专题04 二次函数的应用 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题04二次函数的应用期中复习讲义 ✵复习目标 1.能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型，列出对应的函数解析式。 2.掌握利用二次函数性质求解实际问题的最值，理解自变量取值范围对最值结果的影响。 3.会解决面积最值、销售利润两类基础实际问题，体会函数建模思想。 4.能建立抛物线模型，求解简单抛物线型情境问题，会检验结果的实际意义。 ✵高频题型梳理 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 题型8.线段周长问题(二次函数综合) 题型9.面积问题(二次函数综合) 题型10.特殊三角形问题(二次函数综合) 题型11.特殊四边形问题(二次函数综合) 题型12.其他问题(二次函数综合) 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意。 2.设：区分变量与常量，分析数量关系；图形类问题结合图形分析，合理设出自变量。 3.列：建立二次函数模型，写出函数解析式。 4.解：利用二次函数解析式、图象与性质求解问题。 5.检：检验结果，合理取舍，得到符合实际意义的结论。 注意：实际问题存在自变量取值范围。需判断顶点横坐标是否在取值区间内；若顶点不在取值范围，则依据函数增减性求最值。 知识点二、常见应用模型 1.利润最值问题：合理设未知数，依据总利润=单件利润×销售量列函数关系式，借助二次函数性质求解最大利润。 2.面积最值问题：选定自变量，借助图形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求面积最值。 3.抛物线模型问题（拱桥、隧道等）：建立平面直角坐标系，确定图象上已知点坐标，求出抛物线解析式，结合解析式求解实际问题。 知识点三、实际问题的最值规律 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 1.a>0，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数在顶点处取得最小值； 2.a<0，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数在顶点处取得最大值。 重点：顶点横坐标必须在自变量取值范围内，最值才取顶点；若顶点不在取值区间内，则最值在区间端点处取得。 ✵易错提醒 1.求解实际问题最值，必须先确定自变量的取值范围，不可直接套用顶点公式。 2.自变量取值受现实条件约束，不符合实际的解需要舍去。 3.利润问题中，注意涨价或降价同时改变单件利润与销量。 4.抛物线模型问题中，坐标系选取会改变解析式，注意坐标符号。 ✵典例精讲 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 1．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 【答案】C 【分析】设，鸭舍的面积为，则，根据矩形面积公式列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，鸭舍的面积为， 由题意得， ， ∵墙的长度为，且， ∴， ∴， ∵在中，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴鸭舍面积的最大值为． 2．2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门．设长为x米，宣传区的面积为S米，则S的最大值是________． 【答案】108 【分析】根据题意表示出的长，根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，求出x的取值范围，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设长为x米，则米， 由题意得，， ∵墙长20米，且矩形的边长为正数， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为108． 3．为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．已知（单位米）．同时，再建造一个周长为12米的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为米，加长后水池1的总面积为平方米，则关于的函数表达式为：；设水池2的边的长为米，面积为平方米，则关于的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是_____；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_____． (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（平方米），关于（米）的函数表达式为：．当水池3与水池2的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出的值． 【答案】(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 整理得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （米）有唯一值， ，解得． 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 1．如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（     ） A．点坐标为 B．当时，或 C． D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】设， ，则，，得到关于的函数关系式，根据抛物线与轴只有一个交点得到和的关系，进而把代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可． 【详解】解：设，， ，， ， 图象与轴只有一个交点， ， ， 函数经过， ， 解得：（取正值）， ， 当时，， 点的坐标为，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得：， 当时，或， 故B选项正确，符合题意； 当时，， 点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点， ， 故C选项错误，不符合题意； 当时，， 故D选项错误，不符合题意． 2．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 【答案】 【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可． 【详解】解：①当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是边长x的等边三角形， 过点D作于点E， ， ， ， 即； ②当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 过点作于点E， ， ， 即； ③当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是等边三角形，且， 过点D作于点E， ， ， 即； 综上，写出与之间的函数关系式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 3．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意列出函数关系式．设与交于点R，三角形是等腰直角三角形，且正方形的边长等于三角形的直角边长，所以当三角形移动时，它与正方形的重叠部分始终是一个等腰直角三角形，设三角形移动的距离为，那么重叠部分的等腰直角三角形的两条直角边的长度都是，因此，重叠部分的面积就是这个等腰直角三角形的面积． 【详解】解：如图，设与交于点R． 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ． 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 1．某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线顶点坐标及与轴交点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由题意知抛物线顶点为，设表达式为． ∵水面跨度为，对称轴为轴， ∴抛物线过点． 将代入得． 解得． ∴表达式为． 2．某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，从图中读取信息，则，设点是原点，得到点，的坐标；设二次函数的解析式为：，求出解析式；再根据水面上升米，则，代入函数解析式，求出，即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， 由题意得，，， ∵抛物线关于轴对称， ∴， 设点是原点， ∴点，， 设二次函数的解析式为：， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当水面上升米交抛物线，交于点， ∴， ∴， 解得：， ∴点，， ∴， ∴水面宽度为米． 3．在学习了二次函数的相关知识后，老师设计并带领同学们开展了一项综合实践活动，下面是某小组尚未完成的活动报告． 主题 二次函数在生活中的应用 研究内容 如图1，某校校门的截面呈抛物线形，经测量可知，该校门长，高（最高点到地面的距离） 国庆前夕，该校拟在图1所示的校门上悬挂“欢度国庆”四个大字的矩形牌匾，要求居中悬挂，悬挂点在校门上，下沿与水平地面平行． 数据收集 从牌匾设计方获知，设计的牌匾长，高． 研究过程 以水平地面所在截线为x轴，校门的对称轴为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系． 示意图       探究问题 …… 安全要求 为了通车与行人安全，牌匾底部距离水平地面应不小于． 根据上述内容，将“探究问题”展开如下，请帮助该小组解决下列问题． (1)结合“研究过程”，求校门所在抛物线的解析式； (2)按设计参数悬挂该牌匾，能否达到“安全要求”？说明理由． 【答案】(1) (2)可以达到“安全要求”， 理由：由题意，当时， ， 设计牌匾的底部距离水平地面的高度为， ， 按设计参数悬挂该牌匾，能达到“安全要求”． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线的解析式得出，然后求出设计牌匾的底部距离水平地面的高度，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为， 设校门所在抛物线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 校门所在抛物线的解析式为：； （2） 略 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 1．鲜花饼是具有云南特色的一种点心，某店销售鲜花饼，每天的利润y（元）与销售单价x（元/个）之间满足函数解析式，则该店每天销售鲜花饼获得的最大利润为（     ） A．200元 B．350元 C．400元 D．450元 【答案】D 【详解】解：， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 即该店每天销售鲜花饼获得的最大利润为元． 2．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 【答案】 【分析】根据日盈利等于每件盈利乘以日销售量，建立与的二次函数关系，求二次函数的最大值点即可得到结果． 【详解】解：∵每件商品降价元， ∴降价后每件盈利为元，日销售量为件， 因此日盈利 ∵二次项系数， ∴二次函数的图象开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 因此每件商品降价元时日盈利最大． 3．某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． (1)设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． (3)每本降价元的取值范围是． 【分析】（1）根据题意列出代数式，从而得到二次函数的关系式，再根据题目要求得到自变量的取值范围； （2）根据二次函数的图象和性质及自变量的取值范围解答即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 售价不低于元， ， ， 自变量的取值范围是． （2）解： ， 当时，有最大值， 此时售价为：， 答：当售价定为元时，每月销售利润最大，最大利润是元． （3）解：根据题意得： ， 整理得：， ， 或， 或无解， 每本降价元的取值范围是． 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 1．某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】篮球最高点的水平位移对应抛物线的对称轴，代入已知点坐标求出二次函数系数，再计算对称轴即可． 【详解】解：将，代入，得， 将，代入解析式得，化简得①， 将，代入解析式得，化简得②， 得， 解得， 将代入①得， 解得， 抛物线对称轴为， 即最高点的水平位移为． 2．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是，则这名男同学比赛时的成绩_____________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求出抛物线的解析式为，令，求出的值即可． 【详解】解：∵，． ∴设抛物线解析式为， 在抛物线上， ∴代入得， ∴抛物线的解析式为． 令得，（舍负）， 所以，这名男同学比赛时的成绩为． 3．发石车是一种古代攻城器械．如图，发石车位于点处，其前方有一堵防御墙，其防御墙的竖直截面为矩形，墙厚为，发石车与防御墙的距离为，防御墙的高为．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将投掷的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线．若投掷的石块在空中飞行的最大高度为，石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】解：石块能飞越防御墙，理由如下： 石块飞行的最大高度为 ， ，即抛物线的解析式为 ． 石块从点 处抛出， ， 解得， ． 由题意知防御墙位于与 之间， 当 时，； 当时，． 石块在防御墙处的飞行高度都大于墙高， 石块能飞越防御墙． 【分析】根据飞行的最大高度确定的值，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，再求出和时的函数值，与墙高比较即可得到结论． 【详解】略． 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 1．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为． 2．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 3．综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可； （2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围； （3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为， 因此抛物线顶点坐标为． 设抛物线顶点式为， 又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点， 将代入解析式：， 解得， 因此抛物线解析式为； （2）解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头， 设抛物线顶点式为，代入得， 即， 因此抛物线解析式可整理为：， ∵顶点横坐标恒为1，且过喷头， ∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池； ∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上， ∴当时，， 当时，，解得， ∴； （3）解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离． 第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远． 此时（2）中抛物线解析式为， ∵，， ∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E， ∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同， ∴第二层喷头的抛物线解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：（舍去） 因此底部圆形水池的最小半径为． 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 1．某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值该工厂1月份的产值平均每月产值的增长率)，列出二次函数关系式即可得出答案． 【详解】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：C． 2．某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，设平均每月增长率为，则与之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】平均每月增长率为，第一季度总产值为1月、2月、3月的产值和，依次表示出三个月产值再求和即可得到函数关系式． 【详解】解：∵1月份工业生产值为亿元，平均每月增长的百分率为， ∴2月份的产值为亿元， ∴3月份的产值为亿元， ∵第一季度总产值是三个月产值的和， ∴． 3．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵去年一年投入资金1500万元，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x， ∴明年将投入的资金量． 题型8.线段周长问题(二次函数综合) 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示：   在上，即，解得或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ，即四个选项中只有满足范围， 故选：A． 2．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）本题考查二次函数的性质，解题的关键在于求解抛物线与坐标轴的交点坐标． （2）本题考查二次函数的性质以及二次函数最值问题，解题的关键在于通过求解抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，再利用二次函数的性质来求解线段长度的最大值． 【详解】（1）解：令，得，即， 解得， 点在点的左侧， ， ， 顶点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：线段长度的最大值为． 题型9.面积问题(二次函数综合) 1．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【答案】A 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积， . 2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标，然后通过解析式求出点坐标，求出相关线段的长度，最后利用三角形的面积公式进行求解． 【详解】解：由得， 顶点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴； ∴， ∴的面积为． 3．如图，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点． (1)求的面积； (2)若为抛物线上一点，的面积为，求点的坐标； (3)当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）先求出抛物线解析式与关键点坐标，再利用割补法，把三角形面积转化为梯形与两个直角三角形面积差求解； （2）利用坐标轴上三角形面积公式，先求点横坐标，再代入抛物线解析式求纵坐标； （3）根据开口向下抛物线增减性分、两种情况讨论求最大值，求解后均要检验分类条件． 【详解】（1）解：将代入顶点式， 得， 解得． ∴抛物线解析式为，顶点为． 令，则， 解得，， ∴． 已知，，． 过点作轴，垂足为，则． ， ， ， ． （2）解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 当时，， ∴． 当时，， ∴． 点的坐标为或． （3）解：由题意知，抛物线对称轴为直线，开口向下． ①当时，区间包含对称轴，最大值为顶点． 由题意得， 解得，满足． ②当时，随的增大而增大，最大值取； ， ， ， （舍去），． 综上，的值为或． 题型10.特殊三角形问题(二次函数综合) 1．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 2．抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 【答案】 【分析】先配方得到原抛物线顶点坐标，根据平移性质得到顶点坐标和平移后抛物线解析式，联立方程求出交点坐标，利用等边三角形的高与边长的关系建立方程求解即可． 【详解】解：原抛物线配方得， ∴顶点的坐标为， ∵抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到顶点， ∴顶点的坐标为，平移后抛物线解析式为， 联立两个抛物线方程， 可得， 整理得， ∵， 两边同除以得，解得， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵，， ∴（）， 如图所示，过点作于点，则为中点，坐标为， ， ∵是等边三角形， ， ∴， 又， ∴， ∵，两边同除以得， 解得（不符合题意，舍去）． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【分析】（1）根据已知的坐标代入抛物线表达式中即可求出，再根据求出的函数表达式令即可求出点的坐标为． （2）需要分两种情况讨论，当点为直角顶点时，当点B为直角顶点时，先求出直线表达式，再根据直线与抛物线交点计算点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 题型11.特殊四边形问题(二次函数综合) 1．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作轴的垂线，构造全等三角形，利用线段和差关系建立的等式． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点在抛物线上，横坐标分别为， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线经过点B，C，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】求出点B的坐标，根据菱形的性质得到，即轴，，则可证明点B与点C关于对称轴对称，求出对称轴，则可求出点C的坐标，进而可求出的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即轴，， ∵抛物线经过点B，C， ∴点B与点C关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 3．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为． 【分析】（1）求得，即，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理求得直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴的左侧， ∴，即， ∵，， 由题意得， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 题型12.其他问题(二次函数综合) 1．定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示， 设它们交于点，令，即，解得：或， ， 观察图象可知： ①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值小于； ③当时，，函数值随的增大而减小，最大值为． 综上所述，的最大值是． 2．如图，抛物线与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，，，． （1）抛物线的对称轴为直线___________； （2）当时，则___________． 【答案】 3 【分析】（1）抛物线与关于轴对称，得到抛物线的对称轴为直线； （2）根据对称得到解析式为，设这条平行线为，，，，的横坐标依次为，，，，由对称得到，再分别联立平行线与抛物线得到，，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，解析式为 （2）一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，，，， ∴设这条平行线直线为，，，，的横坐标依次为，，，， ∵，两点关于轴对称， ∴，，，， 联立，整理得， ∴，则， 联立，整理得， ∴，则， ∴， ，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．已知二次函数，图象经过点． (1)求抛物线的对称轴； (2)抛物线上有两点、，当时，若，求k的取值范围； (3)若，且当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) 抛物线的对称轴为直线 (2) 的取值范围是 (3) 的取值范围是且 【分析】（1）图象经过点，代入抛物线解析式即可求解； （2）图象两点、，当时，若，则，解不等式即可； （3）分和两种情况进行求解，确定当时函数的最小值，根据列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，代入抛物线解析式， ∴， ∴， ∴对称轴； （2）解：∵图象两点、，当时，若， ∴， 即 ； （3）解：若，则二次函数解析式为， 当时， ∵ ∴当时函数取最小值， ∵恒成立， ∴ 解得， ∴； 当时， ∵， ∴当时函数取最小值， ∵恒成立， ∴ 解得， ∴； 综上所述，且． ✵分层专项训练 一、单选题 1．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由长方形周长求出邻边长度，再代入面积公式推导与的函数关系式． 【详解】解：∵长方形周长为，一边长为， ∴相邻一边长为， ∴． 2．某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一月份生产汽车200辆，二、三月份的增产率均为，三月份的产量为， ∴二月份的产量为， ∴三月份的产量为， ∴与的函数解析式为． 3．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 4．如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，△的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正方形的边长与动点、的速度可知动点始终在边上，而动点可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求出关于的解析式，然后根据函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：由题意可得． ①时，点在边上，， 则△的面积，解得；故选项错误； ②时，点在边上，则△的面积，解得；故选项错误； ③时，点在边上，，则△的面积， 解得；故选项错误． 综上所述，只有选项符合． 二、填空题 5．发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称两点求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒． 6．如图，某社区计划修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离在米处达到最高，最高为米，水管的长度为米，水柱落地处离池中心的距离为___________米． 【答案】3 【分析】根据题意可知抛物线顶点坐标为，且经过点，设顶点式求出解析式，令即可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵水管的长度米，抛物线经过点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， 解得，（舍去）， ∴水柱落地处离池中心的距离为米． 三、解答题 7．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积有最大值，最大值为； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案； （3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴ ， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线l的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线l的函数表达式为； ∵轴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：设， ∵， ∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边； 当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C， ∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， ∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A， ∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，求出直线解析式，将代入求解即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴，，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数的应用期中复习讲义 ✵复习目标 1.能分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型，列出对应的函数解析式。 2.掌握利用二次函数性质求解实际问题的最值，理解自变量取值范围对最值结果的影响。 3.会解决面积最值、销售利润两类基础实际问题，体会函数建模思想。 4.能建立抛物线模型，求解简单抛物线型情境问题，会检验结果的实际意义。 ✵高频题型梳理 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 题型8.线段周长问题(二次函数综合) 题型9.面积问题(二次函数综合) 题型10.特殊三角形问题(二次函数综合) 题型11.特殊四边形问题(二次函数综合) 题型12.其他问题(二次函数综合) 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意。 2.设：区分变量与常量，分析数量关系；图形类问题结合图形分析，合理设出自变量。 3.列：建立二次函数模型，写出函数解析式。 4.解：利用二次函数解析式、图象与性质求解问题。 5.检：检验结果，合理取舍，得到符合实际意义的结论。 注意：实际问题存在自变量取值范围。需判断顶点横坐标是否在取值区间内；若顶点不在取值范围，则依据函数增减性求最值。 知识点二、常见应用模型 1.利润最值问题：合理设未知数，依据总利润=单件利润×销售量列函数关系式，借助二次函数性质求解最大利润。 2.面积最值问题：选定自变量，借助图形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求面积最值。 3.抛物线模型问题（拱桥、隧道等）：建立平面直角坐标系，确定图象上已知点坐标，求出抛物线解析式，结合解析式求解实际问题。 知识点三、实际问题的最值规律 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 1.a>0，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数在顶点处取得最小值； 2.a<0，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数在顶点处取得最大值。 重点：顶点横坐标必须在自变量取值范围内，最值才取顶点；若顶点不在取值区间内，则最值在区间端点处取得。 ✵易错提醒 1.求解实际问题最值，必须先确定自变量的取值范围，不可直接套用顶点公式。 2.自变量取值受现实条件约束，不符合实际的解需要舍去。 3.利润问题中，注意涨价或降价同时改变单件利润与销量。 4.抛物线模型问题中，坐标系选取会改变解析式，注意坐标符号。 ✵典例精讲 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 1．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．则鸭舍面积的最大值为（     ）． A．40 B． C．60 D． 2．2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门．设长为x米，宣传区的面积为S米，则S的最大值是________． 3．为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．已知（单位米）．同时，再建造一个周长为12米的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为米，加长后水池1的总面积为平方米，则关于的函数表达式为：；设水池2的边的长为米，面积为平方米，则关于的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是_____；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_____． (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（平方米），关于（米）的函数表达式为：．当水池3与水池2的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出的值． 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 1．如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（     ） A．点坐标为 B．当时，或 C． D．点在该函数图象上 2．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 3．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 1．某公园拱桥为抛物线形，以水面为x轴，拱桥竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥最高点距离水面，水面跨度为，则该拱桥的抛物线表达式为（        ） A． B． C． D． 2．某地开展河道整治，建起一座抛物线形拱桥，正常水位时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升时，此时水面的宽度为______． 3．在学习了二次函数的相关知识后，老师设计并带领同学们开展了一项综合实践活动，下面是某小组尚未完成的活动报告． 主题 二次函数在生活中的应用 研究内容 如图1，某校校门的截面呈抛物线形，经测量可知，该校门长，高（最高点到地面的距离） 国庆前夕，该校拟在图1所示的校门上悬挂“欢度国庆”四个大字的矩形牌匾，要求居中悬挂，悬挂点在校门上，下沿与水平地面平行． 数据收集 从牌匾设计方获知，设计的牌匾长，高． 研究过程 以水平地面所在截线为x轴，校门的对称轴为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系． 示意图       探究问题 …… 安全要求 为了通车与行人安全，牌匾底部距离水平地面应不小于． 根据上述内容，将“探究问题”展开如下，请帮助该小组解决下列问题． (1)结合“研究过程”，求校门所在抛物线的解析式； (2)按设计参数悬挂该牌匾，能否达到“安全要求”？说明理由． 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 1．鲜花饼是具有云南特色的一种点心，某店销售鲜花饼，每天的利润y（元）与销售单价x（元/个）之间满足函数解析式，则该店每天销售鲜花饼获得的最大利润为（     ） A．200元 B．350元 C．400元 D．450元 2．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，每件商品降价__________元时，超市的日盈利最大． 3．某书店销售一种图书，进价为每本元，当售价定为每本元时，每月可售出本，经调查：售价每降低元，月销量就增加本（售价不低于元）． (1)设每本降价元，写出每月销售利润（元）关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若每月销售利润不低于元，求每本降价元的取值范围． 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 1．某同学投出的篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，篮球运动的竖直高度与水平位移近似满足函数关系．根据上述函数模型和以下数据，可推断出篮球运动到最高点时，其水平位移为（     ） A． B． C． D． 2．在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是，则这名男同学比赛时的成绩_____________． 3．发石车是一种古代攻城器械．如图，发石车位于点处，其前方有一堵防御墙，其防御墙的竖直截面为矩形，墙厚为，发石车与防御墙的距离为，防御墙的高为．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将投掷的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线．若投掷的石块在空中飞行的最大高度为，石块能否飞越防御墙？请说明理由． 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 1．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 3．综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 1．某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 2．某区今年月份工业生产值达亿元，第一季度总产值为亿元，设平均每月增长率为，则与之间的函数关系式为________． 3．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 题型8.线段周长问题(二次函数综合) 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)请求出点，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 题型9.面积问题(二次函数综合) 1．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 2．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 3．如图，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点． (1)求的面积； (2)若为抛物线上一点，的面积为，求点的坐标； (3)当时，函数有最大值，求的值． 题型10.特殊三角形问题(二次函数综合) 1．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 2．抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型11.特殊四边形问题(二次函数综合) 1．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线经过点B，C，则点A的坐标为______． 3．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 题型12.其他问题(二次函数综合) 1．定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（     ） A． B． C．1 D．2 2．如图，抛物线与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，，，． （1）抛物线的对称轴为直线___________； （2）当时，则___________． 3．已知二次函数，图象经过点． (1)求抛物线的对称轴； (2)抛物线上有两点、，当时，若，求k的取值范围； (3)若，且当时，恒成立，求a的取值范围． ✵分层专项训练 一、单选题 1．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．某工厂一月份生产汽车200辆，为满足市场需求，计划在二、三月份连续提高产量，若二、三月份的增产率均为，三月份的产量为，则与的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，△的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第_____秒时，炮弹位置达到最高． 6．如图，某社区计划修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离在米处达到最高，最高为米，水管的长度为米，水柱落地处离池中心的距离为___________米． 三、解答题 7．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $