精品解析：陕西西安市西光中学等校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

西安市西光中学2026-2027学年第一学期 10月质量检测初二数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 2. 计算的结果是 (　　) A. ±3 B. 3 C. ±3 D. 3 3. 若点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点为Q坐标为（　　） A. （﹣2，﹣3） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣2，3） 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 将直线向右平移个单位长度后，经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 14 B. C. 7 D. 7. 一次函数与的图象在同一坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 已知点，在一次函数的图象上，若，则________．（填“”，“”或“”） 10. 函数中自变量的取值范围是_____________． 11. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 12. 若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是______． 13. 如图，在矩形中，，分别是边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为 ______． 14. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，F的坐标为__________． 三．解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解下列二元一次方程组： （1）． （2）． 17. 如图，点在的边上，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，一根旗杆高，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间要拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是，一工人准备了一根长为的铁索．你认为这一铁索的长度够吗？ 19. 已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）点的坐标是________，点的坐标是________； （3）求的面积． 21. 如图，在中，，是边上一点，，，． （1）试判断的形状； （2）求的面积． 22. 某商场开展元旦促销活动，其活动方案如下： 方案一：所有商品按标价的8折销售； 方案二：单件商品标价不超过200元的按原价销售，超过200元的部分按7折销售． 设某件商品的标价为x元，分别用两种方案购买该商品的费用为元、元． （1）分别写出、与x之间的函数关系式； （2）若小明购买一件标价为500元的商品，选择哪种方案更省钱？请说明理由． 23. 如图，已知直线经过点A(-1，0)与点B(2，3)，另一条直线经过点B，且与x轴交于点P(m，0)． （1）求直线的解析式； （2）若APB的面积为3，求m的值． 24. 阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 25. 小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．爸爸骑自行车以米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程（米）与各自离开出发地的时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点的坐标为______； （2）求爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式； （3）两人出发多长时间相遇？ 26. 【模型发现】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可证明得到的全等三角形是______≌______． 【模型应用】 （2）如图2，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过点B和第一象限点C，且，，求点C的坐标； （3）如图3；在平面直角坐标系中，已知点，连接，在y轴左侧的平面内是否存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学2026-2027学年第一学期 10月质量检测初二数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 2. 计算的结果是 (　　) A. ±3 B. 3 C. ±3 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵33＝27，∴． 故选：D． 3. 若点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点为Q坐标为（　　） A. （﹣2，﹣3） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣2，3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵P（﹣2，3）关于y轴的对称点是（a，b）， ∴Q点坐标为（2，3）， 故选B． 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：A． 5. 将直线向右平移个单位长度后，经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的平移，根据平移规律得到解析式，将点代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵直线向右平移个单位， ∴， ∵平移后的直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 14 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由正方形的面积得，，由勾股定理得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：C． 7. 一次函数与的图象在同一坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象，确定a，b的符号，看与的符号是否一致即可． 【详解】解：A、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论矛盾，故不符合题意； B、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论矛盾，故不符合题意； C、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论相矛盾，故不符合题意； D、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论符合，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 8. 如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 已知点，在一次函数的图象上，若，则________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据得到随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：一次函数，且， 随的增大而增大， 点，都在一次函数的函数图象上，， ， 故答案为：． 10. 函数中自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，得 ，且二次根式的被开方数， 所以， 解得． 11. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两条直线交点求方程的解， 先求出点P的坐标，再根据方程的解是直线与直线交点的坐标解答即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴点， ∴方程的解是． 故答案为：． 12. 若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键． 通过解二元一次方程组，用k表示x和y，再将解代入二元一次方程中求解k的值即可． 【详解】解：解方程组得． 将解代入得，即， ， 解得． 故答案为2． 13. 如图，在矩形中，，分别是边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理求出的值，利用翻折的性质和勾股定理可得． 【详解】 解：如图，在矩形中，，， 设，则， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 　　， 　　， 　　由翻折可知：， 　　， 　　， ， ， ， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ． 14. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，F的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当，在同一直线上时三角形周长最小，从而可求出的坐标，与 联立可求出的坐标； 【详解】作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则 由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B 故，即 是等腰直角三角形 ∵关于对称 ∴ ∴ 轴， ∴ 则 的周长 根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小 此时 设直线 的解析式为 则 解得 ∴直线 的解析式为， 与直线联立得 解得， ∴ 当 时，，即 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质，求一次函数的解析式时常用待定系数法，本题的解题关键是作定点的两个对称点． 三．解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算， （1）先化简零指数幂，立方根，平方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答， （2）先化简绝对值，分母有理化，负整数指数幂，完全平方运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 16. 解下列二元一次方程组： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【小问1详解】 解：， 将①代入得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 17. 如图，点在的边上，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】连接，作线段的垂直平分线，交于点，再连接即可． 【详解】略． 18. 如图，一根旗杆高，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间要拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是，一工人准备了一根长为的铁索．你认为这一铁索的长度够吗？ 【答案】这一铁索的长度不够 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再将的长与铁索的长的平方进行比较即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴这一铁索的长度不够． 19. 已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，先根据的算术平方根是，得出；再结合的立方根是，得出，最后求出的值为，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）点的坐标是________，点的坐标是________； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，掌握轴对称的性质是关键； （1）依次作出点A，，关于轴对称的点，，，再依次连接即可； （2）由（1）中所作即可得两点的坐标． （3）用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，点，点的坐标分别是， ． 故答案为：， ． 【小问3详解】 ． 21. 如图，在中，，是边上一点，，，． （1）试判断的形状； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：因为，，， 所以． 所以， 所以是直角三角形． （2）7.5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，是直角三角形，且， 所以． 设， 因为， 所以． 因为， 所以， 解得． 所以． 所以． 22. 某商场开展元旦促销活动，其活动方案如下： 方案一：所有商品按标价的8折销售； 方案二：单件商品标价不超过200元的按原价销售，超过200元的部分按7折销售． 设某件商品的标价为x元，分别用两种方案购买该商品的费用为元、元． （1）分别写出、与x之间的函数关系式； （2）若小明购买一件标价为500元的商品，选择哪种方案更省钱？请说明理由． 【答案】（1）； （2）方案一更省钱， 理由如下： 当时，元， 元， ， ∴ 方案一更省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据方案一和方案二分别列式即可； （2）将代入（1）中函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得：； 当时，； 当时，； 综上，； 故；． 【小问2详解】 略 23. 如图，已知直线经过点A(-1，0)与点B(2，3)，另一条直线经过点B，且与x轴交于点P(m，0)． （1）求直线的解析式； （2）若APB的面积为3，求m的值． 【答案】（1）直线l1的解析式为y＝x+1 （2）m的值为1或﹣3． 【解析】 【分析】1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，由题意列出方程组求解； （2）分两种情形，即点P在A的左侧和右侧分别求出P点坐标，再求解． 【小问1详解】 解：设直线l1的解析式为y＝kx+b， ∵直线l1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3）， ∴， 解得． 所以直线l1的解析式为y＝x+1． 【小问2详解】 当点P在点A的右侧时，AP＝m﹣（﹣1）＝m+1， 有S△APB（m+1）×3＝3， 解得：m＝1． 此时点P的坐标为（1，0）． 当点P在点A的左侧时，AP＝﹣1﹣m， 有S△APB|﹣1﹣m|×3＝3， 解得：m＝﹣3， 此时，点P的坐标为（﹣3，0）． 综上所述，m的值为1或﹣3． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知系数得函数解析式；设P点坐标求三角形的面积． 24. 阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 25. 小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．爸爸骑自行车以米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程（米）与各自离开出发地的时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点的坐标为______； （2）求爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式； （3）两人出发多长时间相遇？ 【答案】（1），， （2）（） （3）分钟 【解析】 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）设爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设经过分钟后，两人相遇，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一次函数图象的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象得，小明跑步速度为米/分， 步行的速度为米/分， ∵（分）， ∴点的坐标为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴爸爸离家的路程关于的函数表达式是（）； 【小问3详解】 解：设经过分钟后，两人相遇， 由题意得，， 解得， 答：经过分钟，两人相遇． 26. 【模型发现】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可证明得到的全等三角形是______≌______． 【模型应用】 （2）如图2，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过点B和第一象限点C，且，，求点C的坐标； （3）如图3；在平面直角坐标系中，已知点，连接，在y轴左侧的平面内是否存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】本题是坐标与图形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直线与坐标轴交点，等腰直角三角形的性质等知识，理解题意，正确应用模型是解题关键． （1）分别证明，，根据 “”即可证明； （2）过点C作轴于点H，先求出于A、B两点坐标，得到，，证明得到，，即可求出点C的坐标为； （3）设，分①点P为直角顶点，Q在上方，②点P为直角顶点，Q在下方，③O为直角顶点，三种情况讨论，逐一求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴． 故答案为：，； （2）如图，过点C作轴于点H， 直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，， 解得； 当时，； ，， ，， ， ， 轴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 点C的坐标为； （3）在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以OP为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或 理由如下： 设， ①当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图， 同（1）可证≌， ，， 依题意得：， 解得：， ； ②当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图， 可得，， 依题意得：， 解得：， ； ③当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图， 可得，， 依题意得：， 解得：， ． 综上所述，在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $