2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线与圆的位置关系，涵盖位置关系判断、弦长计算及切线方程求解等核心知识点。以海上日出情境导入，将自然现象与数学模型关联，衔接直线和圆的方程知识，搭建从直观感知到代数推理的学习支架。 导学案通过几何法与代数法对比培养数学思维，情境导入发展数学眼光，分层例题与误区提示提升数学语言表达。提供知识清单与方法归纳，助力学生自主构建知识体系，有效提升抽象能力与推理意识，适合课堂教学与学生自主学习。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第1课时　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1.理解直线与圆的三种位置关系.2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.3.会用代数法来判断直线与圆的位置关系.4.能解决直线与圆的位置关系中求切线方程、求弦长等综合问题. 导语 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 一、直线与圆的位置关系的判断 问题　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 知识梳理 直线l：Ax+By+C=0与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判 断 方 法 几何法： 设圆心到直线的距离为d= d<r d=r d>r 判 断 方 法 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 例1　已知直线方程mx-y-m-1=0，圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 跟踪训练1　(1)已知圆C： x2+y2-4x=0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 (2)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) 二、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有+d2=r2， 即|AB|=2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB| = =|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在且k≠0). 例2　(课本例1)已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 例3　若圆C过A(0，4)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：x-2y-2=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(1，4)的直线与圆C交于M，N两点，且|MN|=8，求直线MN的方程. 反思感悟　(1)求直线被圆所截的弦长的两种方法：代数法、几何法. (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 跟踪训练2　已知圆x2+y2=9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　) A.y-2=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.x-1=0 三、圆的切线问题 例4　(课本例2)过点P(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，求切线l的方程. 例5　过点P(1，2)作圆O：x2+y2=1的切线l，用两种方法求切线l的方程. 反思感悟　求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 根据“切线与圆心和圆上的点的连线垂直”即可求出切线方程. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可得切线方程. ②当切线的斜率不存在时要加以验证. 注意：过圆外一点的切线有两条. 跟踪训练3　已知过点P(2，2)的直线l与圆(x-1)2+y2=5相切，求直线l的方程. 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)弦长公式. (3)圆的切线. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况. 1.直线2x+y+4=0与圆x2+y2-2y-4=0的位置关系为(　　) A.相交且过圆心 B.相交且不过圆心 C.相切 D.相离 2.过圆C：x2+(y+4)2=25上一点M(3，0)作圆C的切线l，则l的方程为(　　) A.4x-3y-12=0 B.4x+3y-12=0 C.3x+4y-9=0 D.3x-4y-9=0 3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为　　　　. 4.若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案第1课时　直线与圆的位置关系参考答案 [学习目标]　1.理解直线与圆的三种位置关系.2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.3.会用代数法来判断直线与圆的位置关系.4.能解决直线与圆的位置关系中求切线方程、求弦长等综合问题. 导语 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 一、直线与圆的位置关系的判断 问题　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示　转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 知识梳理 直线l：Ax+By+C=0与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判 断 方 法 几何法： 设圆心到直线的距离为d= d<r d=r d>r 判 断 方 法 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 例1　已知直线方程mx-y-m-1=0，圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解　方法一　将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 则Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0，即-<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法二　已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4， 设圆心为C(2，1)，半径r=2. 圆心C(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d== . (1)当d<2，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2，即-<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 跟踪训练1　(1)已知圆C： x2+y2-4x=0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 答案　A 解析　将点P(3，0)代入圆C的方程， 得32+02-4×3=9-12=-3<0， ∴点P(3，0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. (2)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) 答案　C 解析　由题意得，圆心到直线的距离 d=>，∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 二、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有+d2=r2， 即|AB|=2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB| = =|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在且k≠0). 例2　(课本例1)已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 解　方法一　联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 把x1=2，x2=1分别代入方程①，得y1=0，y2=3.所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3). 因此|AB|==. 方法二　圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5，因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离 d==<. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 如图，由垂径定理， 得|AB|=2=. 例3　若圆C过A(0，4)，B(4，6)两点，且圆心C在直线l：x-2y-2=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(1，4)的直线与圆C交于M，N两点，且|MN|=8，求直线MN的方程. 解　(1)因为圆心在直线l：x-2y-2=0上，所以设C(2t+2，t). 因为圆C过A(0，4)，B(4，6)两点， 所以 =， 所以t=1，所以C(4，1). 因为=5，所以圆C的半径为5， 所以圆C的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=25. (2)设圆心C到直线MN的距离为d，则|MN|=2=8，所以d=3. 当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1，此时d=3，符合题意； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y-4=k(x-1)， 所以d==3，所以1+k2=k2+2k+1， 所以k=0，直线MN的方程为y=4. 综上可得，直线MN的方程为x=1或y=4. 反思感悟　(1)求直线被圆所截的弦长的两种方法：代数法、几何法. (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 跟踪训练2　已知圆x2+y2=9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　) A.y-2=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.x-1=0 答案　B 解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直.已知圆心O(0，0)，所以过点P(1，2)的直径所在直线的斜率k==2，故所求直线的斜率为-，所以所求直线方程为y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0. 三、圆的切线问题 例4　(课本例2)过点P(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，求切线l的方程. 解　方法一　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0. 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1， 得=1，解得k=0或. 因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0. 方法二　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2). 因为直线l与圆相切，所以方程组 只有一组解. 消元，得 (k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0. ① 因为方程①只有一个解，所以 Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0， 解得k=0或. 所以，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0. 例5　过点P(1，2)作圆O：x2+y2=1的切线l，用两种方法求切线l的方程. 解　方法一　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1， 易知，直线x=1与圆O：x2+y2=1相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线的方程为y-2=k(x-1). 因为直线l与圆相切，所以方程组 只有一组解. 消元，得(k2+1)x2+(4k-2k2)x+k2-4k+3=0. ① 因为方程①只有一个实数根，所以 Δ=4k2(2-k)2-4(k2+1)(k2-4k+3)=0， 解得k=，则切线l的方程为y-2=(x-1)， 即3x-4y+5=0. 综上，所求切线l的方程为x=1或3x-4y+5=0. 方法二　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1， 易知，直线x=1与圆O：x2+y2=1相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线的方程为y-2=k(x-1)， 即kx-y-k+2=0， 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，得 =1， 解得k=，则切线l的方程为y-2=(x-1)， 即3x-4y+5=0. 综上，所求切线l的方程为x=1或3x-4y+5=0. 反思感悟　求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 根据“切线与圆心和圆上的点的连线垂直”即可求出切线方程. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可得切线方程. ②当切线的斜率不存在时要加以验证. 注意：过圆外一点的切线有两条. 跟踪训练3　已知过点P(2，2)的直线l与圆(x-1)2+y2=5相切，求直线l的方程. 解　方法一　圆(x-1)2+y2=5的圆心坐标为C(1，0)，半径r=， 易知点P(2，2)在圆(x-1)2+y2=5上，因为直线l与圆相切， 所以l⊥PC，又P(2，2)，所以kPC==2， 所以kl=-=-， 所以所求切线方程为y-2=-(x-2)， 即x+2y-6=0. 方法二　圆(x-1)2+y2=5的圆心坐标为(1，0)，半径r=， 设过点P(2，2)的直线l的斜率为k， (1)当k不存在时，直线l为x=2，易知与圆不相切，不符合题意； (2)当k存在时，则直线方程y-2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0，由于直线l和圆相切，故=，得k=-， 所以所求切线方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0. 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)弦长公式. (3)圆的切线. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况. 1.直线2x+y+4=0与圆x2+y2-2y-4=0的位置关系为(　　) A.相交且过圆心 B.相交且不过圆心 C.相切 D.相离 答案　C 解析　圆x2+y2-2y-4=0， 即x2+(y-1)2=5， 其圆心坐标为(0，1)，半径为r=， 圆心到直线2x+y+4=0的距离d===r，直线与圆的位置关系为相切. 2.过圆C：x2+(y+4)2=25上一点M(3，0)作圆C的切线l，则l的方程为(　　) A.4x-3y-12=0 B.4x+3y-12=0 C.3x+4y-9=0 D.3x-4y-9=0 答案　C 解析　圆C：x2+(y+4)2=25的圆心为C(0，-4)，又M(3，0)， 则kCM==， 因为kl·kCM=-1， 则kl==-， 所以直线l的方程为y=-(x-3)， 即3x+4y-9=0. 3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为　　　　. 答案　2 解析　由题意得直线方程为x-y=0，圆的方程为(x-2)2+y2=4，则圆心(2，0)到直线的距离d==，所以弦长l=2=2=2. 4.若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 答案　∪ 解析　圆x2+y2=1的圆心为(0，0)， 半径为1， 因为直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点， 所以=>1， 化简得k2<1， 解得-1<k<1， 所以-1<tan α<1， 因为α∈[0，π)， 所以0≤α<或<α<π， 所以直线倾斜角α的取值范围为∪. . 学科网（北京）股份有限公司 $