28.2（1）相似三角形的判定（1）（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的核心知识，系统梳理相似三角形的定义（对应角相等、对应边成比例）、传递性、预备定理（平行线截得相似，含A型/X型模型）及判定定理1（两角对应相等），构建“概念理解-定理掌握-模型应用”的学习支架。 资料以模型化教学为特色，通过A型/X型、子母型、一线三等角等图形模型培养几何直观（数学眼光），结合定理推理过程发展推理意识（数学思维），分层设计随学随练、基础通关及素养提升题，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固与查漏补缺。

第二十七章 相似三角形 28.2（1） 形似三角形的判定（1） 课标要点 1. 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。 2. 掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 3. 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），分清图形 “A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理判定三角形相似。 4. 掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等）。 学习重难点 重点： 理解并掌握相似三角形预备定理、判定定理1； 难点： 分清图形 “A 型”“X 型”，找准对应顶点； 知识点 相似三角形的基本概念 1. 相似图形 生活中有许多形状相同，但大小不一定相同的图形，我们称之为相似图形。 2. 相似三角形 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 符号语言： ∵=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠c ∴△ADE 3. 相似三角形的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 符号语言： ∵△∽△ABC，△∽△ABC, ∴△∽△ 特别提醒 在用符号描述相似三角形时一定要防止混淆顶点，写错对应边成比例。 随学随练 1. 如图，已知：点D、E分别在△ABC的直线AB、AC上，且△ADE△ACB 分别指出两个图中相似三角形的对应角，以及写出成比例的对应边。 （1） （2） 【详解】（1）对应角是：∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) 成比例的对应边是： （2）对应角是：∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A (公共角) 成比例的对应边是： 知识点 相似三角形的预备定理 1. 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 2. 预备定理的基本模型 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 特别提醒 在运用相似三角形判定的预备定理时，一定要注意与平行线分线段定理的区别。 随学随练 1. 由教科书知道：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。如果平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似吗？ （1）已知，如图，中，点、分别在、上，且． 问：与相似吗？试证明． （2）如果在（1）中△ABC∽．那么和相似吗？ 【答案】（1）相似；（2）相似； 【详解】（1）证明如下：如图，过点D作交BC于点F 易得：四边形DECF是平行四边形，即DE=FC 由已知得 ，， ∵DE∥BC ∴（平行线分线段成比例定理） 又∵DF∥AC ∴ ∴ ∴ ∴由相似三角形定义得：∽． （2） ∵∽， ∽． ∴≌（相似三角形的传递性） 知识点 相似三角形判定定理1 1. 定理：两角对应相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠，∠B=∠ ∴△ABC∽△ 2. 相似三角形的常见模型 符号语言： ∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴ED∽△ABC ∴ DE∽△AB C 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADC=∠ACD，∠A=∠A (公共角) ∴CD∽△ABC ∴ CD∽△AB C 一线三等角模型 符号语言： 条件：∠ADE=∠B=∠C 结论：BAD∽△CDE 证明：∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADE+∠ADB+∠CDE=180°， 又∵∠ADE=∠B ∴∠BAD=∠CDE ∴BAD∽△CDE （AA） 特别提醒 在运用相似三角形判定定理时，关键是要先找准对应角。 随学随练 1. 如图，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】解：， ． ， ． 【点睛】本题也可以用预备定理证明。 2．已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型相似三角形基本概念辨析 ▌例1下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的概念，两个图形相似需对应角相等且对应边成比例． 圆、等边三角形和正方形都一定满足，而菱形角不一定相等，故不一定相似． 【详解】解：A、两个圆形状相同，一定相似，故选项不符合题意； B、两个等边三角形，角均为，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； C、两个正方形，角均为，对应边成比例，一定相似，故选项不符合题意； D、两个菱形对应角不一定相等（如一个为正方形，一个为一般菱形），不一定相似，故选项符合题意． 故选：D． ▌例2如果，那么与也相似．这一事实的数学依据是（    ） A．等量代换 B．三角形具有稳定性 C．三角形相似的传递性 D．相似三角形的预备定理 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，具体是相似关系的传递性． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据相似三角形的传递性，． 故选C． ▌对点练1. 把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比值是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． ▌对点练2. 如图，已知：点DE//BC，DF//AC且△ADE△ABC，△DBF△ABC，那么△ADE和△DBF相似吗？如果相似请指出相似三角形的对应角，以及写出成比例的对应边。 【详解】（1）相似，理由如下 ∵△ADE△ABC，△DBF△ABC ∴△ADE△DBF （相似三角形的传递性） （2）对应角是：∠ADE=∠B，∠AED=∠DFB，∠A=∠BDE 成比例的对应边是： ▌对点练3. 如图，在正方形中AD=4cm，P为中点，Q为上一点，且,求PQ长度。 【分析】本题主要考查了相似三角形的定义，正方形的性质，由正方形的性质得出，由得出，进而求出CQ,PQ的长度。 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，PD=CP=2, ∵ ∴=， ∴CQ= ∴PQ= 题型 相似三角形判定预备定理的应用 解题贴士 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 ▌例1如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【分析】先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：、分别是、的中点， ， ． ▌例2如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． ▌对点练1. 如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． ▌对点练2. 如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． ▌对点练3. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，求的长。 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． ▌对点练4. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴(相似三角形的传递性) （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型 相似三角形判定定理1的应用 解题贴士 判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； 解题技巧：善于寻找公共角、对顶角、旋转角、两直线平行的同位角内错角、同角的余角。 ▌例1如图，分别是边上的高．求证． 【分析】先利用平行四边形的性质可得，再根据分别是边上的高，可得，即可证明． 【详解】证明：∵中，， ， ． ∵分别是边上的高， ， ． ▌对点练1. 下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． ▌对点练2. 如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． ▌对点练3. 如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证． 【详解】证明：、， ， 又， ， ． ▌对点练4. 如图，正方形中，是的中点，AE⏊EF．与是否相似？求证：CF= 【详解】(1)解：与相似．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠B=∠C=90° ∴∠AEB+∠BAE=90° ∵AE⏊EF ∴∠AEB+∠CEF=90° ∴∠BAE=∠CEF ． (2) ∴ ∵E是BC中点 ∴CF=. 题型 A字模型和X字模型的辨析 ▌例1 如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点求证：．解题贴士 （1）由平行产生的A字型、X字型相似简称“正A字型”、“正X型”（又称“8字型”）； （2）没有平行的A字型、X字型相似简称“反A字型”、“反X型”（又称“反8字型”）； 【详解】证明：， ， ， ， ． ▌例2如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D ▌例3 如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． ▌对点练1. 平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． ▌对点练2. 如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 图中的相似三角形共有6对， 故选：D． ▌对点练3. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得（A字型），（A字型），（反A字型）. ▌对点练4. 如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是(反X字型)，（反A字型）． 故答案为：，（答案不唯一）． ▌对点练5. 如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴． ▌对点练6. 如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，求证：∠C’EF=∠CBF 【详解】证明：由旋转的性质可得，， ∴， 又∵， ∴(反X字型)， ∴∠C’EF=∠CBF 题型 子母型相似的辨析 ▌例1 如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可），求证：AC2=ADAB解题贴士 1. 子母型的图形特征：大三角形里嵌套着小三角形状，它们共顶角，有公共边，另有一组对应角相等； 2. 子母型相似中存在特殊比例线段——“有一条线段（公共边）的平方等于两条线段的乘积； 3. 身影定理图形是特殊的子母型相似。 【详解】（1）解：∵∠A=∠A， ∴添加或（答案不唯一）时，△ADC△ACB. （2）∵△ADC△ACB ∴ ∴AC2=ADAB ▌例2 如图，在中，是斜边上的高，于点， （1）除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ （2）求证：AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=ABBD 【详解】（1）解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． （2）①∵； ∴ ∴AC2=ADAB ②∵， ∴ ∴ ∴CD2=ADBD ③∵ ∴ ∴BC2=ABBD ▌对点练1. 如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 【详解】解：， ． 又 ． 同理可得， ∴共有对相似三角形． 故答案为：． ▌对点练2. 将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） ▌对点练3. 如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【详解】证明：由作法得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ▌对点练4. 如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：BC2=CDCA． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的中垂线交于点即可； （2）根据等边对等角，得到，进而求出，得到，再根据，证即可证得结论。 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴ ∴BC2=CDCA ▌对点练5. 如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据等腰三角形的性质，易证，再根据三角形外角的性质和等量代换，可证，最后利用“”，即可求证． 【详解】证明：， ， ，，， ， ， ， ． 题型 一线三等角模型的辨析 ▌例1 如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：．解题贴士 1. 一线三等角的图形特征：一条直线上有三个相等，故称“一线三等角”； 2. 一线三等角相似中存在的结论：以直线中间的角为顶角，左右两个三角形相似； 3. 当三个相等角都是直角时，图形简称“K字型模型” 【分析】利用等边三角形性质得，结合，，得出，即可证明． 【详解】证明：为等边三角形， ， ，， ， ． ▌例2如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． 求证：． 【答案】见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． 根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， ▌例3如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据矩形的性质，垂直的定义，利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据矩形的性质，得，利用，求的长，再结合，解答即可． 本题考查了矩形的性质，垂直的定义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． ▌对点练1. 如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． 【分析】先根据等腰三角形的性质，易证，再根据三角形外角的性质和等量代换，可证，即可求证． 【详解】证明：， ， ，，， ， 又∵∠B=∠C ▌对点练2. 如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． 求证：． 【详解】证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； ▌对点练3. 如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：AD2=AEEB． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由矩形的性质可得，结合，可得，根据两组对角相等即可证明即可获证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ． ∴ ∴AD=AEEB ∵AD=BC ∴AD2=AEEB 基础通关 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边三角形由于角固定，故总是相似．根据相似三角形的判定定理，两个三角形相似需对应角相等或对应边成比例．等边三角形的所有角均为，故一定相似． 【详解】解：A．两个等腰三角形的顶角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． B．两个直角三角形的锐角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． C．∵等边三角形的每个内角均为60°，∴任何两个等边三角形的对应角都相等，∴它们一定相似． D．两个钝角三角形的钝角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． 因此，正确的是C． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图，∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，若，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 可得 ，但需注意相似比是 ，而题目给的是 ，需要先求出 ． 【详解】解：∵， ，， ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 5．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 7．（25-26九年级下·广西贵港·阶段检测）如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵,, ∴, ∵， ∴,, ∴， ∴, ． 8．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 三、解答题 9．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 即， 解得． 10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据，即可求证； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， 解得：． 素养提升 1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 4．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 6．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高_________米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意判定三角形相似，由相似三角形的性质列比例关系，代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∴， 设树高米， ∵米，米，米， ∴， ∴， ∴树高米， 故答案为：． 7．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，证得，再根据相似比求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的边上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，进而证明 （2）证明，根据，，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ 9．（25-26九年级下·湖南株洲·阶段检测）已知，如图，四边形 中，，，．求证： (1)∽． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据推出 ，进而证明； （2）根据∽的对应边比例相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， 又 ∵， ∴∽； （2）证明：∵∽， ， ． 10．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 11．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得出，根据三角形的外角定理和角度的和差关系得出，即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 12．（25-26九年级下·四川内江·开学考试）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为． 【分析】（1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，结合即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为． 迁移创新 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点D在边上，连接，，请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【分析】由于，只需要作，即可得到． 【详解】解：如图所示，点E即为所求． 2．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）由题意得，利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）设，证明，得到，据此求解即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵N是的中点， ∴设， ∵矩形， ∴，，， 同理，得， ∴， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； 3．（25-26八年级下·吉林·期中）【问题背景】中，，，为上的动点，小明拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转． 【用数学的眼光观察】 (1)如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：_____； ①；②；③；④． 【用数学的知识计算】 (2)当，时，则的值为_____； 【用数学的思维思考】 (3)将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)②③④ (2) (3)与相似，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，利用外角性质得出，即可证明，可判定②正确；根据相似三角形的性质可判定③④正确；根据没有边相等的条件，可得与不一定全等，可判定①错误；可得答案； （2）根据相似三角形的性质得出，代入各边长，即可得出的值； （3）根据外角性质得出，结合即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∴，，故③④正确， ∵没有边相等的条件， ∴与不一定全等，故①错误， ∴结论正确的是②③④． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． （3）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 相似三角形 28.2（1） 形似三角形的判定（1） 课标要点 1. 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。 2. 掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 3. 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），分清图形 “A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理判定三角形相似。 4. 掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等）。 学习重难点 重点： 理解并掌握相似三角形预备定理、判定定理1； 难点： 分清图形 “A 型”“X 型”，找准对应顶点； 知识点 相似三角形的基本概念 1. 相似图形 生活中有许多形状相同，但大小不一定相同的图形，我们称之为相似图形。 2. 相似三角形 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 符号语言： ∵=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠c ∴△ADE 3. 相似三角形的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 符号语言： ∵△∽△ABC，△∽△ABC, ∴△∽△ 特别提醒 在用符号描述相似三角形时一定要防止混淆顶点，写错对应边成比例。 随学随练 1. 如图，已知：点D、E分别在△ABC的直线AB、AC上，且△ADE△ACB 分别指出两个图中相似三角形的对应角，以及写出成比例的对应边。 （1） （2） 知识点 相似三角形的预备定理 1. 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 2. 预备定理的基本模型 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 特别提醒 在运用相似三角形判定的预备定理时，一定要注意与平行线分线段定理的区别。 随学随练 1. 由教科书知道：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。如果平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似吗？ （1）已知，如图，中，点、分别在、上，且． 问：与相似吗？试证明． （2）如果在（1）中△ABC∽．那么和相似吗？ 知识点 相似三角形判定定理1 1. 定理：两角对应相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠，∠B=∠ ∴△ABC∽△ 2. 相似三角形的常见模型 符号语言： ∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴ED∽△ABC ∴ DE∽△AB C 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADC=∠ACD，∠A=∠A (公共角) ∴CD∽△ABC ∴ CD∽△AB C 一线三等角模型 符号语言： 条件：∠ADE=∠B=∠C 结论：BAD∽△CDE 证明：∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADE+∠ADB+∠CDE=180°， 又∵∠ADE=∠B ∴∠BAD=∠CDE ∴BAD∽△CDE （AA） 特别提醒 在运用相似三角形判定定理时，关键是要先找准对应角。 随学随练 1. 如图，，，求证：． 2．已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 题型相似三角形基本概念辨析 ▌例1下列两个图形不一定是相似形的是（   ） A．两个圆 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 ▌例2如果，那么与也相似．这一事实的数学依据是（    ） A．等量代换 B．三角形具有稳定性 C．三角形相似的传递性 D．相似三角形的预备定理 ▌对点练1. 把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． ▌对点练2. 如图，已知：点DE//BC，DF//AC且△ADE△ABC，△DBF△ABC，那么△ADE和△DBF相似吗？如果相似请指出相似三角形的对应角，以及写出成比例的对应边。 ▌对点练3. 如图，在正方形中AD=4cm，P为中点，Q为上一点，且,求PQ长度。 题型 相似三角形判定预备定理的应用 解题贴士 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 ▌例1如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． ▌例2如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． ▌对点练1. 如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ▌对点练2. 如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 ▌对点练3. 如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，求的长。 ▌对点练4. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型 相似三角形判定定理1的应用 解题贴士 判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； 解题技巧：善于寻找公共角、对顶角、旋转角、两直线平行的同位角内错角、同角的余角。 ▌例1如图，分别是边上的高．求证． ▌对点练1. 下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 ▌对点练2. 如图，相交于的点，且．求证： ． ▌对点练3. 如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． ▌对点练4. 如图，正方形中，是的中点，AE⏊EF．与是否相似？求证：CF= 题型 A字模型和X字模型的辨析 ▌例1 如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点求证：．解题贴士 （1）由平行产生的A字型、X字型相似简称“正A字型”、“正X型”（又称“8字型”）； （2）没有平行的A字型、X字型相似简称“反A字型”、“反X型”（又称“反8字型”）； ▌例2如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． ▌例3 如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1. 平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练2. 如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 ▌对点练3. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 ▌对点练4. 如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． ▌对点练5. 如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． ▌对点练6. 如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，求证：∠C’EF=∠CBF 题型 子母型相似的辨析 ▌例1 如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可），求证：AC2=ADAB解题贴士 1. 子母型的图形特征：大三角形里嵌套着小三角形状，它们共顶角，有公共边，另有一组对应角相等； 2. 子母型相似中存在特殊比例线段——“有一条线段（公共边）的平方等于两条线段的乘积； 3. 身影定理图形是特殊的子母型相似。 ▌例2 如图，在中，是斜边上的高，于点， （1）除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ （2）求证：AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=ABBD ▌对点练1. 如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． ▌对点练2. 将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） ▌对点练3. 如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． ▌对点练4. 如图，在中，． (1)尺规作图，在边上作一点D，使点D到点A、点B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：BC2=CDCA． ▌对点练5. 如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． 题型 一线三等角模型的辨析 ▌例1 如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：．解题贴士 1. 一线三等角的图形特征：一条直线上有三个相等，故称“一线三等角”； 2. 一线三等角相似中存在的结论：以直线中间的角为顶角，左右两个三角形相似； 3. 当三个相等角都是直角时，图形简称“K字型模型” ▌例2如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． 求证：． ▌例3如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． ▌对点练1. 如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． ▌对点练2. 如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． 求证：． ▌对点练3. 如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：AD2=AEEB． 基础通关 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，若，，则 A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·广西贵港·阶段检测）如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 8．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 三、解答题 9．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 素养提升 1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 3．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 4．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高_________米． 7．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的边上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（25-26九年级下·湖南株洲·阶段检测）已知，如图，四边形 中，，，．求证： (1)∽． (2)． 10．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 11．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（25-26九年级下·四川内江·开学考试）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 迁移创新 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点D在边上，连接，，请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得（不写作法，保留作图痕迹） 2．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； 3．（25-26八年级下·吉林·期中）【问题背景】中，，，为上的动点，小明拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转． 【用数学的眼光观察】 (1)如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：_____； ①；②；③；④． 【用数学的知识计算】 (2)当，时，则的值为_____； 【用数学的思维思考】 (3)将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，与相似吗？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $