湖北咸宁市2026-2027学年人教版九年级数学上册第一阶段性测试（第25-26章）

湖北咸宁市2026-2027学年人教版九年级数学上册第一阶段性测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）关于x的方程是一元二次方程，则m的范围是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）将一元二次方程化为一般形式后，常数项是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．1 B． C．5 D． 4．（本题3分）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 6．（本题3分）若正比例函数，y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（     ） A．B．C．D． 7．（本题3分）若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（     ） A．2或3 B．3或4 C．6或3 D．7或4 8．（本题3分）已知二次函数（为常数）在自变量的值取的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（本题3分）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 10．（本题3分）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论：①；②；③；④，其中所有正确的结论是（     ） A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为________． 12．（本题3分）将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 13．（本题3分）已知，是抛物线上两点，则正数__________． 14．（本题3分）抛物线与轴的其中一个交点坐标是，则的值为________． 15．（本题3分）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 16．（本题3分）为了让学生以更好的状态迎接体考，学校安排了模拟训练．小海参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当，，时，所对应的重心高度分别记为，，，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知二次函数． (1)将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项； (2)写出该二次函数图象的顶点坐标． 19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 20．（本题8分）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 21．（本题9分）已知二次函数的图象过，顶点B坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若图象与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，点P在二次函数的图象上且，求点P的坐标． 22．（本题9分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长是的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，各留一个宽的门． (1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为； (2)所围矩形猪舍的面积能是吗？请说明理由． 23．（本题10分）“南阳是一个值得三顾的城市”，南阳武侯祠中存有岳飞手书的诸葛亮出师表石刻，武侯祠制作的文创产品“岳飞手书出师表”深受游客喜爱，某商店销售这种文创产品，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该产品销售量的月平均增长率； (2)若此产品的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该产品的售价应定为多少元/个？ (3)直接写出当售价为________元时，商店取得最大利润，最大利润是________元． 24．（本题12分）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 第6页（共6页） 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《湖北咸宁市2026-2027学年人教版九年级数学上册第一阶段性测试（第25-26章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B C B D C D 1．C 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得． 2．C 【详解】解：， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∴常数项为． 3．D 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程． 【详解】解：是关于的方程的一个根， 将代入，得， 解得：． 4．A 【分析】利用抛物线的解析式求出与，再比大小即可． 【详解】解：将代入，得 ， 将代入，得 ， ∵， ∴． 5．B 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，B选项正确； 抛物线的顶点坐标为，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项错误． 6．C 【详解】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，且二者交于原点， 故只有C选项符合题意． 7．B 【分析】等腰三角形边长为3的边未明确是腰还是底，需分类讨论，结合一元二次方程根的性质与三角形三边关系求解． 【详解】解：当腰长为3时，将代入，得： ， 解得， 此时方程为，即， 解得，， 三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为3时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时方程为，即， 解得， 三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或． 8．D 【分析】由二次函数顶点的函数值为小于给定最小值，可知对称轴不在区间内，分两种情况讨论求解． 【详解】解：二次函数开口向上，当时，取得最小值， ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， ①当时，在内，随的增大而增大， ∴时，取得最小值， 代入得， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； ②当时，在内，随的增大而减小， ∴时，取得最小值， 代入得， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 9．C 【分析】设，鸭舍的面积为，则，根据矩形面积公式列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，鸭舍的面积为， 由题意得， ， ∵墙的长度为，且， ∴， ∴， ∵在中，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴鸭舍面积的最大值为． 10．D 【分析】结论①：由抛物线开口方向判断符号；对称轴得到关系，判断符号；抛物线与轴交点判断符号；再判断正负． 结论②：把式子变形为对应的函数值的 4 倍，观察图像时函数图像在轴上方，，得到不等式成立． 结论③：利用抛物线对称轴，求出与轴另一个交点横坐标；代入解析式得到，因此等于 0 成立． 结论④：利用对称轴得到，代入式子化简为；根据，判断． 【详解】解：抛物线：，开口向下 ；对称轴 ，即 ，所以 ； 抛物线与轴交于正半轴，． 结论①： ，；①正确． 结论②： 把 代入： ． 在对称轴右侧，图像在轴上方，， ，②正确． 结论③：． 已知对称轴，一个交点， 由对称性：距离对称轴：， 另一根：． 所以当 时，． 两边同乘： 所以 ③正确． 结论④： ， ， ， ，④正确． 11．0 【分析】利用方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴将代入方程得 ， 即． ∵、是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得 ． ∴． 12． 【分析】根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到结果． 【详解】解：原抛物线解析式为， 将抛物线向右平移个单位，可得解析式， 再将得到的抛物线向下平移个单位，可得新的解析式为． 13． 【分析】已知两点纵坐标相等，都在抛物线上，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的等式，分类讨论舍去不符合题意的，即可得到正数的值． 【详解】解：∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． ∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． 当时，若，得，不符合两点是不同点的条件，舍去； 若，得，不是正数，舍去． 当时，若，得，不符合条件，舍去； 若，得，符合正数要求． 综上，正数． 14． 【分析】抛物线与轴交点坐标满足抛物线解析式，由此得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点是， ∴将代入解析式得， ∴， ∴ ． 15． 【分析】根据题意，得，故，利用函数交点的横坐标解答即可． 【详解】解：根据题意，得，故， 表示二次函数图象在直线的下方， 根据图象，得图象交点的横坐标为， 故的解集为：． 16． 【分析】分别将，，代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 18．(1)， 二次项为，一次项为，常数项为 (2) 【分析】（1）因为要将二次函数化为一般式，所以先根据多项式乘法法则展开，再合并同类项，整理为（）的形式，再对应区分二次项、一次项和常数项． （2）如果已经得到二次函数的一般式，那么可以选择配方法或者顶点坐标公式计算顶点坐标． 【详解】（1）解：， 二次项为，一次项为，常数项为； （2）解：， 该二次函数图象的顶点坐标为 ． 19．(1)证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 20．(1) 抛物线开口向上，顶点坐标为 (2) 当时，随的增大而减小 (3) 新抛物线不经过点 理由：平移后新抛物线解析式为 即为， 将代入得 ， 新抛物线不经过点． 【分析】（1）由二次函数顶点式直接判断开口方向与顶点坐标； （2）结合抛物线开口方向与对称轴，确定随增大而减小的的范围； （3）先推导平移后的抛物线解析式，再代入点的坐标验证． 【详解】（1）解：二次函数解析式为，二次项系数为，， 抛物线开口向上，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）略 21．(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）先设二次函数解析式为，（），再利用待定系数法即可解答； （2）先令，即，解方程即可得出点的坐标，再结合，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点B坐标为， ∴可设二次函数解析式为，（）， 根据题意，将代入，得， 解得， ． （2）解：∵， 当，即时， 解得，． 二次函数的图象过，且图象与x轴的另一个交点为C， ， ． 设点， 由得，， 即， 解得， 当时，即， 解得或； 当时，即， 解得或， 故点P的坐标为或或或． 22．(1)所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为 (2)解：所围矩形猪舍的面积不能是，理由如下： 设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为， 由题意得：， 解得或， ∵猪舍的一边利用长是的住房墙， ∴， ∴和均不符合题意， ∴所围矩形猪舍的面积不能是． 【分析】（1）设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为，利用矩形面积公式建立方程，解方程求出的值，再结合解答即可； （2）设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为，利用矩形面积公式建立方程，解方程求出的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设与住房墙平行的矩形边长为，则与住房墙垂直的矩形边长为， 由题意得：， 解得或， ∵猪舍的一边利用长是的住房墙， ∴， ∴， ∴， 答：所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为． （2）略． 23．(1)该产品的月平均增长率为 (2)售价应定为元/个 (3)50；4000 【分析】（1）列一元二次方程求解即可； （2）根据总利润单件利润销售量，设涨价金额为，列方程求解即可； （3）构建二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得， ， ， （舍），， 答：该产品的月平均增长率为． （2）解：设售价上涨元，则售价元，单件利润 元，销量个， 由题意得 解得，， 要尽可能给顾客实惠，涨价取小值 售价：（元） 答：售价应定为元/个． （3）解：设上涨元，利润为 当时，，售价元， 答案：售价为50元，最大利润4000元． 24．(1)， (2)点的坐标为 (3) 或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据对称性得到，进而得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可； （3）画出图象，数形结合进行求解即可. 【详解】（1）解：把点分别代入抛物线与直线，得： ，， ∴； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为1， 又∵抛物线与轴交于两点， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的值，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 联立，解得或， ∴， ∴两点间的横坐标之间的距离为3， ∵将点M向左平移3个单位长度得到点N， ∴轴或在轴上， ∴当点与点重合时，此时线段与抛物线只有一个公共点，当点在线段之间时，线段与抛物线只有一个公共点，当点与点重合时，线段与抛物线有两个公共点，当恰好过抛物线的顶点，即时，此时线段与抛物线只有一个公共点， 综上：或. 答案第2页（共14页） 答案第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $