精品解析：吉林长春市养正高级中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段练习数学试题

长春市养正高级中学2026-2027学年上学期 高三年级 数学学科 第一次阶段练习 检测时间：2026年10月9日 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给集合解不等式可得，，再求交集即可得解. 【详解】， ， 由，故． 故选：C． 2. 下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为， 而，但， 故在定义域上不是增函数，故A错误. 对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B错误. 对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误. 对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数， 而，故为奇函数，符合. 故选：D. 3. 种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可计算出的值，代入表达式即可计算结果. 【详解】由题意知，则， 故5年后该种群数量是起始数量的倍． 故选：A. 4. 函数图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，可得出合适的选项. 【详解】，该函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，排除C，D， 当时，，，，此时，排除B， 因此，函数图象的大致形状是A选项中的函数图象. 5. 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将原函数拆分为奇函数与常数的和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数的性质求解. 【详解】构造函数，其定义域为，关于原点对称，  ，因此为奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数的性质得， 由于，故的最大值，最小值， 因此. 6. 已知函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性，以及指数、对数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，易知，解得. 故选：C. 7. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 8. 已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（） A. 13 B. 9 C. 7 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质将抽象等式转化为，再通过“1的代换”结合基本不等式可求出最小值. 【详解】已知函数，定义域为，且， 因为， 所以是奇函数； 因为与都在上单调递增， 所以在上单调递增， 由， 移项得：， 由于是奇函数，所以， 因此：， 因为是单调递增函数， 即：， ， ， 因为， 根据基本不等式， 得：， 所以：， 当且仅当即时等号成立， 将代入，得，即， 此时的最小值是. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：特称命题的否定为全称命题，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 原命题“，”的否定为“，”，正确. 选项B：指数函数满足，令即，代入得， 故函数恒过定点，不是，错误. 选项C：是偶函数，故，， 又在上为减函数，且，因此，正确. 选项D：因为为增函数，且对称轴为，且要满足， 即或，所以函数递增区间为，错误. 10. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】 选项A：，因为式， 当且仅当时等号成立，故，因此，A正确； 选项B：，由得，即，故B错误； 选项C：，由得， 因此，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，由得，当且仅当时等号成立，D正确. 11. 若函数有三个零点，，则下列说法中正确的是（   ） A. B. C. 若，，成等差数列，则 D. 若，，成等比数列，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由三次函数的零点个数，可知该函数的单调区间至少有三个，求该函数的导函数，转化为二次函数的判别式求解可得；对于B，利用三次函数的三根式表达形式，求导后，通过赋值通分化简可得；对于C，将三次函数的三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；对于D，由根与系数的关系，消元转化，用分别表示，即可判断． 【详解】对于A，由题意，可得． 由于函数有三个零点，则至少有三个单调区间， 故有两个不等实根，则，解得，故A错误； 对于B，由题意，可知， 则， 故． 同理可得，． 故 ，故B正确； 对于C， ， 则，，． 若，，成等差数列，则， 则，故，，则， 故，即，故C正确； 对于D，若，，成等比数列，则，， 故，， 则，，由，可知，故D错误． 【点睛】解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用．问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如对于C、D的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷． 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得不等式组：， 解得：或， 所以函数的定义域为. 13. 已知函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【详解】，. 14. 设函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切都成立，又当时，，则下列四个命题： ①函数是以2为周期的周期函数； ②当时，； ③函数的图象关于对称； ④函数的图象关于对称． 其中正确的命题是________ 【答案】 ③④ 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、给定的递推关系，分别验证周期、区间解析式、轴对称及中心对称性质，逐一判断命题正误. 【详解】已知函数是定义在上的奇函数，故对任意，有，且；又对任意，。 判断命题①： 将中的替换为，得；再将替换为，得， 联立两式得，故是以为周期的周期函数，命题①错误； 判断命题②： 当时，，由已知时，故， 结合，得，与命题②给出的解析式不符，故命题②错误； 判断命题③： 函数图象关于对称的充要条件为对任意，， 由奇函数性质：； 由递推关系：， 代入上式得，故命题③正确； 判断命题④： 函数图象关于对称的充要条件为对任意，， 由递推关系：； 由奇函数性质和递推关系：； 故，命题④正确。 综上，正确的命题为③④. 四、解答题（5小题，共77分） 15. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知数列为等差数列，直接用即可求出公差，进而可求得通项公式. （2）使用裂项相消法即可求得的前项和. 【小问1详解】 ，则公差， 则. 【小问2详解】 ， 则， 即， 则 . 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求出A角正弦值，最后根据A为钝角确定角A大小； （2）先用余弦定理求出a与b的关系，再结合周长条件解出b，最后代入面积公式得到结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为的面积为，所以， 即，所以， 因为为钝角，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，所以， 又， 所以，故. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设，当时，求函数的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，根据切点坐标可得结果； （2）求导后，根据正负可得函数单调性，进而确定最大值为. 【小问1详解】 当时，，则， ，， 在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， 的定义域为，， ，，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由，借助于韦达定理代入计算即得. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市养正高级中学2026-2027学年上学期 高三年级 数学学科 第一次阶段练习 检测时间：2026年10月9日 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A. B. C. D. 3. 种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 6. 已知函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（） A. 13 B. 9 C. 7 D. 3 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 10. 已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数有三个零点，，则下列说法中正确的是（   ） A. B. C. 若，，成等差数列，则 D. 若，，成等比数列，则 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的定义域为________． 13. 已知函数，则____________． 14. 设函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切都成立，又当时，，则下列四个命题： ①函数是以2为周期的周期函数； ②当时，； ③函数的图象关于对称； ④函数的图象关于对称． 其中正确的命题是________ 四、解答题（5小题，共77分） 15. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）设，当时，求函数的最大值； 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $