1.5 第2课时距离问题、利润问题和抛物线形问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

拔尖特训· 数学（浙教版）九年级全一册 第2课时距离问题、利润问题和抛物线形问题 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数表达式为s=60t一1.5t(0≤t≤20). 有下列结论：①当滑行的时间为2s时，滑行的距离是114m;②飞机着陆后滑行了600m才停 下来；③飞机停下前最后10s滑行的距离是450m.其中，正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 c 2.如图所示为两条互相垂直的街道，且A地到B,C两地的距离都是4km.现甲从 B地走向A地，乙从A地走向C地，甲、乙两人同时出发且速度都是4km/h,则 当甲、乙两人出发 h时，甲、乙两人之间的距离最近，最近距离是 B→ A· km. (第2题) 3.★函数思想[2025大庆中考改编]为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A,B 两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和 1个B纪念品的成本之和是135元.1套纪念品由1个A纪念品和1个B纪念品组成.规定：每 套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）.如果每套纪念品的售价为 72元，那么每天可销售80套.经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加 10套.设每天的利润为W元，每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数). (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本. (2)当α为何值时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC,BC为斜边，在AB的同侧作等腰直 角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,则DE长的最小值是 o/元 9 8 6 每千克售价 3 2每速成术 01234567 x/月份 (第4题) (第5题) 5.某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了17月这种蔬菜每千克售 16 第1章二次函数 价与每千克成本的信息，如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月， 每千克获得的最大利润为 元 6.舒境市场营销某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增 加，销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由 此产生的额外费用150元.该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系（其 中40≤x≤70，且x为整数)， (1)求y关于x的函数表达式. (2)当售价为多少时，商家所获利润最大？最大利润是多少？ ↑y/件 300--A 150---- 100----- B 0 406070x/(元/件) (第6题) 首三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维。 7.情境生活实际某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的，其横截面顶部为抛物线，大棚 的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE,FG,相关数据如 图①所示，其中支架DE=BC=3m,OF=DF=BD=2m,两种支架各用了200根.为增加棚内 空间，农场决定将图①中的棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图②所示， 调整后点C与点E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线，若增加的支架每米所需的费用 为60元（接口忽略不计），经费预算为40000元. (1)分别以OB和OA所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.求： ①改造前顶部抛物线对应的函数表达式， ②改造前大棚的最大高度 (2)只考虑经费的情况下，求C℃的最大值. 单位：m E c'k 单位：m C G 3 3 A D D 6 YB 6 B ① ② (第7题) “答案与解析”见D10 170.375,所以MN=1-0.375=0.625(m).所以最长的不锈 钢管立柱的长度为0.625m. y/m个 2m D A 0.5m B E 0 C x/m (第2题) 1 3.由题意，得y=2 ×(8-x)(6-x)X2=x2-14x+ 48=(x一7)2一1，所以二次函数图象的对称轴为直线x= 7.所以当0.5x1时，y随x的增大而减小.所以当x= 0.5时，ymx=(0.5一7)2一1=41.25.所以改造后剩余油菜 花地所占的最大面积为41.25m. 4.D当AB的长是10m时，BC的长是18m,所以劳动 基地ABCD的面积是10×18=180(m).故①正确.设 AB=xm,则BC=(28一x)m.根据题意，得x(28一x)= 192,整理，得x2-28x+192=0,解得x=12或x=16,所 以AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积 为192m.故②正确.设矩形ABCD的面积为Sm,AB= xm,则C=(28-x)m根据题意，得8， 。解得 28-x≥12 8x≤16，S=x(28x)=一x2+28x=一(x一14)2十 196.因为一1<0,8x16,所以当x=14时，S取得最大 值，最大值为196：当x=8时，S取得最小值，最小值为 160.故③正确.综上所述，正确的结论有3个. 5.(1)根据题意，得y=20×10-4×20,2×10-2 2 200-(20-x)(10-x)=200-200+30x-x2=-x2+ 30x,所以y关于x的函数表达式为y=一x2+30x(4≤ x≤8).(2)由(1)知，y=-x2+30x=-(x-15)2+ 225.因为一1<0，所以当x<15时，y随x的增大而增大. 又因为4x8,所以当x=8时，y有最大值，最大值为 176.所以当x=8时，活动区面积最大，最大面积是176m. (3)设布置场地所用费用为元，则0=10（一x2十 30x)+8[200-(-x2+30x)]=-10z2+300x+1600+ 8x2一240x=一2x2+60x+1600.令=1850，则-2x2十 60x十1600=1850，解得x=25或x=5.因为4x8, ≤1850，所以4≤x≤5.因为活动区域面积为y=一x2十 30x,一1<0，对称轴为直线x=15,所以当x=5时，活动 区面积最大，此时的布置成本为1850元. 6.(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,如图①，过点C 作CF⊥AE于点F,则S=AB·BC=6×5=30.②若所 截矩形材料的一条边是AE,如图②，过点E作EF∥AB, 交CD于点F,过点F作FG⊥AB于点G,过点C作 CH⊥FG于点H,则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG 为矩形，所以AE=FG=6,HG=BC=5,∠BCH=90°.因 为∠BCD=135°，所以∠FCH=135°-90°=45°.所以 △CHF为等腰直角三角形.所以BG=CH=FH=FG HG=6-5=1.所以AG=AB-BG=6-1=5.所以S= AE·AG=6×5=30.(2)能.如图③，在CD上取点 F,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AE于点N,过点C 作CG⊥FM于点G,则四边形ANFM为矩形，四边形 BCGM为矩形.所以MG=BC=5,BM=CG.因为 ∠BCD=135°，所以∠FCG=135°-90°=45.所以△CGF 为等腰直角三角形，FG=CG.设AM=x,则BM=6一x, 所以FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x.所 以S=AM·FM=x(11-x)=-x2+11x=-(x- 5.5)2+30.25.所以当x=5.5时，S取得最大值，最大值为 30.25.所以能截取矩形材料面积的最大值为30.25. D 0 D E------- C B-------- B B ① ② ③ (第6题) 第2课时距离问题、利润问题和抛物线形问题 1.C当t=2时，s=60×2-1.5×22=114,即当滑行的 时间为2s时，滑行的距离是114m.故①正确.因为s= 6-1.57=-多4-20y产+60，-号<0，所以二次丽数 的图象开口向下，当t=20时，s有最大值，为600.所以飞 机从着陆到停下来共需20s,滑行距离为600m.故②正确. 因为飞机前10s滑行的距离为60×10一1.5×102=450(m), 所以飞机停下前最后10s滑行的距离为600一450= 150(m).故③错误.综上所述，正确的结论是①②，共2个. 2.0.522设甲、乙两人均出发了t(0≤t≤1)h,甲、乙 两人之间的距离为ykm,则此时甲到A地的距离是(4一 4t)km,乙到A地的距离是4tkm.由勾股定理，得y= 0-4)+40-√32(-)+8.易知当1=号 时，y取得最小值22.所以当甲、乙两人出发05h时， 甲、乙两人之间的距离最近，最近距离是2√2km. 3.(1)设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的 成本为y元根据题意，得2x+3y=155 5·解得=25所 4x+y=135 y=35. 10 以每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为 35元.(2)由(1)，得每套纪念品的成本为25十35= 60(元)，所以每套纪念品的利润为(a一60)元.因为每套纪 念品的售价为72元时销量为80套，每降价1元销量增加 10套，所以销量为80+10(72一a)=(800一10a)套.所以 W=(a-60)(800-10a)=-10a2+1400a-48000= 一10(a-70)2+1000.因为-10<0,65≤a≤72且a为整 数，所以当a=70时，每天的利润最大，最大利润为1000元. 方法归纳 利用二次函数的性质求实际问题中最值的方法 在实际问题中，求最值的一般步骤如下： (1)列出二次函数的表达式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围。 (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法 求出二次函数的最值 注意：当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量 的取值范围内时，需结合二次函数的图象，根据二次函 数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最值 4.1设AC=x,则BC=2一x.由题意，得x>0,2一x> 0,所以0<x<2.因为△ACD和△BCE都是等腰直角三 角形，所以易得∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC= 22, CE-号(2-x).所以∠DCE=180-∠DCA-∠pCB= 180°-45-45=90，所以DBP=DC2+CE3=22+ 22-x)y=x-2x+2=(x-10+1.所以当x=1时， DE取得最小值，即DE的长也取得最小值，最小值为1. 5.5了设x月出售时，每千克售价为元，每千克成 本为y2元.根据题图，可设y1=kx十b,y2=a(x一6)2十 1.把(3,5)，(6,3)分别代人，得3k十6-5”解得 6k+b=3, 、2 =一了'所以=一号x十7将8，代人，得4 2 b=7, a3-62+1,解得a=号所以y-号（x-62+1.设每 千克利润为元，则w=y1一y2=一 2 3x+7 [3a-6+1]-2+9-6=--5r+ 子，所以当x=5时，0有最大值子，即当5月出售该种藏 菜时，每千克利润最大，最大利润为3元 D 6.(1)设AB段对应的函数表达式为y=kx十b(40x 40k+b=300, 60).将(40,300)，(60,100)代入，得 解得 (60k+b=100. k=一10， 所以AB段对应的函数表达式为y=一10x+ b=700, 700(40x60).设BC段对应的函数表达式为y=m,x十 n(60<x≤70).将(60,100)，(70,150)代人，得 60m十n=100, 解得 70m+=150, m=5,所以BC段对应的函数表 =-200, 达式为y=5x一200(60<x≤70).所以y关于x的函数表 (-10x十700(40x60), 达式为y= (2)设商家所获 （5.x-200(60x70). 利润为元.①当40≤x≤60时，=(x一30)· (-10x+700)=-10(x-50)2+4000.因为-10<0，所以 当x=50时，w有最大值，为4000.②当60<x≤70时， 0=(x-30)(5x-200)-150(x-60)=5(x-50)2+ 2500.因为5>0，所以该二次函数的图象开口向上，对称轴 为直线x=50,当60<x≤70时，w随x的增大而增大.所 以当x=70时，0有最大值，为5×(70-50)2+2500= 4500.因为4500>4000，所以当售价为70元/件时，商家 所获利润最大，最大利润为4500元. 7.(1)①如图①，以O为原点，分别以OB和OA所在的 直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.由题意，得A(0, 1),E(4,3),C(6,3).设改造前顶部抛物线对应的函数表达 fc=1, 式为y=ax2+bx+c,则16a十4十c=3,解得 36a+6b+c=3, 1 12 5 所以改造前顶部抛物线对应的函数表达式为 1b= 6 c=1. 5 6+1.@因为y三2头各力 1 1二2x-52七韶，-20，所以当x=5时，y取得 最大值所以改造前大棚的最大高度为召m(2)因 为改造前顶部抛物线对应的函数表达式为y=一2x十 +1=--5)+，所以当=2时y=-b× 5 1 7 (2-5)2+2-了·所以FG=3m.因为DE=BC,EE'= CC',所以DE'=BC'.所以改造后抛物线的对称轴为直线 x=5.设改造后顶部抛物线对应的函数表达式为y= 1 m(x一5)2十n.把A(0,1)代入，得25m+n=1,所以n= 1一25m.所以y=mx2-10mx十1.如图②，当x=2时， y=m×22-10m×2+1=-16m+1;当x=4时，y=m× 42-10m×4+1=-24m+1,所以G(2,-16m+1), E(4.-24m+1).所以GG+EE=-16m+1-子+ (-24m+1-3)=(←40m9)m所以(-40m-9)× 200X60≤4000，解得m≥-合.因为CC'=EE' -24m+1-3=(-24m-2)m,所以当m=-6时，CC'取 得最大值，为-24×(-名)-2=2(m).所以CC的最大 值为2m. 单位：m 3 D 01 6 -Bx ---c'k 单位：m G E ,3 D 6 Bx ② (第7题) 专题特训二二次函数的综合 1.(1)因为抛物线y=一x2十bx十c(b,c为常数)与x轴 一1-b+c=0, 交于A(一1,0)，B(3,0)两点，所以{ 解得 -9+3b+c=0, b=2, 所以抛物线对应的函数表达式为y=一x2+2x十3. \c=3. (2)因为y=一x2十2x十3=一(x一1)+4，所以抛物线的 对称轴为直线x=1,顶点E(1,4).当x=一2时，y= 一(-2)2+2×(-2)+3=-5，所以C(-2,-5).设直线 OC对应的函数表达式为y=m.x.将C(一2，一5)代人， 得-5=-2m,解得m=；,所以直线0C对应的函数表达 式为y=号x.令x=1,则y=号，所以D(,)所以 DE=4-号=号所以△CDE的面积为号×号×[1- (一2]=是.(3)因为P是范物线上一动点，所以设 0 P(m,-m2+2m+3).由(2)知，D(1,2）,所以PD om-1+(-m+2m+3-）)°=6m-2m)+号.所以当 m2-2m=0时，PD2有最小值，即PD有最小值.解方程 m2一2m=0,得m=0或m=2,所以当点P的横坐标为0 或2时线段PD的长最小最小值为厚-号 方法归纳 代数法求线段最值 解决二次函数图象中线段最值问题时，常用代数 法：设出动点坐标，利用坐标表示出线段长度，构造二次 函数，利用二次函数的性质求最值 2. 思路导引 (1) 由条件确定点A, 求抛物线对应的函数表达式 B,C的坐标 (2) 当PC∥AB时，点P,C的 抛物线的对称轴 为直线子 纵坐标相同，结合函数 图象的对称性求解 (3) 作PH∥y轴交 SAPNC=S△S△pmc AC于，点H PH0 利用二次函数的性质求解 (1)在y=ax2+bx一2中，令x=0,则y=-2,所以OC= 2因为0A=20C=80B,所以0A=4,0B=号.所以点 A,B,C的坐标分别为(-4,0)，（号，0），(0，一2).因为点 A(-4,0),B(号，0)在抛物线y=a2+bx-2上，所以 16a-4b-2=0, a=1, 解得，7所以抛物线对应的函数 4a十2b-2=0, b2 表达式为y=x2+x-2.(2)因为y=x+2x-2, 7 2 所以抛物线的对称轴为直线x2X一不.当PC/ AB时，点P,C的纵坐标相同，根据函数图象的对称性，得 12