精品解析：山东省泰安市新泰市宫里镇初级中学（五四学制）2025-2026学年九年级上学期第二次测试数学试题

九年级数学第二次作业检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得4分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在实数，，5，0中，最大的实数是（　　） A. B. C. 5 D. 0 2. 已知点，，是反比例函数图象上的三个点，则有（ ） A. B. C. D. 3. 将77800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图中几何体的左视图为（ ）． A. B. C. D. 5. 若函数的图像与轴只有一个交点，那么的值为（ ） A. 0 B. 0或2或 C. 2或 D. 0或或 6. 已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 正多边形的一个外角不可能是（　　） A. B. C. D. 8. 为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填出最后结果） 11. 若关于的分式方程有增根，那么的值是______． 12. 不等式组 的解是_________． 13. 如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则 _____． 14. 如图，是的直径，为上一点，以点为旋转中心，把顺时针旋转得．记旋转角为，为，当旋转后满足时，________．（用含的式子表示）． 15. 把半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，其圆心为圆锥顶点，则该圆锥的高是_____． 16. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______（填序号）． 三、解答题（本大题共7小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小海买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图所示，该自行车的车轮半径为，图是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，且． （1）求下管的长； （2）若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫离地面的距离．（结果精确到参考数据） 19. 某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； （2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数； （3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 21. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知四边形ABCD是“等对角四边形”，，，则 =________°，=_________°． （2）如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”． （3）如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 22. 已知，是⊙的直径，点为圆上一点，点分别为弧，弧的中点，过点作于点，点关于直径对称，连接． （1）求的度数． （2）如图，若为⊙的直径，请猜想与的数量关系，并给出证明． （3）设的面积为，若⊙的半径为1，求关于的函数解析式． 23. 顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次作业检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得4分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在实数，，5，0中，最大的实数是（　　） A. B. C. 5 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查的是实数的大小比较，解决此题的关键是理解正数、负数的定义，同时知道正数负数．要想在这几个数中找最大的数，首先将数分为正数、负数、0，然后根据正数负数即可解决此题． 【详解】解：，是负数，正数负数， 在实数中， 故选：C． 2. 已知点，，是反比例函数图象上的三个点，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，且函数值分别在第二、四象限内随自变量的增大而增大．根据此性质即可作出判断． 【详解】∵k<0 ∴反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴点A在第二象限，点B、C在第四象限 ∴，均小于0 ∵当k<0时，反比例函数函数值在第四象限内随自变量的增大而增大，且2<3 ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是关键． 3. 将77800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图中几何体的左视图为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为 ， 故选：C． 5. 若函数的图像与轴只有一个交点，那么的值为（ ） A. 0 B. 0或2或 C. 2或 D. 0或或 【答案】D 【解析】 【分析】当时，函数为一次函数与轴有一个交点，当时，时，抛物线与轴只有一个交点． 【详解】解：当时，函数为，其图象与轴只有一个交点， 当时，，即， 解得：， 当或或时，函数的图像与轴只有一个交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，根的判别式的应用，采用分类讨论的思想是解题的关键． 6. 已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系． 设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，根据两队合作12天完成，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天， 依题意得， 故选：A． 7. 正多边形的一个外角不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】多边形的外角和等于，正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除． 【详解】解：正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除， 而不能被整除， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，关键是掌握：正多边形的外角和一定能被一个外角的度数整除． 8. 为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出表格，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得． 【详解】解：根据题意列出表格得： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 一共有12中情况，恰好选中甲和丙的有2种情况， ∴恰好选中甲和丙的概率， 故选：D． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过一、三、四象限， 故选：C． 10. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，该物品价格为y元/件，根据等量关系，列出方程组，即可． 【详解】根据题意得：， 故选B 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找到等量关系“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，列出方程组，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填出最后结果） 11. 若关于的分式方程有增根，那么的值是______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分式方程去分母得整式方程，然后根据分式方程有增根，求出x的值代入整式方程即可得答案. 【详解】解： ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上，m的值为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决本题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 12. 不等式组 的解是_________． 【答案】x<1 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答本题的关键，同时考查了解一元一次不等式． 13. 如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根， ∴ ，即 ， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，是解题的关键． 14. 如图，是的直径，为上一点，以点为旋转中心，把顺时针旋转得．记旋转角为，为，当旋转后满足时，________．（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，再利用等腰三角形的性质表示出，利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵把顺时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∵， ∵， ∴， ∴， 整理得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，以及旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 15. 把半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，其圆心为圆锥顶点，则该圆锥的高是_____． 【答案】 【解析】 【分析】关键是先求得圆锥的底面半径；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形；圆锥的侧面展开图的弧长圆锥底面周长．利用扇形的弧长公式可得圆锥侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥的高． 【详解】解：半径为的半圆围成一个圆锥的侧面， 圆锥的侧面展开图的弧长为， 圆锥的底面周长为， 圆锥底面的半径为， 圆锥的高为：． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______（填序号）． 【答案】④⑤##⑤④ 【解析】 【分析】①由图象的开口方向，与轴的截距，对称轴的正负，即可求解；②由，即可求解；③，，当时，即可求解；④图象与轴有两个交点，即可求解；⑤当时，，即可求解． 【详解】解：①由图象得：图象开口向下，，与轴的截距在正半轴上，，，，，故此项错误； ②，，故此项错误； ③ ， 如图，，，当时，，故此项错误； ④图象与轴有两个交点，，，故此项正确； ⑤由③得，当时，，，故此项正确； 故答案：④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象判断式子的符号，掌握判断方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算、特殊角的三角函数值； （1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂及二次根式，再计算加减即可； （2）先将括号内通分并将除法化为乘法，再进行因式分解和约分即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小海买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图所示，该自行车的车轮半径为，图是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，且． （1）求下管的长； （2）若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫离地面的距离．（结果精确到参考数据） 【答案】（1）下管长; （2）座垫离地面的距离是． 【解析】 【分析】(1)在中利用勾股定理求得即可． (2)在过作，在中，利用三角函数求，即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴ ∴， 答：下管长． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ∵， ∴≈ ∴， 答：座垫离地面的距离是． 【点睛】本题考查勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 19. 某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； （2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数； （3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率． 【答案】（1）调查学生人数200人， 补全条形统计图，如图： （2）愿意参加劳动社团的学生人数900人 （3） 根据题意，画出树状图，如下图： 共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种． ∴恰好选中同一社团的概率为． 【解析】 【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比，可得总人数，再用总人数乘以科普类所占的百分比，即可求解； （2）用3600乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的百分比，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式，即可求解． 【小问1详解】 解：调查学生人数：人， 科普类人数：人， 【小问2详解】 解：愿意参加劳动社团的学生人数：人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，则，表示出，，结合得出，求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得，解得， 一次函数的解析式为， 把点代入，得， ∴ 把点代入，得， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：把代入，得， ， 设，则， ，， ， ， 或， 或． 21. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知四边形ABCD是“等对角四边形”，，，则 =________°，=_________°． （2）如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”． （3）如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 证明：如图： 在中， ∵为斜边边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 且， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是“等对角四边形”，，则，则； （2）在中，根据为斜边边上的中线，可知，则，根据，可知，则．根据，则，故，且，故四边形是“等对角四边形”； （3）点在的延长线上，当，时，过作于，于，则，根据平分，，可知是等腰直角三角形，则，根据，可知，则 ，即，故，则，根据，可得，根据，，可知，则，即 则，故=，若点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图：根据平分，可知，则，则是等腰直角三角形，故，根据，，可知，则，即，故，则 ，故，进而可知． 【小问1详解】 解：∵四边形是“等对角四边形”，， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点在的延长线上，当，时，过作于，于，如图： ∴， ∵平分，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴=； 点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图： ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或5 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键． 22. 已知，是⊙的直径，点为圆上一点，点分别为弧，弧的中点，过点作于点，点关于直径对称，连接． （1）求的度数． （2）如图，若为⊙的直径，请猜想与的数量关系，并给出证明． （3）设的面积为，若⊙的半径为1，求关于的函数解析式． 【答案】（1） （2） ，理由如下， 是直径， ， 设与交于点， 关于对称， ，即， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，由点，分别为弧，弧的中点，可得，即可得答案； （2）根据题意得，设与交于点，由对称得，即可证明四边形是矩形，有，得到，即可利用证明，得到，则有，结论成立； （3）过作于点，由（1）知，则是等腰直角三角形，有，可得到四边形是矩形，则，证明，有，设，则，那么，，在Rt中，，化简得到即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 点分别为弧，弧的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作于点， 由（1）知， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在Rt中，， 即， 整理得， ． 关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，弧，圆心角之间的关系，列二次函数关系式，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2），最大值为； （3）或，． 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出为解题关键． （1）将点代入直线解析式中，可求出点的坐标，将点、代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式； （2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点的坐标，设直线的解析式，代入点、，可求出直线的解析式，则可表示，则可表示； （3）设点的坐标，则点的坐标可表示，点的坐标可表示，长度可表示，利用翻折推出，列等式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线解析式中， ， 解得， 解析式为， ， ， 则有， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解： ， ， 设直线的解析式为：，代入点、，得： ， 解得， 直线的解析式为：， 则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：存在，如图所示， 设点的坐标为， 则点，， ， 沿翻折，的对应点为点，落在轴上，而轴， ，，， ， ， ， ， ， ， 当时， 解得（舍），， 此时点． 当时， 解得（舍），， 此时点，． 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $