精品解析：山东泰安市新泰市宫里镇初级中学（五四制）2026-2027学年九年级上学期第一次测试数学试题

九年级上学期第一次作业检测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共7页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【详解】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 2. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 函数图象与x轴没有公共点 D. 函数有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由二次函数，得 ，对称轴为， ∴二次函数的开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故A，B正确， 当时，函数取得最小值为，D正确, 当时，， ， 即函数图象与x轴只有一个公共点， 故C错误． 故选C． 3. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D． 考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方． 4. 如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数即可得到上升的高度． 【详解】解：过点P作于点D， 在中，， 根据题意可知，， ． 即木桩上升了． 5. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移．根据平移的规律：左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：D． 6. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 7. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 8. 如图，在中，，，若，则AC的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键；过点A作于E，由求得，再由正弦函数关系即可求得． 【详解】解：如图，过点A作于E， 则； 在中，， ∴； 在中，， ∴ 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 10. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， 设，则， 在中，, 在中，, ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形． 11. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 12. 如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别与，交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得到，根据勾股定理得到，，根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，由作图知，垂直平分， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，坡比是坡面的铅垂高度和水平长度的比，劳动实践课上，小明提着一桶水，沿一斜坡垂直上升了3米，若斜坡坡比是，则小明走过的水平距离是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度坡比问题，解决本题的关键是理解坡比的定义． 可由坡比的定义，列式再求解即可． 【详解】解：∵沿一斜坡垂直上升了3米，且斜坡坡比是， ∴，解得， 则小明走过的水平距离是米． 故答案为： ． 15. 在平面直角坐标系中，为二次函数图象上一点，，若，则点的横坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及三角函数的应用，构造直角三角形是解题的关键． 设点的坐标为，点，点，过点作轴交轴于点，即可用表示、的长度，结合，即可求出的值，即为点的横坐标． 【详解】解：由可确定点纵坐标一定要小于， 过点作轴交轴于点，如下图所示： 设点的坐标为， ∵点，点， ∴，， ∵， 得， 化简得， 解得或（舍去）， 根据二次函数的对称性，可判断当时，也满足要求， 故点的横坐标为或． 16. 在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线皆开口向上， ∴各二次函数中的二次项系数都为正数， ∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小， ∴． 故答案为：． 17. 在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形． 设，在中，利用锐角三角函数可得，再结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19. 计算： （1）； （2）． （3）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：∵已知是锐角，， ∴， ∴ 20. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为y轴 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质． （1）根据二次函数的定义得到且，解得，，由于当时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有，于是得到； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴且， 解得，， ∵二次函数当时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 21. 二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： （1）表格中m的值等于 ； （2）在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式，再把代入即可求解； （2）根据描点法，描点连线即可. 【小问1详解】 解：由表格可得， ，解得， ， 当时，. 【小问2详解】 略 22. 在中，，，，解这个直角三角形. 【答案】 在Rt△ABC中,∵,a=,b= ∴c= ∵tanA= == ∴∠A=30∘， ∴∠B=90∘−∠A=90∘−30∘=60∘. 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据a、b的长求出∠A的度数，进而求出∠B的度数． 【详解】略． 【点睛】本题考查勾股定理,解题关键在于熟练掌握勾股定理的性质. 23. 风筝起源于中国，已有多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点处(如图)．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面走m到达坡底处，测得处的仰角为．(点在同一平面内) （1）求坡顶处的高度； （2）求风筝的飞行高度(即的长)． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用． （1）过点作于点，在中，设，根据勾股定理得到的长度，即坡顶处的高度． （2）过点作于点，首先证明四边形是矩形，继而在中，根据勾股定理得到的长度，通过证明是等腰直角三角形，以及，建立关于的方程，解得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ， ∵在中，， ∴设， 根据勾股定理，得， ∴，解得， ∴，， ∴坡顶处的高度为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得． 24. 综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）最短距离约为海里 （2）渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【解析】 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． 【小问2详解】 解：略． 25. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次作业检测 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共7页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 函数图象与x轴没有公共点 D. 函数有最小值 3. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 4. 如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（ ） A. B. C. D. 5. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( ) A. B. C. D. 7. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，若，则AC的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 12. 如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别与，交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 14. 如图，坡比是坡面的铅垂高度和水平长度的比，劳动实践课上，小明提着一桶水，沿一斜坡垂直上升了3米，若斜坡坡比是，则小明走过的水平距离是__________米． 15. 在平面直角坐标系中，为二次函数图象上一点，，若，则点的横坐标为__________． 16. 在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 17. 在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19. 计算： （1）； （2）． （3）已知是锐角，且，求的值． 20. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值； （2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 21. 二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： （1）表格中m的值等于 ； （2）在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 22. 在中，，，，解这个直角三角形. 23. 风筝起源于中国，已有多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点处(如图)．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面走m到达坡底处，测得处的仰角为．(点在同一平面内) （1）求坡顶处的高度； （2）求风筝的飞行高度(即的长)． 24. 综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 25. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $