精品解析：吉林四平市第一高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，显然，充分性成立； 当时，，解得或，不能推出，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知定义域为的函数满足，当时，，则（ ） A. 0 B. 24 C. 35 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】由 知 是周期为 3 的周期函数，把 沿周期平移到给定解析式的区间 内，再代入求值. 【详解】反复应用 ：，，所以 . 因为 ，此时 ，所以 . 4. 若的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式求解判断即可. 【详解】的展开式的通项为． 因为展开式中含有常数项，所以有解，即． 又，，故的最小值为5． 5. 在直角坐标系中，一个质点在半径为的圆上，以圆与轴正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到点，每转一圈，则后的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取线段的中点，可知，求出的大小，可得出，利用锐角三角函数的定义可求出的长，即可得出的长. 【详解】取线段的中点，由垂径定理可知，如下图所示： 由题意可知， 因为，为的中点，所以， 由锐角三角函数的定义可知，则， 故. 6. 北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 【答案】C 【解析】 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学，先分组再排列， 5人分为：1，1，3，则有种； 5人分为：1，2，2，则有种， 所以一共有种方法 7. 已知函数在上的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对原函数求导并根据参数的符号分类讨论得出单调性与最小值表达式，随后构造函数并利用其单调性求出唯一解，最终确定参数的值. 【详解】， 若，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 则， 令 因为， 所以在区间上单调递增，且，所以，符合题意； 若，显然不合题意； 若，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以存在最大值，不存在最小值，不合题意. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，可得，所以， ， 两式联立解得，， 所以， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费（单位：万元）与销售利润（单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为．已知投入的广告费，销售利润，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，样本中心点为，因此线性回归方程过点，A正确； 对于B，把点代入到，得，B正确； 对于C，由，得与呈正相关，C正确； 对于D，当投入的广告费为6万元时，销售利润估计为10.4万元，D错误． 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 11. 甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，当其中人比另一人多胜轮就获得胜利，则（ ） A. 两轮结束后出现平局的概率为 B. 第4轮结束后甲获胜的概率为 C. 至多轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为 D. 甲获胜的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据两轮比赛的所有胜负情况，结合独立事件概率乘法公式计算对应事件的概率即可判断；选项B，根据前两轮必须是平局，后两轮甲全胜，结合独立事件概率乘法公式计算该概率；选项C，设至多轮结束，甲获胜概率为，乙获胜概率为，以为例，至多2轮结束时，求得，，再根据比值判断即可；选项D，设甲最终获胜的概率为，分类讨论甲获胜概率并建立关于的方程即可. 【详解】选项A，两轮结束后出现平局，即两人各胜1轮，共2种情况（甲胜第一轮乙胜第二轮，反之亦然）， 概率为 ，A错误. 选项B，第4轮结束甲获胜，说明前两轮是平局，后两轮甲连胜： ，B正确. 选项C，设至多轮结束，甲获胜概率为，乙获胜概率为， 以为例，至多2轮结束时，，， 比值为，而，两者不一定相等，故C错误. 选项D，设甲最终获胜的概率为，可得： 前两轮甲连胜，甲获胜，概率； 前两轮乙连胜，甲失败，概率； 前两轮平局，概率，此时回到初始状态，甲获胜概率仍为. 列方程得： 整理得：，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】等价于恒成立，利用判别式即可求解. 【详解】函数单调递增， 所以恒成立， 则，可得. 13. 已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 【答案】7 【解析】 【详解】（1）当时，有，有. ①当时，由，有，解得； ②当时，由，有，解得或. （2）当时，有，有或. ①当时，由或，有或，解得（舍去）或（舍去）. ②当时，由或，有或，解得或或或. 由上知或3或或9或或或，故满足条件的实数的值有7个. 14. 某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表： 防冰涂层类型 积冰情况 合计 无积冰 有积冰 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 （1）分别求两种防冰涂层的合格率； （2）依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】（1）电热防冰涂层合格率为，疏水防冰涂层合格率为. （2）在的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联． 【解析】 【小问1详解】 由列联表可知，电热防冰涂层总数量100，合格数量70， 故电热防冰涂层的合格率为， 疏水防冰涂层总数量100，合格数量85， 故疏水防冰涂层的合格率为． 【小问2详解】 零假设为：防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰无关， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，我们推断不成立， 即认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关． 16. 已知函数． （1）求关于x的不等式的解集； （2）若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简得到，再根据正弦函数的图象及性质求解即可； （2）转化问题为函数与在上有2个交点，进而结合图象求解即可. 【小问1详解】 由 ， 则不等式，可化为， 可得，解得， 故关于的不等式的解集为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 因为方程在上有两个不相等的实数根， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 所以函数与在上有2个交点，如图， 由图可知，，故实数的取值范围为. 17. 已知函数是偶函数，且函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为． （i）求集合； （ii）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列式求解即可； （2）（ⅰ）结合奇函数的性质，利用函数单调性解不等式； （ⅱ）将问题转化为在上恒成立，令，则，然后利用对勾函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 则，① 又， 则，② 由①②得. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知，为奇函数，则， 又，在上均为减函数，所以在上为减函数， 由，得， 根据在上的单调性可知，， 解得，故. （ⅱ）由（ⅰ）可知，. 当时，， 由，得， 所以在上恒成立， 令，则，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，则， 所以， 故实数的取值范围为. 18. 记的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由， 两边平方得，， 又由，所以， 即， 又由，有，整理得， 又由，所以， 因此为等边三角形，所以. 由（ⅰ）可知，，所以， 在中，，由余弦定理得，. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和正弦定理化简等式，即可求得角； （2）（ⅰ）作辅助线，利用三角形中位线，求得线段比例，从而得到面积表达式.由余弦定理和基本不等式求得面积最大值，从而求得的值； （ⅱ）以为基底表示出，由向量的模建立的等量关系，结合余弦定理解得的关系.结合（ⅰ）中的结论，表示出，然后通过余弦定理即可求得. 【小问1详解】 由，得 由正弦定理得， 所以， 又，故. 【小问2详解】 （ⅰ）如图，由题意可知，为边的中点，过点作，交于点，则为的中位线，所以，， 又，所以，又，所以，则， 因此， 又，所以，则， 由与余弦定理得，，当且仅当时取等号.所以. 又的最大面积为，所以， 解得. （ⅱ）略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：有唯一的极大值点； （3）设为的极大值点，且．证明：． 【答案】（1） （2）证明：， 当时，，在上单调递减； 当时，， 令，则， 令，则，所以在上单调递增， 由，得， 所以，则， 令， 易知在上单调递减， 又， ， 设，则，令，所以，则在上单调递减， 所以，即. 因此，结合单调性，可知存在唯一的，使得，即， 故为唯一的极值点. 当时，，即，所以在上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减， 再结合在上单调递减，所以为在上的极大值点. 综上可知，有唯一的极大值点. （3）由（2）知，的最大值为，当时，， 所以，则， 由，恒成立，得，则. 因为，且，可得，有， 又由函数单调递增，且有，可得. 将代入不等式，可化为. 令， 有， 令， 有. 由，有，可得函数单调递减，可得， 可得函数单调递增，有， 故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求导后代入切点横坐标得到切线斜率，结合点斜式即可求解切线方程； （2）先求导，通过变形构造同构函数，结合辅助函数的单调性、零点存在定理证明导函数存在唯一零点，再判断零点两侧导函数的正负，确定该零点为唯一极大值点； （3）利用第二问得到的极大值点满足的等量关系消去参数，结合的恒成立条件得到参数范围，最终将待证不等式转化为关于的单变量不等式完成证明. 【小问1详解】 当时，， 又，则， 所以当时，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法归纳 1. 函数唯一极值点的通用证明流程：先求导，构造辅助函数研究导函数的零点，结合单调性与零点存在定理证明零点唯一，再判断零点两侧导函数的正负，确定极值类型. 2. 本题第二问用到同构转化技巧，将变形为，利用的单调性简化方程，大幅降低运算复杂度. 3. 涉及极值点的不等式证明，常利用极值点处导函数为0的等量关系消去参数，将多变量问题转化为单变量函数问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知定义域为的函数满足，当时，，则（ ） A. 0 B. 24 C. 35 D. 48 4. 若的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 5. 在直角坐标系中，一个质点在半径为的圆上，以圆与轴正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到点，每转一圈，则后的长为（ ） A. B. C. D. 6. 北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（ ） A. 60 B. 90 C. 150 D. 240 7. 已知函数在上的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费（单位：万元）与销售利润（单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为．已知投入的广告费，销售利润，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，当其中人比另一人多胜轮就获得胜利，则（ ） A. 两轮结束后出现平局的概率为 B. 第4轮结束后甲获胜的概率为 C. 至多轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为 D. 甲获胜的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数单调递增，则实数的取值范围为________． 13. 已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 14. 某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表： 防冰涂层类型 积冰情况 合计 无积冰 有积冰 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 （1）分别求两种防冰涂层的合格率； （2）依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？ 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 3.841 6.635 16. 已知函数． （1）求关于x的不等式的解集； （2）若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 17. 已知函数是偶函数，且函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为． （i）求集合； （ii）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 记的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：有唯一的极大值点； （3）设为的极大值点，且．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $