵，， ∴； ⑥∵，， ∴． 综上所述，图中相似三角形有6对． 变式 5-3 如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案与解析】 C 【分析】由题意得出，进而得出相似三角形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似的三角形共有3对． 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合运用本讲知识，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【答案与解析】 (1)3，， (2) (3)如图3.1，点N即为所求； (4) 【分析】（1）通过平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质得出所求线段的长度比即可解决； （2）连接，分别过点K、L作的平行线，交于点，； （3）先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； （4）过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D，得出，根据相似三角形性质求出，设，从而求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴，， ∴； （3）证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图， 过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D， ∴， ∴， ∴， 设， ∵和， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 挑战 2 在中，点P位于直角边上，且与点A、C不重合，试过点P作直线截，使截得的三角形与原相似，画出所有可能的图形，并说明理由． 【答案与解析】 如图，作交于点D，作交于点F，交于点E，则，，与原相似． 理由如下： ， ，， ； 同理，， ，， ； ， 又， ． 【分析】根据相似三角形的判定定理，构造两组对角相等，即可得到与原相似的三角形． 【详解】略 ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 第 1 题 如图，，如果，，那么___________． 【答案与解析】 【分析】由可得，，又因为两组对顶角相等，得和，再根据相似三角形对应线段成比例即可求解． 【详解】 解： ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∴， 即． 第 2 题 如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案与解析】 证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 第 3 题 已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【答案与解析】 证明：， ， ∵， ∴， ． 【分析】由两组对应角相等的两个三角形相似可证． 【详解】略 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图，在中，D，E分别是，上的点，，若，那么_______． 【答案与解析】 【分析】由说明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 第 2 题 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案与解析】 D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，可得平行线分线段对应成比例，，再利用相似三角形对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B、C选项正确； ∵， ∴， ∴，故A选项正确，D选项不正确． 第 3 题 如图，在和中，和都是直角，．求证：． 【答案与解析】 证明：∵，， ∴． 【分析】根据有两角对应相等的两个三角形相似可得结论． 【详解】略 第 4 题 已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 【答案与解析】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】证出，由相似三角形的判定可得出结论． 【详解】略 学科网（北京）股份有限公司 $