精品解析：湖北武汉市粮道街中学2026-2027学年九年级上学期10月考试数学试题

武汉市粮道街中学 2026-2027学年度上学期10月 九年级数学作业设计与调研 一、选择题 1. 一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，4，2 B. 3，，2 C. 3，4， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式， 根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，． 故选：D． 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 3. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】∵一元二次方程，△=4−4×1×1=0. ∴此方程有两个相等的实数根. 故选B． 5. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵a，b 是方程 的实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 6. 已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 7. 林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握利用等量关系建立一元二次方程，林老师赠送每位同学一张签名卡，共x张；每位同学间互赠签名卡，即每个同学赠送其他个同学各一张卡，共张。总签名卡数为2704，再列出方程即可． 【详解】解：∵ 林老师赠送签名卡数量为x， 同学间互赠签名卡数量共张， 总签名卡数为2704， ∴． 故选：A． 8. 已知，是方程的两个实根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，是方程的两个实根，根据方程解的含义及根与系数的关系即可完成． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，； ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程解的概念及一元二次方程根与系数的关系，关键在于通过添减项进行正确变形，以便运用、与，达到运算简便． 9. 若，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵当时，的值随的增大而增大， ∴当时，， 此时得到最大值． 10. 若函数在的最大值是，最小值是，则（ ） A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 二、填空题 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入方程得：           故答案为：． 12. 若一元二次方程无实数根，则可取的最小整数值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记当时，方程有实数根是解题的关键．由方程没有实数根可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小整数即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得： ，的最小整数值是， 故答案为：． 13. 某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为______元． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据利润数量每件的利润建立与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：设销售单价元，商场每天获得的利润为元，则 ， 当时，， ∴当售价为21元时，每天获得的最大利润为108元． ∴该商场销售一件该种商品所获利润为6元， 故答案为：6． 14. “换元法”是解高次方程的常见方法，用这种方法解高次方程，那么它所有实数解的积是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则，解得或，进而求出的值，再进一步求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 当时，解得或， 当时，即， ∵， ∴无实数解， 综上或， ∴． 15. 如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 16. 已知抛物线（，n为常数）的一般形式为：（，a，b，c为常数）；该抛物线与x轴的一个交点在点和之间，且．则下列结论：①；②若抛物线与x轴的一个交点为，则；③若一元二次方程有两个互为相反数的根，则；④对于任意实数m，不等式恒成立．其中正确的说法有______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【详解】解：∵，， ∴，抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵该抛物线与x轴的一个交点在点和之间， ∴根据对称性可得该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∵当时，随的增大而减小， ∴当时，；当时，； 故①说法正确； 若抛物线与x轴的一个交点为，则， 解得， ∴， ∵， ∴，解得，故②说法正确； ∵， ∴化为， 展开化成一般式得， ∵一元二次方程有两个互为相反数的根， ∴根据根与系数关系可得， ∵， ∴，故③说法正确； ∵，， ∴ ， ∴当时， ∴不等式不是恒成立，故④说法错误； 综上所述，正确的说法有①②③． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得：． 18. 已知是关于x的二次函数． （1）若函数图象有最低点，求k的值； （2）判断点是否在（1）中的函数图象上． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的定义，二次函数的性质： （1）根据二次函数的定义可得，则，再由函数有最低点，即二次项系数大于0，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， ∵函数图象有最低点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为， 当时，， ∴断点不在（1）中的函数图象上． 19. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图实线所示． （1）函数图象与x轴的交点坐标为______、______． （2）当时，则y的取值范围为______． （3）若直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解方程，求解即可． （2）根据题意，确定新抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，然后根据函数的增减性解答即可． （3）根据函数的最小值，结合数形结合思想，解答即可． 【小问1详解】 解：令，得， 解方程，得， 故函数图象与x轴的交点坐标为． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 抛物线的对称轴为直线，函数的顶点坐标为， 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后的顶点坐标为， 新抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，且离对称轴的距离越大，函数值就越大； 在的范围内， 函数有最小值，且最小值为， ， 当时，函数取得最大值，且最大值为， y的取值范围为． 【小问3详解】 解：根据题意，新抛物线的解析式为， 当时，直线与函数有三个交点； 当时，直线与函数有四个交点； 故直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的解析式； （2）若点在二次函数图象上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，由三角形面积公式可求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得或， ， ，， ， ， ， ， ， 当时， 解得， 即点的坐标为； 当时， 解得或， 即点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，满足，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根, 可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2） 根据根与系数的关系得出，代入中即可求解． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若,是方程的两个根, 则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． 【小问1详解】 （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即 ∴； 【小问2详解】 ∵，， 由得，， ∴，解得，， ∵， ∴ 22. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）点B的坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； （2）设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得：， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为； 【小问3详解】 解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式 ； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，此时为等腰直角三角形，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，，若抛物线上存在点Q，使，请直接写出点Q的坐标：______． 【答案】（1） （2）8， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，构造方程组解答即可； （2）设点P的横坐标为m，根据抛物线解析式为，则，且，则， 则， ， 求得当，取得最大值，且最大值为4，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分两种情况，利用待定系数法，解方程组的思想，求得交点的坐标即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点P的横坐标为m，根据抛物线解析式为， 则，且， 则， 则， ∵为等腰直角三角形， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当，取得最大值，且最大值为4， 设面积为， ， ∴． 【小问3详解】 解：，， ， ， 取点， 是线段的垂直平分线， 连接， ． ， ． 过点作交抛物线于点． ． ， 设直线解析式为， ， ， 解得， ∴直线表达式为． ，且 ∴直线表达式为． ∵点在和上， ， 整理得， 解得， 故方程组的解为或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得，此时的坐标为； 取的中点K，作直线，交于R， ， ， 是线段的垂直平分线， 作直线交抛物线于点Q， ， ， ． ， 根据题意，得 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线表达式为． ∴， 解得， ． 设直线解析式为， ∴， 解得 ∴直线表达式为． ∵点在和上， ， 整理得， 解得， 故方程组的解为或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得，此时的坐标为； 综上所述，存在点，使得，且的坐标为或． 24. 定义：给定两个不等式（组）P和Q，若不等式（组）P的任意一个解，都是不等式（组）Q的一个解，则称不等式（组）P为不等式（组）Q的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集．已知：关于x的二次函数（a为常数），我们用集合A来表示的解集． （1）已知关于m的函数，；记集合C为的解集，集合D为的解集，若C是D的子集，则n的取值范围为______； （2）若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围； （3）由题目已知，令，关于x的函数，记集合B为的解集；若存在实数，使得A是B的子集，则实数b的取值范围为______． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先解得到，再解，得到，最后根据C是D的子集，得到，据此求解即可； （2）先确定当集合A中有且仅有3个整数时，这三个整数是，再分和两种情况解，根据整数解求解即可； （3）由得到，再由的解集，代入得，最后根据A是B的子集求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 整理得， 解得， 即集合C表示不等式的解集； ∵，， ∴， 解得，即集合D表示的解集 ∵C是D的子集， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线，开口向上， ∴当集合A中有且仅有3个整数时，这三个整数是， 当时，，解得， 当时，，的解集为， 即集合A表示的解集， 根据集合A中有且仅有3个整数可得， 解得， 此时结合可得； 当时，，的解集为， 即集合A表示的解集， 根据集合A中有且仅有3个整数可得， 解得， 此时结合可得； 综上所述，实数a的取值范围或； 【小问3详解】 解：集合A表示的解集， ∴， 当时，由（2）同理可得的解集， ∵， ∴， ∴ 即， ∴， ∵A是B的子集， ∴， 由得，，结合可得； 由得，可得，则，解得，此时，则 综上所述，实数b的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市粮道街中学 2026-2027学年度上学期10月 九年级数学作业设计与调研 一、选择题 1. 一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，4，2 B. 3，，2 C. 3，4， D. 3，， 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 10 6. 已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是方程的两个实根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 10. 若函数在的最大值是，最小值是，则（ ） A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关 二、填空题 11. 已知是方程的一个根，则的值为_____． 12. 若一元二次方程无实数根，则可取的最小整数值是______． 13. 某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为______元． 14. “换元法”是解高次方程的常见方法，用这种方法解高次方程，那么它所有实数解的积是______． 15. 如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 16. 已知抛物线（，n为常数）的一般形式为：（，a，b，c为常数）；该抛物线与x轴的一个交点在点和之间，且．则下列结论：①；②若抛物线与x轴的一个交点为，则；③若一元二次方程有两个互为相反数的根，则；④对于任意实数m，不等式恒成立．其中正确的说法有______．（填序号） 三、解答题 17. 解方程：． 18. 已知是关于x的二次函数． （1）若函数图象有最低点，求k的值； （2）判断点是否在（1）中的函数图象上． 19. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图实线所示． （1）函数图象与x轴的交点坐标为______、______． （2）当时，则y的取值范围为______． （3）若直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为______． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的解析式； （2）若点在二次函数图象上，且，求点的坐标． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求a的取值范围； （2）若，满足，求a的值． 22. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式 ； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，此时为等腰直角三角形，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，，若抛物线上存在点Q，使，请直接写出点Q的坐标：______． 24. 定义：给定两个不等式（组）P和Q，若不等式（组）P的任意一个解，都是不等式（组）Q的一个解，则称不等式（组）P为不等式（组）Q的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集．已知：关于x的二次函数（a为常数），我们用集合A来表示的解集． （1）已知关于m的函数，；记集合C为的解集，集合D为的解集，若C是D的子集，则n的取值范围为______； （2）若集合A中有且仅有3个整数，求实数a的取值范围； （3）由题目已知，令，关于x的函数，记集合B为的解集；若存在实数，使得A是B的子集，则实数b的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $