周周练01 6.1～6.2 二次函数的概念、图象与性质（数学新教材苏科版九年级下册）

2026-2027学年九年级下学期数学周周测01 6.1～6.2 二次函数的概念、二次函数的图象与性质 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 2．函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5，下列说法正确的是（　　） A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣2 C．其最小值为5 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 4．关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 5．已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．二次函数y＝2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为_______ ． 8．抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为 __________ ． 9．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是 ________ ． 10．已知函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上有两个点：A（﹣1，y1），B（4，y2），则y1，y2的大小关系为y1_____ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 11．若是关于x的二次函数，则m＝_____ ． 12．二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为_________ ． 13．已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是____________________ ． 14．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3图象经过（﹣2，7），则6a+3b+2020＝_________ ． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 16．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点P（m，n）在另一条抛物线y＝x2﹣x+2上运动．该二次函数图象与y轴交于点A，过点P作PB⊥y轴于点B． （1）当m＝1时，求点A和点B的坐标； （2）当m＝2时，求△PAB的面积； （3）当m＞0时，求点A的纵坐标yA的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测01 6.1～6.2 二次函数的概念、二次函数的图象与性质 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析． 【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据二次函数的定义得到m+1＝2，解方程求出m即可． 【解答】解：∵函数y＝xm+1是关于x的二次函数， ∴m+1＝2， ∴m＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数． 3．关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5，下列说法正确的是（　　） A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣2 C．其最小值为5 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【解答】解：根据题目中的函数解析式逐项分析判断如下： A、该函数的图象开口向下，不符合题意； B、对称轴是直线x＝2，不符合题意； C、当x＝2时y取得最大值5，不符合题意； D、当x＜2时，y随x的增大而增大，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 4．关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【解答】解：关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数是﹣2、一次项系数是4、常数项是1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 【分析】根据二次函数的定义进行解答． 【解答】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数， 所以a+2≠0， 即a≠﹣2． 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键． 6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 7．把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5 【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解． 【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+5， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 8．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④a﹣b+c＞0，⑤a+b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由图象可得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，从而可得a＞0，c＜0，求出b＝﹣2a＜0，即可判断①；根据抛物线图象与x轴有两个交点即可判断②；由图象可得，x＝2时，y＜0，即可判断③；由图象可得，当x＝﹣1时，y＞0，即可判断④；由图象可得，当x＝1时，二次函数有最小值为a+b+c，即可判断⑤；由图象可得，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，即可判断⑥；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解答】解：由图象可得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴c＜0，a＞0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意； ∵抛物线图象与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确，符合题意； 由图象可得，x＝2时，y＜0，故4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意； 由图象可得，当x＝﹣1时，y＞0，故a﹣b+c＞0，故④正确，符合题意； 由图象可得，当x＝1时，二次函数有最小值为a+b+c， ∴m为任意实数，am2+bm+c≥a+b+c，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意； 由图象可得，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．二次函数y＝2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为　﹣4　 ． 【分析】先把二次函数y＝2x（x﹣3）化成一般式，然后再确定二次项系数是2和一次项系数是﹣6，然后再求和． 【解答】解：∵二次函数y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x 化简得，y＝2x2﹣6x． ∴a＝2，b＝﹣6， ∴2﹣6＝﹣4， 即二次项系数与一次项系数的和是：2+（﹣6）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，关键是只有二次函数的一般式才能准确找出二次项系数，一次项系数，常数项． 10．抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为 　（2，1）　 ． 【分析】利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标． 【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1， ∵抛物线开口向上，当x＝2时，y最小＝1， ∴顶点坐标是：（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标，根据题意正确的将二次函数进行配方是解决问题的关键． 11．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是 a≠2　 ． 【分析】根据二次函数的定义即可得． 【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数， ∴2﹣a≠0，即a≠2， 故答案为：a≠2． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如y＝ax2+bx+c，（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 12．已知函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上有两个点：A（﹣1，y1），B（4，y2），则y1，y2的大小关系为y1　＜　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+k， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点A（﹣1，y1），B（4，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，且|﹣1﹣2|＞|4﹣2|， ∴y1＜y2； 故答案为：＜． 【点评】本题考查比较二次函数的函数值大小，掌握相关知识点是解题的关键． 13．若是关于x的二次函数，则m＝　3　 ． 【分析】根据二次函数的定义列得方程，解方程即可． 【解答】解：若是关于x的二次函数， 则m2﹣2m﹣1＝2且m2+m≠0， 解得：m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 14．二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是　　 ． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征进行计算即可． 【解答】解：由题知， 二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4， 所以抛物线的对称轴为直线x且开口向下． 又因为0＜x＜3时， 则当x时，y取得最大值为， 当x＝0时，y＝4， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3图象经过（﹣2，7），则6a+3b+2020＝　2026　 ． 【分析】根据题意，将点（﹣2，7）代入二次函数解析式，再结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 将点（﹣2，7）代入y＝ax2﹣bx+3得， 4a+2b+3＝7， 则2a+b＝2， 所以6a+3b+2020＝3（2a+b）+2020＝3×2+2020＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，将所给点的坐标代入计算及结合整体思想是解题的关键． 17．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣2），则bc+1的最大值为　3　 ． 【分析】由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出b和c关于a的表达式，代入bc+1得到关于a的二次函数，求其最大值即可． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2， 展开得y＝ax2﹣2ax+a﹣2， ∴b＝﹣2a，c＝a﹣2． 则bc+1＝（﹣2a）（a﹣2）+1＝﹣2a2+4a+1． 得出关于a的二次函数y＝﹣2a2+4a+1，∵二次项系数为﹣2＜0， 故开口向下，有最大值， 当时取得最大值， 最大值为﹣2×12+4×1+1＝3； 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出b和c关于a的表达式． 18．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　m＜0　 ． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点可得抛物线运动轨迹，结合图象求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∴抛物线顶点在直线y＝x+1上， 如图， 当抛物线顶点在AD上时，m+1＝1， ∴m＝0， 如图，当抛物线经过点A（﹣1，1）时， 1＝1+2m+m2+m+1， 解得m（舍）或m， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，结合图象求解． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 【分析】（1）形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此解答即可； （2）形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【解答】解：（1）由二次函数的概念可得m2﹣m≠0， m（m﹣1）≠0， 解得m≠0且m≠1； （2）由一次函数的概念可得 ， 解得m＝1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 20．（8分）（1）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y＝（m2+m）是二次函数，求m的值． 【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可． 【解答】解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1是二次函数， 即m2﹣m≠0， 即m≠0且m≠1， ∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数； （2）由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，m2+m≠0， 解得：m1＝3，m2＝﹣1（不合题意舍去）， 所以m的值为3． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键． 21．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象经过点（1，﹣1）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点（2，m），求m的值． 【分析】（1）先求出b的值，再据此求出顶点坐标即可； （2）根据“左加右减”的平移法则求出平移后的函数解析式，再将点（2，m）代入计算即可． 【解答】解：（1）将点（1，﹣1）代入y＝x2+bx+2得， 1+b+2＝﹣1， 解得b＝﹣4， 所以二次函数解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， 所以该函数图象的顶点坐标为（2，﹣2）； （2）由题知， 将该函数的图象向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣5）2﹣2， 将点（2，m）代入函数解析式得， m＝7， 所以m的值为7． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 22．（8分）已知二次函数（m为常数）． （1）若该函数图象上有两个点A（m+2，y1）、B（m﹣1，y2），试比较y1与y2的大小； （2）当2≤x≤4时，函数有最小值为﹣2，请直接写出m的值． 【分析】（1）将点A和点B坐标分别代入二次函数解析式，用m表示出y1，y2，再据此进行计算即可； （2）根据题意，利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 将点A和点B坐标分别代入二次函数解析式得， ， ， 所以， 所以y1＞y2； （2）当x＝2时，y， 所以抛物线过顶点（2，﹣1）． 因为二次函数解析式为（m为常数）， 所以抛物线的对称轴为直线x． 因为当2≤x≤4时，函数有最小值为﹣2， 则当2≤m≤4时， ， 解得m＝2或m（舍去）； 当m＞4时， ， 解得m＝3.5（舍去）， 综上所述，m的值为2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 23．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点P（m，n）在另一条抛物线y＝x2﹣x+2上运动．该二次函数图象与y轴交于点A，过点P作PB⊥y轴于点B． （1）当m＝1时，求点A和点B的坐标； （2）当m＝2时，求△PAB的面积； （3）当m＞0时，求点A的纵坐标yA的最小值． 【分析】（1）先根据顶点P（m，n）在抛物线y＝x2﹣x+2上，代入m＝1求出n，再写出二次函数解析式，令x＝0得出A坐标，由PB⊥y轴，点B纵坐标与P相同，横坐标为0； （2）先求出m＝2时n的值，得到点P、A、B的坐标，再以AB为底、PB为高，用三角形面积公式计算； （3）先写出点A纵坐标yA关于m的表达式，再将其整理为二次函数形式，利用二次函数的性质求最小值． 【解答】解：（1）当m＝1时，n＝12﹣1+2＝2， ∴顶点P（1，2），二次函数为y＝（x﹣1）2+2， 令x＝0，则y＝（0﹣1）2+2＝3， ∴A（0，3）， ∵PB⊥y轴，P（1，2）， ∴B（0，2）； （2）当m＝2时，n＝22﹣2+2＝4， ∴顶点P（2，4），二次函数为y＝（x﹣2）2+4， 令x＝0，则y＝（0﹣2）2+4＝8， ∴A（0，8）， ∵PB⊥y轴，P（2，4）， ∴B（0，4）， AB＝8﹣4＝4，PB＝2， S△PABAB×PB4×2＝4； （3）二次函数y＝（x﹣m）2+n，令x＝0，得yA＝m2+n， ∵P（m，n）在y＝x2﹣x+2上， ∴n＝m2﹣m+2， ∴yA＝m2+m2﹣m+2＝2m2﹣m+2， 这是开口向上的二次函数，对称轴为m， 且0， 当m时，yA取得最小值： 2，yA取得最小值： 22． 【点评】本题考查二次函数的顶点坐标、与坐标轴的交点及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的解析式转化和性质是解题的关键． 24．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）写出函数图象的顶点坐标　（2，﹣1）　 ； （2）画出此函数的图象（描5个点即可）； （3）当﹣1＜x＜3时，写出y的取值范围：　﹣1≤y＜8　 ； （4）当y＞3时，写出x的取值范围：x＜0或x＞4　 ． 【分析】（1）由二次函数解析式y＝x2﹣4x+3进行配方化为顶点式，从而求解； （2）根据列表，描点，连线的方法即可画出图象； （3）根据图象即可求出y的取值范围； （4）根据图象即可求出x的取值范围． 【解答】解：（1）将二次函数解析式y＝x2﹣4x+3进行配方可得：y＝（x﹣2）2﹣1， ∴此函数图象的顶点坐标为（2，﹣1）； 故答案为：（2，﹣1）； （2）根据列表，描点，连线的方法画出图象如下： 列表： x ⋯ ﹣1 0 2 4 5 ⋯ y＝x2﹣4x+3 ⋯ 8 3 ﹣1 3 8 ⋯ 描点、连线，如图， （3）根据图象可知：当﹣1＜x＜3时， ∴y的取值范围﹣1≤y＜8； 故答案为：﹣1≤y＜8； （4）根据图象可知：当y＞3时，x的取值范围是x＜0或x＞4， 故答案为：x＜0或x＞4． 【点评】本题考查求二次函数解析式，画出二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 25．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，a＞0）． （1）若a＝1时，①试判断点A（﹣2，﹣2b）是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B（2，k），C（2+b，k）在二次函数y＝ax2+bx﹣4图象上，求k的值； （2）已知抛物线的对称轴为直线x＝t（2＜t＜4），若点M（﹣1，m）和N（3，n）在该抛物线上，满足m﹣n＝8，求a﹣b的取值范围． 【分析】（1）①根据题意可得抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣4，求出x＝﹣2时的函数值即可得到答案；②根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则可得到，解方程即可得到答案； （2）根据对称轴公式推出b＝﹣2at，求出m＝a﹣b﹣4，n＝9a+3b﹣4，根据m﹣n＝8得到2a+b＝﹣2，据此用含t的式子表示出a、b，进而表示出a﹣b，根据t的取值范围，求出a﹣b的取值范围即可． 【解答】解：（1）①当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣4． 当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2b﹣4＝﹣2b， ∴点A（﹣2，﹣2b）在此二次函数的图象上； ②由条件可知B，C两点关于抛物线的对称轴对称，则， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣4． 将点B坐标代入抛物线的解析式得k＝22﹣2×2﹣4＝﹣4； （2）∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则b＝﹣2at． 由条件可知m＝a﹣b﹣4，n＝9a+3b﹣4， ∴m﹣n＝a﹣b﹣4﹣（9a+3b﹣4）＝﹣8a﹣4b， ∵m﹣n＝8， ∴﹣8a﹣4b＝8， ∴2a+b＝﹣2， 将b＝﹣2at代入2a+b＝﹣2得2a﹣2at＝﹣2， ∴， ∴． ∵2＜t＜4， ∴1＜t﹣1＜3， ∴， ∴， 即3＜a﹣b＜5． 【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 26．（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣4mx﹣m+2（m是常数）． （1）抛物线的对称轴为直线x＝　2m ；（用含m的代数式表示） （2）若二次函数图象经过点（﹣1，6），求二次函数图象的顶点坐标； （3）若二次函数图象经过点（0，p），（﹣1，q），求证：； （4）已知二次函数图象经过点（2m+3，y1），（n，y2），若对于任意的4≤n≤7，都有y2≥y1成立，求m的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求得； （2）先将点（﹣1，6）代入函数解析式求出m 的值，再将函数化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）先将点（0，p）、（﹣1，q） 代入解析式，用含 m的式子表示 p、q，再求 pq 的最大值，证明其不超过； （4）先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性，将y1转化为对称点的函数值，最后根据单调性列出不等式求解． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2﹣4mx﹣m+2（m是常数）． ∴抛物线的对称轴为直线x2m， 故答案为：2m； （2）解：把点（﹣1，6）代入y＝x2﹣4mx﹣m+2得， 6＝1+4m﹣m+2， 解得m＝1， 此时函数为y＝x2﹣4x+1， 配方得：y＝（x﹣2）2﹣3， ∴顶点坐标为（2，﹣3）； （3）证明：∵二次函数图象经过点（0，p），（﹣1，q）， ∴p＝02﹣4m×0﹣m+2＝﹣m+2，q＝（﹣1）2﹣4m×（﹣1）﹣m+2＝1+4m﹣m+2＝3+3m， ∴pq＝（﹣m+2）（3+3m）＝﹣3m2+3m+6＝﹣3（m）2， ∵﹣3＜0， ∴这是一个开口向下的二次函数，其最大值为， ∴pq； （4）解：∵二次函数的对称轴为直线x＝2m， 点（2m+3，y1）关于对称轴x＝2m的对称点为（2m﹣3，y1）， ∵抛物线y＝x2﹣4mx﹣m+2的开口向上，若对于任意的4≤n≤7，都有y2≥y1成立，∴2m+3≤4或2m﹣3≥7， 解得m或m≥5． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解题的关键是熟练掌握二次函数的代入求值、配方法、对称性转化及利用函数性质分析参数范围的方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测01 6.1～6.2 二次函数的概念、二次函数的图象与性质 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析． 【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据二次函数的定义得到m+1＝2，解方程求出m即可． 【解答】解：∵函数y＝xm+1是关于x的二次函数， ∴m+1＝2， ∴m＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数． 3．关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5，下列说法正确的是（　　） A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣2 C．其最小值为5 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【解答】解：根据题目中的函数解析式逐项分析判断如下： A、该函数的图象开口向下，不符合题意； B、对称轴是直线x＝2，不符合题意； C、当x＝2时y取得最大值5，不符合题意； D、当x＜2时，y随x的增大而增大，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 4．关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【解答】解：关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数是﹣2、一次项系数是4、常数项是1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 【分析】根据二次函数的定义进行解答． 【解答】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数， 所以a+2≠0， 即a≠﹣2． 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键． 6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．二次函数y＝2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为　﹣4　 ． 【分析】先把二次函数y＝2x（x﹣3）化成一般式，然后再确定二次项系数是2和一次项系数是﹣6，然后再求和． 【解答】解：∵二次函数y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x 化简得，y＝2x2﹣6x． ∴a＝2，b＝﹣6， ∴2﹣6＝﹣4， 即二次项系数与一次项系数的和是：2+（﹣6）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，关键是只有二次函数的一般式才能准确找出二次项系数，一次项系数，常数项． 8．抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为 　（2，1）　 ． 【分析】利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标． 【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1， ∵抛物线开口向上，当x＝2时，y最小＝1， ∴顶点坐标是：（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标，根据题意正确的将二次函数进行配方是解决问题的关键． 9．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是 a≠2　 ． 【分析】根据二次函数的定义即可得． 【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数， ∴2﹣a≠0，即a≠2， 故答案为：a≠2． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如y＝ax2+bx+c，（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 10．已知函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上有两个点：A（﹣1，y1），B（4，y2），则y1，y2的大小关系为y1　＜　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+k， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点A（﹣1，y1），B（4，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，且|﹣1﹣2|＞|4﹣2|， ∴y1＜y2； 故答案为：＜． 【点评】本题考查比较二次函数的函数值大小，掌握相关知识点是解题的关键． 11．若是关于x的二次函数，则m＝　3　 ． 【分析】根据二次函数的定义列得方程，解方程即可． 【解答】解：若是关于x的二次函数， 则m2﹣2m﹣1＝2且m2+m≠0， 解得：m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 12．二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 13．已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是　　 ． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征进行计算即可． 【解答】解：由题知， 二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4， 所以抛物线的对称轴为直线x且开口向下． 又因为0＜x＜3时， 则当x时，y取得最大值为， 当x＝0时，y＝4， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 14．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3图象经过（﹣2，7），则6a+3b+2020＝　2026　 ． 【分析】根据题意，将点（﹣2，7）代入二次函数解析式，再结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 将点（﹣2，7）代入y＝ax2﹣bx+3得， 4a+2b+3＝7， 则2a+b＝2， 所以6a+3b+2020＝3（2a+b）+2020＝3×2+2020＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，将所给点的坐标代入计算及结合整体思想是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 【分析】（1）形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此解答即可； （2）形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【解答】解：（1）由二次函数的概念可得m2﹣m≠0， m（m﹣1）≠0， 解得m≠0且m≠1； （2）由一次函数的概念可得 ， 解得m＝1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 16．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点P（m，n）在另一条抛物线y＝x2﹣x+2上运动．该二次函数图象与y轴交于点A，过点P作PB⊥y轴于点B． （1）当m＝1时，求点A和点B的坐标； （2）当m＝2时，求△PAB的面积； （3）当m＞0时，求点A的纵坐标yA的最小值． 【分析】（1）先根据顶点P（m，n）在抛物线y＝x2﹣x+2上，代入m＝1求出n，再写出二次函数解析式，令x＝0得出A坐标，由PB⊥y轴，点B纵坐标与P相同，横坐标为0； （2）先求出m＝2时n的值，得到点P、A、B的坐标，再以AB为底、PB为高，用三角形面积公式计算； （3）先写出点A纵坐标yA关于m的表达式，再将其整理为二次函数形式，利用二次函数的性质求最小值． 【解答】解：（1）当m＝1时，n＝12﹣1+2＝2， ∴顶点P（1，2），二次函数为y＝（x﹣1）2+2， 令x＝0，则y＝（0﹣1）2+2＝3， ∴A（0，3）， ∵PB⊥y轴，P（1，2）， ∴B（0，2）； （2）当m＝2时，n＝22﹣2+2＝4， ∴顶点P（2，4），二次函数为y＝（x﹣2）2+4， 令x＝0，则y＝（0﹣2）2+4＝8， ∴A（0，8）， ∵PB⊥y轴，P（2，4）， ∴B（0，4）， AB＝8﹣4＝4，PB＝2， S△PABAB×PB4×2＝4； （3）二次函数y＝（x﹣m）2+n，令x＝0，得yA＝m2+n， ∵P（m，n）在y＝x2﹣x+2上， ∴n＝m2﹣m+2， ∴yA＝m2+m2﹣m+2＝2m2﹣m+2， 这是开口向上的二次函数，对称轴为m， 且0， 当m时，yA取得最小值： 2，yA取得最小值： 22． 【点评】本题考查二次函数的顶点坐标、与坐标轴的交点及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的解析式转化和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测01 6.1～6.2 二次函数的概念、二次函数的图象与性质 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 2．函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5，下列说法正确的是（　　） A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝﹣2 C．其最小值为5 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 4．关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 5．已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2 6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 7．把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5 8．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④a﹣b+c＞0，⑤a+b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．二次函数y＝2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为_______ ． 10．抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为 __________ ． 11．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是 ________ ． 12．已知函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上有两个点：A（﹣1，y1），B（4，y2），则y1，y2的大小关系为y1_____ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 13．若是关于x的二次函数，则m＝_____ ． 14．二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为_________ ． 15．已知二次函数y＝﹣x2+3x+4，当0＜x＜3时，y的取值范围是____________________ ． 16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3图象经过（﹣2，7），则6a+3b+2020＝_________ ． 17．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣2），则bc+1的最大值为_____ ． 18．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为____________________ ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 20．（8分）（1）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围； （2）已知函数y＝（m2+m）是二次函数，求m的值． 21．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象经过点（1，﹣1）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点（2，m），求m的值． 22．（8分）已知二次函数（m为常数）． （1）若该函数图象上有两个点A（m+2，y1）、B（m﹣1，y2），试比较y1与y2的大小； （2）当2≤x≤4时，函数有最小值为﹣2，请直接写出m的值． 23．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点P（m，n）在另一条抛物线y＝x2﹣x+2上运动．该二次函数图象与y轴交于点A，过点P作PB⊥y轴于点B． （1）当m＝1时，求点A和点B的坐标； （2）当m＝2时，求△PAB的面积； （3）当m＞0时，求点A的纵坐标yA的最小值． 24．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）写出函数图象的顶点坐标___________ ； （2）画出此函数的图象（描5个点即可）； （3）当﹣1＜x＜3时，写出y的取值范围：___________ ； （4）当y＞3时，写出x的取值范围：____________ ． 25．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a，b是常数，a＞0）． （1）若a＝1时，①试判断点A（﹣2，﹣2b）是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B（2，k），C（2+b，k）在二次函数y＝ax2+bx﹣4图象上，求k的值； （2）已知抛物线的对称轴为直线x＝t（2＜t＜4），若点M（﹣1，m）和N（3，n）在该抛物线上，满足m﹣n＝8，求a﹣b的取值范围． 26．（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣4mx﹣m+2（m是常数）． （1）抛物线的对称轴为直线x＝_______ ；（用含m的代数式表示） （2）若二次函数图象经过点（﹣1，6），求二次函数图象的顶点坐标； （3）若二次函数图象经过点（0，p），（﹣1，q），求证：； （4）已知二次函数图象经过点（2m+3，y1），（n，y2），若对于任意的4≤n≤7，都有y2≥y1成立，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 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