专题02 一元二次方程（知识&考点&公式&高频&易错&重难，期中知识清单）九年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 一元二次方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(8类) 公式清单(4类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式：（）．其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 注意：是一元二次方程一般形式的重要条件．当时，方程变为，是一元一次方程． 一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． 4.由一元二次方程的定义求参数：根据"一个未知数""最高次数为2""整式方程"三个条件列方程或不等式求参数．特别注意二次项系数不等于0这一隐含条件． 5.由一元二次方程的解求参数：将已知的根代入方程，得到关于参数的方程，解之即可． 知识点02一元二次方程的解法 1.直接开平方法： （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 2.配方法：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解． 配方步骤：①将二次项系数化为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为的形式求解． 3.公式法：一元二次方程（）的求根公式为： 使用公式法的步骤：①将方程化为一般形式；②确定、、的值；③计算的值；④代入求根公式求解． 4. 因式分解法： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． 5.换元法：当方程中含有相同的复杂表达式时，可以用一个新的变量来替换这个表达式，将原方程化为关于新变量的一元二次方程，求解后再回代． 6.解分式方程（化为一元二次方程）：有些分式方程通过去分母、整理后可以化为一元二次方程求解．注意：求出解后必须检验，排除使分母为零的增根． 知识点03一元二次方程根的判别式 1.判别式的定义：对于一元二次方程（），式子叫做根的判别式，通常用字母表示，即． 2.判别式与根的情况的关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 3.根据判别式判断根的情况：先确定、、的值，计算，再根据的符号判断根的情况． 4.根据根的情况求参数：已知方程根的情况，利用判别式列不等式（或等式）求参数的取值范围． "有两个不相等的实数根"；"有两个实数根"或"有实数根"；"没有实数根"．注意：同时要保证． 知识点04一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系：如果、是一元二次方程（）的两个根，那么：， 2.一元二次方程根与系数的关系： 已知一根求另一根及参数；求关于两根的对称式的值（如、、等）；已知两根满足某种关系，求参数的值． 3.重要变形公式： ； ； 知识点05一元二次方程的应用——常见题型 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 1.传播问题：一人传多人，经过若干轮传播后总人数满足一元二次方程． 基本模型：若每轮每人传给人，则经过两轮后总人数为． 2.增长率（降低率）问题：基础量为，平均增长（降低）率为，则依次提升（减低）1次、2次的产量分别为， 3.与图形有关的问题：利用面积、体积等几何量建立一元二次方程．常见类型：矩形面积问题、边框问题、折叠问题等． 4.数字问题：利用数字的位值关系建立方程．如两位数的表示：十位数字为、个位数字为，则该两位数为． 5.营销（利润）问题：利润=售价-进价；总利润=单件利润销售量．当售价变化影响销售量时，建立一元二次方程求最大利润或特定利润． 6.工程问题：工作效率工作时间=工作总量．合作效率=各效率之和． 7.行程问题：路程=速度时间． 8.握手、循环赛问题：个人两两握手（或单循环赛），总次数为． 考点01 一元二次方程的识别 考点内容：一元二次方程的定义与判定；一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；二次项、一次项、常数项及各项系数． ①判断一个方程是不是一元二次方程（紧扣“整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”）； ②指出一元二次方程中的二次项、一次项、常数项，确定各项系数（注意符号）； ③含参数的方程中，由“它是一元二次方程”确定参数的值（注意二次项系数a≠0）． 考点02 一元二次方程的解（根） 考点内容：方程的解（根）的定义；用代入法判断一个数是否为方程的根；由已知根求参数；整体思想求代数式的值． ①判断所给的数是不是一元二次方程的根（代入检验）； ②已知方程的一个根，求方程中的参数或另一个根； ③利用根的定义整体代入，求相关代数式的值． 考点03 用直接开平方法与因式分解法解方程 考点内容：直接开平方法（x²＝p、（nx+m）²＝p）；因式分解法（提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘）． ①用直接开平方法解方程，注意等号右边必须是非负数； ②用因式分解法解方程（移项、分解因式、令因式为0）； ③判断方程是否有实数根或根的个数． 考点04 用配方法解方程 考点内容：配方法的原理与步骤；把一般式配方为（x+m）²＝n的形式． ①用配方法解一元二次方程； ②判断配方法每一步变形是否正确； ③由“用配方法可化为（x+m）²＝n”等条件求参数的值． 考点05 用公式法解方程与根的判别式 考点内容：求根公式；根的判别式Δ＝b²－4ac与根的情况；用公式法解方程的一般步骤． ①用公式法解一元二次方程（先化一般式，再算判别式）； ②由判别式的符号判断方程根的情况； ③已知方程根的情况（两个不等实根／两个相等实根／无实根），求参数的取值范围（注意a≠0）． 考点06一元二次方程根的判别式的应用 考点内容：判别式的计算；的符号与根的情况的对应关系；根据根的情况求参数取值范围． ①不解方程，利用判别式判断方程根的情况 ②已知方程有两个不相等的实数根（或有实数根），求参数的取值范围（注意或，以及） ③已知方程没有实数根，求参数的取值范围（） ④判别式与其他知识（如韦达定理、函数）综合考查 易错提醒：当题目说"有实数根"时，要分两种情况讨论——一元二次方程（，）和一元一次方程（）． 考点07一元二次方程根与系数的关系的应用 考点内容：韦达定理，；关于两根的对称式的求值． ①已知方程的两根，求两根之和与两根之积 ②已知一根，利用韦达定理求另一根及参数 ③求关于两根的对称式的值（如、、等） ④已知两根满足某种关系（如互为相反数、互为倒数、一根是另一根的2倍等），求参数的值 易错提醒：使用韦达定理的前提是方程有实数根，即．解题时务必先验证判别式． 考点08 一元二次方程的实际应用 考点内容：列一元二次方程解应用题的一般步骤；增长率、面积、利润等常见模型． ①增长率（降低率）问题：a(1±x)²＝b； ②面积与几何问题：围栏、道路、图形剪拼等； ③利润与销售问题：由单价变化与销售量变化关系列方程； ④解出根后检验是否符合题意，舍去不合题意的根． 1.一元二次方程的基本公式 序号 名称 公式 说明 1 一般形式 （） 为二次项系数，为一次项系数，为常数项 2 求根公式 条件：， 3 根的判别式 两个不等实根；两个相等实根；无实根 4 韦达定理 ； 前提：方程有实数根（） 2.常用变形公式 序号 名称 公式 说明 5 两根平方和 韦达定理的常用变形 6 两根差的平方 即 7 两根差的绝对值 由上式开方得到 8 两根倒数和 条件： 3.应用问题常用公式 序号 名称 公式 说明 9 增长率公式 为基础量，为增长率，为增长次数 10 降低率公式 同上，为降低率 11 握手/循环赛 为人数（或队数） 12 传播模型 每轮每人传人，两轮后总人数 13 黄金比 黄金分割的比值 4.配方法关键步骤 序号 步骤 操作 说明 14 化二次项系数为1 方程两边同除以 前提： 15 移项 常数项移到右边 左边只保留二次项和一次项 16 配方 两边加 "一次项系数一半的平方" 17 写成完全平方 右边化简后开平方求解 辨析01 一元二次方程必须同时满足三个条件，缺一不可 判断一个方程是否是一元二次方程，必须同时满足：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0．四项缺一不可，不要只凭“有平方项”就断定是一元二次方程． 辨析02 一般形式中二次项系数a不能为0，而b、c可为任意实数 为ax2+bx+c＝0（中，只有当a≠0时才是二次方程；若a＝0而b≠0，则变为一元一次方程bx+c＝0．因此一次项系数b、常数项c可以取任意实数（包括0），二次项系数a则必须不等于0． 辨析03一元二次方程定义中""是不可忽略的条件 一元二次方程的一般形式为，其中是定义的核心条件．当时，方程退化为，是一元一次方程而非一元二次方程．在判断一个含参数的方程是否为一元二次方程时，必须同时满足两个条件：①最高次数为2；②二次项系数不等于0． 辨析04 直接开平方法中，等号右边必须是非负数 形如x²＝p（p≥0）或（nx+m）²＝p（p≥0）才可直接开平方；当p＜0时，方程没有实数根，不能直接开平方． 辨析05 用因式分解法前必须把右边化为0，不能“约分” 因式分解法要求方程右边为0、左边分解为两个一次因式的乘积．不能在两边同时除以含未知数的式子，否则可能漏掉该式子等于0的情形而造成失根． 辨析06 配方法加的是“一次项系数一半的平方”，不是“一次项系数的一半” 配方的关键是两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边配成（x+m）²的形式；常见错误是只加“一次项系数的一半”或漏乘系数． 辨析07使用韦达定理前必须验证 韦达定理，成立的前提是方程有实数根，即．很多题目中，利用韦达定理求出参数后，必须回代验证是否成立，否则可能得到不符合题意的"假根"．这是中考中常见的失分点． 辨析08 根的判别式决定根的情况，不要误判为“一个根” 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根（不是说“只有一个根”）；当Δ＜0时，方程没有实数根；当Δ＞0时，有两个不相等的实数根． 辨析09应用题中求出的解必须检验是否符合实际意义 一元二次方程的应用题中，求出的解可能有两个，但并非两个解都符合实际意义．例如求人数、长度、价格等，负数解通常要舍去；求增长率时，解应在合理范围内．解题最后一步必须检验解的合理性． 辨析10 四种解法的选择：先看能否直接开平方或因式分解，再用公式法或配方法 解一元二次方程时，优先考虑直接开平方法和因式分解法（更简便）；若不适合，再用配方法或公式法（公式法是通法，适用范围最广）． 【题型一】一元二次方程的概念判断与参数求解 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东德州·期中）关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（  ） A．2 B．−2 C． D．0 【变式1-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【题型二】一元二次方程的解法 【例2】（26-27九年级上·全国·单元测试）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)；（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【变式2-2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解下列方程 (1) (2) 【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 【题型三】根的判别式的应用 【例3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【变式3-1】（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)若且k为整数，求方程的根． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 【变式3-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【题型四】根与系数的关系的应用 【例4】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两个根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【题型五】一元二次方程的应用 【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【变式5-1】（24-25九年级上·吉林·期中）吉林市承载着“京剧第二故乡”的人文内涵．京剧元素在吉林市文旅产业中也展现出了新的活力．某工厂制作京剧系列人物盲盒进行销售，月份制作该盲盒个，同年月份制作该盲盒个，求该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率？ 【变式5-2】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在一块长32米、宽20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为570平方米，请你求出小路的入口宽度． 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，王阿姨想要依靠一面墙（墙的最大可利用长度为20米），用34米长的篱笆围成一个矩形菜地（靠墙的一面不用篱笆），当矩形菜地的面积为120平方米时，求的长． 【题型一】忽略二次项系数不为零的条件 在判断一元二次方程或求参数时，忘记这一隐含条件，导致多解或错解．对于含参数的一元二次方程，求出参数后必须验证二次项系数是否为零．若，方程不再是二次方程，该参数值应舍去． 【例1】（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式1-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是______． 【变式1-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型二】使用韦达定理时未验证判别式的值大于或等于0 【例2】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）关于的一元二次方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 【变式2-2】（25-26九年级上·云南保山·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【变式3-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【变式3-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型四】因式分解法中两边同除含未知数的因式导致丢根 【例4】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【变式4-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【变式4-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】关于x的方程，无论k取何值，必有一根为多少？ 【题型五】公式法代入时符号错误 【例5】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) 【变式5-2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东德州·期中）解方程 (1)； (2)． 【题型一】判别式与韦达定理的综合应用 【例1】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【变式1-1】（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求的值． 【变式1-2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若，是方程的两根，记，，，． (1)求： ； ．（直接写出所求数值） (2)当为不小于的整数时，求证：； (3)利用（2）中所证明的结论，求的值． 【变式1-3】（22-23九年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 【题型二】一元二次方程与几何图形的综合 【例2】（2025·云南昆明·二模）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）公元世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为的正方形，再分别以，为一条边作邻边长为的矩形和矩形，最后得到面积为的正方形．则能列出关于的一元二次方程是______．（化为一般形式） 【变式2-2】（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 【变式2-3】（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【题型三】一元二次方程实际应用中的营销与方案问题 【例3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 【变式3-1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． (1)若销售单价为每件55元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品售价应为多少元？ (3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期中）元旦期间，某商场礼品柜台购进大量的生肖饰品进行销售，已知每件生肖饰品的进价为8元，当销售价定为20元时，平均每天可售出 300件，为尽快减少库存，商场决定降价销售．调查发现，当销售价每降低 1元时，平均每天就可以多售出50件． (1)若商场要想使这种生肖饰品的销售利润平均每天达到4000元，则该生肖饰品的售价应定为多少元? (2)要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为多少? 技巧 一句话要点 判断是否为一元二次方程——“三条件检查法” 整式、一个未知数、最高次数为2，且二次项系数≠0，缺一不可。 识别一般形式与各项系数——“按幂排列法” 先移项化为ax²+bx+c=0，再对照确定a、b、c（注意符号）。 判断是否为方程的根——“代入检验法” 把数代入原方程，看左右两边是否相等。 由方程的根求参数——“代回方程法” 把根代入方程得关于参数的方程，解出参数（含参时注意a≠0）。 解方程方法选择——“先看结构法” 先看能否直接开平方或因式分解，不行再用公式法或配方法。 直接开平方法——“先化平方，再看非负” 化成x²=p或（nx+m）²=p（p≥0），再开平方；p＜0无实根。 因式分解法——“一边为零，因式相乘” 先把一边化为0，再分解因式，令每个因式为0。 配方法——“二次化1，加半平方” 二次项系数化为1，两边加“一次项系数一半的平方”。 公式法——“先化一般，再算判别式” 化为一般式确定a、b、c，先算Δ=b²-4ac，Δ≥0再代入求根公式。 根的判别式判断根的情况 Δ＞0两不等实根；Δ＝0两相等实根；Δ＜0无实根。 含参问题——“代回检验” 由根的情况求参数后，代回方程检验是否满足a≠0及题意。 实际应用题——“审设列解检验答” 设元、列方程、解根后必须检验根是否符合题意，舍去不合题意的根。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(8类) 公式清单(4类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式：（）．其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 注意：是一元二次方程一般形式的重要条件．当时，方程变为，是一元一次方程． 一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . 3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． 4.由一元二次方程的定义求参数：根据"一个未知数""最高次数为2""整式方程"三个条件列方程或不等式求参数．特别注意二次项系数不等于0这一隐含条件． 5.由一元二次方程的解求参数：将已知的根代入方程，得到关于参数的方程，解之即可． 知识点02一元二次方程的解法 1.直接开平方法： （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 2.配方法：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解． 配方步骤：①将二次项系数化为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为的形式求解． 3.公式法：一元二次方程（）的求根公式为： 使用公式法的步骤：①将方程化为一般形式；②确定、、的值；③计算的值；④代入求根公式求解． 4. 因式分解法： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． 5.换元法：当方程中含有相同的复杂表达式时，可以用一个新的变量来替换这个表达式，将原方程化为关于新变量的一元二次方程，求解后再回代． 6.解分式方程（化为一元二次方程）：有些分式方程通过去分母、整理后可以化为一元二次方程求解．注意：求出解后必须检验，排除使分母为零的增根． 知识点03一元二次方程根的判别式 1.判别式的定义：对于一元二次方程（），式子叫做根的判别式，通常用字母表示，即． 2.判别式与根的情况的关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 3.根据判别式判断根的情况：先确定、、的值，计算，再根据的符号判断根的情况． 4.根据根的情况求参数：已知方程根的情况，利用判别式列不等式（或等式）求参数的取值范围． "有两个不相等的实数根"；"有两个实数根"或"有实数根"；"没有实数根"．注意：同时要保证． 知识点04一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系：如果、是一元二次方程（）的两个根，那么：， 2.一元二次方程根与系数的关系： 已知一根求另一根及参数；求关于两根的对称式的值（如、、等）；已知两根满足某种关系，求参数的值． 3.重要变形公式： ； ； 知识点05一元二次方程的应用——常见题型 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 1.传播问题：一人传多人，经过若干轮传播后总人数满足一元二次方程． 基本模型：若每轮每人传给人，则经过两轮后总人数为． 2.增长率（降低率）问题：基础量为，平均增长（降低）率为，则依次提升（减低）1次、2次的产量分别为， 3.与图形有关的问题：利用面积、体积等几何量建立一元二次方程．常见类型：矩形面积问题、边框问题、折叠问题等． 4.数字问题：利用数字的位值关系建立方程．如两位数的表示：十位数字为、个位数字为，则该两位数为． 5.营销（利润）问题：利润=售价-进价；总利润=单件利润销售量．当售价变化影响销售量时，建立一元二次方程求最大利润或特定利润． 6.工程问题：工作效率工作时间=工作总量．合作效率=各效率之和． 7.行程问题：路程=速度时间． 8.握手、循环赛问题：个人两两握手（或单循环赛），总次数为． 考点01 一元二次方程的识别 考点内容：一元二次方程的定义与判定；一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；二次项、一次项、常数项及各项系数． 常见考法： ①判断一个方程是不是一元二次方程（紧扣“整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”）； ②指出一元二次方程中的二次项、一次项、常数项，确定各项系数（注意符号）； ③含参数的方程中，由“它是一元二次方程”确定参数的值（注意二次项系数a≠0）． 考点02 一元二次方程的解（根） 考点内容：方程的解（根）的定义；用代入法判断一个数是否为方程的根；由已知根求参数；整体思想求代数式的值． 常见考法： ①判断所给的数是不是一元二次方程的根（代入检验）； ②已知方程的一个根，求方程中的参数或另一个根； ③利用根的定义整体代入，求相关代数式的值． 考点03 用直接开平方法与因式分解法解方程 考点内容：直接开平方法（x²＝p、（nx+m）²＝p）；因式分解法（提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘）． 常见考法： ①用直接开平方法解方程，注意等号右边必须是非负数； ②用因式分解法解方程（移项、分解因式、令因式为0）； ③判断方程是否有实数根或根的个数． 考点04 用配方法解方程 考点内容：配方法的原理与步骤；把一般式配方为（x+m）²＝n的形式． 常见考法： ①用配方法解一元二次方程； ②判断配方法每一步变形是否正确； ③由“用配方法可化为（x+m）²＝n”等条件求参数的值． 考点05 用公式法解方程与根的判别式 考点内容：求根公式；根的判别式Δ＝b²－4ac与根的情况；用公式法解方程的一般步骤． 常见考法： ①用公式法解一元二次方程（先化一般式，再算判别式）； ②由判别式的符号判断方程根的情况； ③已知方程根的情况（两个不等实根／两个相等实根／无实根），求参数的取值范围（注意a≠0）． 考点06一元二次方程根的判别式的应用 考点内容：判别式的计算；的符号与根的情况的对应关系；根据根的情况求参数取值范围． 常见考法： ①不解方程，利用判别式判断方程根的情况 ②已知方程有两个不相等的实数根（或有实数根），求参数的取值范围（注意或，以及） ③已知方程没有实数根，求参数的取值范围（） ④判别式与其他知识（如韦达定理、函数）综合考查 易错提醒：当题目说"有实数根"时，要分两种情况讨论——一元二次方程（，）和一元一次方程（）． 考点07一元二次方程根与系数的关系的应用 考点内容：韦达定理，；关于两根的对称式的求值． 常见考法： ①已知方程的两根，求两根之和与两根之积 ②已知一根，利用韦达定理求另一根及参数 ③求关于两根的对称式的值（如、、等） ④已知两根满足某种关系（如互为相反数、互为倒数、一根是另一根的2倍等），求参数的值 易错提醒：使用韦达定理的前提是方程有实数根，即．解题时务必先验证判别式． 考点08 一元二次方程的实际应用 考点内容：列一元二次方程解应用题的一般步骤；增长率、面积、利润等常见模型． 常见考法： ①增长率（降低率）问题：a(1±x)²＝b； ②面积与几何问题：围栏、道路、图形剪拼等； ③利润与销售问题：由单价变化与销售量变化关系列方程； ④解出根后检验是否符合题意，舍去不合题意的根． 1.一元二次方程的基本公式 序号 名称 公式 说明 1 一般形式 （） 为二次项系数，为一次项系数，为常数项 2 求根公式 条件：， 3 根的判别式 两个不等实根；两个相等实根；无实根 4 韦达定理 ； 前提：方程有实数根（） 2.常用变形公式 序号 名称 公式 说明 5 两根平方和 韦达定理的常用变形 6 两根差的平方 即 7 两根差的绝对值 由上式开方得到 8 两根倒数和 条件： 3.应用问题常用公式 序号 名称 公式 说明 9 增长率公式 为基础量，为增长率，为增长次数 10 降低率公式 同上，为降低率 11 握手/循环赛 为人数（或队数） 12 传播模型 每轮每人传人，两轮后总人数 13 黄金比 黄金分割的比值 4.配方法关键步骤 序号 步骤 操作 说明 14 化二次项系数为1 方程两边同除以 前提： 15 移项 常数项移到右边 左边只保留二次项和一次项 16 配方 两边加 "一次项系数一半的平方" 17 写成完全平方 右边化简后开平方求解 辨析01 一元二次方程必须同时满足三个条件，缺一不可 判断一个方程是否是一元二次方程，必须同时满足：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0．四项缺一不可，不要只凭“有平方项”就断定是一元二次方程． 辨析02 一般形式中二次项系数a不能为0，而b、c可为任意实数 为ax2+bx+c＝0（中，只有当a≠0时才是二次方程；若a＝0而b≠0，则变为一元一次方程bx+c＝0．因此一次项系数b、常数项c可以取任意实数（包括0），二次项系数a则必须不等于0． 辨析03一元二次方程定义中""是不可忽略的条件 一元二次方程的一般形式为，其中是定义的核心条件．当时，方程退化为，是一元一次方程而非一元二次方程．在判断一个含参数的方程是否为一元二次方程时，必须同时满足两个条件：①最高次数为2；②二次项系数不等于0． 辨析04 直接开平方法中，等号右边必须是非负数 形如x²＝p（p≥0）或（nx+m）²＝p（p≥0）才可直接开平方；当p＜0时，方程没有实数根，不能直接开平方． 辨析05 用因式分解法前必须把右边化为0，不能“约分” 因式分解法要求方程右边为0、左边分解为两个一次因式的乘积．不能在两边同时除以含未知数的式子，否则可能漏掉该式子等于0的情形而造成失根． 辨析06 配方法加的是“一次项系数一半的平方”，不是“一次项系数的一半” 配方的关键是两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边配成（x+m）²的形式；常见错误是只加“一次项系数的一半”或漏乘系数． 辨析07使用韦达定理前必须验证 韦达定理，成立的前提是方程有实数根，即．很多题目中，利用韦达定理求出参数后，必须回代验证是否成立，否则可能得到不符合题意的"假根"．这是中考中常见的失分点． 辨析08 根的判别式决定根的情况，不要误判为“一个根” 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根（不是说“只有一个根”）；当Δ＜0时，方程没有实数根；当Δ＞0时，有两个不相等的实数根． 辨析09应用题中求出的解必须检验是否符合实际意义 一元二次方程的应用题中，求出的解可能有两个，但并非两个解都符合实际意义．例如求人数、长度、价格等，负数解通常要舍去；求增长率时，解应在合理范围内．解题最后一步必须检验解的合理性． 辨析10 四种解法的选择：先看能否直接开平方或因式分解，再用公式法或配方法 解一元二次方程时，优先考虑直接开平方法和因式分解法（更简便）；若不适合，再用配方法或公式法（公式法是通法，适用范围最广）． 【题型一】一元二次方程的概念判断与参数求解 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东德州·期中）关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（  ） A．2 B．−2 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及二次项系数不为0的条件．代入根后求解参数，并验证二次项系数非零． 由于方程的一个根为0，则将代入可得到关于a的方程．同时，一元二次方程要求二次项系数不为0． 【详解】解：将代入原方程： 则， 化简得， ∴，解得：． 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，； 当时，， 均满足条件． ∴a的值为． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零．注意二次项系数不为零和判别式大于零的条件，解不等式时注意符号变化． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴，即． 判别式． ∵有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴． 综上，且． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零求解即可． 【详解】由题意得：， 解得． 故答案为：． 【题型二】一元二次方程的解法 【例2】（26-27九年级上·全国·单元测试）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)；（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴或， 解得； （2）解： ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （3）解： ， ， ， ， ∴或， 解得； （4）解： ， ， ， ， ∴或， 解得． 【变式2-2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． （2）解：， 两边同时开平方，得， ∴或， ∴，． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用直接开方法解一元二次方程； （2）运用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， 即，； （2）解：， ， 或， ∴，． 【题型三】根的判别式的应用 【例3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，代入得，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)若且k为整数，求方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． （2）解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，由此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 【题型四】根与系数的关系的应用 【例4】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两个根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)65 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）根据，是方程的两个根，得到，，根据多项式的乘法得到，即，求解即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴k的值为； （2）解：原式， 当时，原式， ∴． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容． （1）根据根的判别式得出关于的不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，结合即可求解． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围是； （2）根据根与系数的关系得：，， 该方程有两个实数根，，且， ， 解得，满足题意， 故的值为． 【变式4-3】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 【详解】∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 【题型五】一元二次方程的应用 【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1) (2)套 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，(不符合题意，舍去)， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）解∶(元)， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 【变式5-1】（24-25九年级上·吉林·期中）吉林市承载着“京剧第二故乡”的人文内涵．京剧元素在吉林市文旅产业中也展现出了新的活力．某工厂制作京剧系列人物盲盒进行销售，月份制作该盲盒个，同年月份制作该盲盒个，求该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解增长率的含义并建立出相应的方程．设该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率为，根据题意可列方程，求解方程即可，注意要根据增长率的实际意义对解进行取舍． 【详解】解：设该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）， 答：该工厂月份到月份制作该盲盒数量的月平均增长率为． 【变式5-2】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在一块长32米、宽20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为570平方米，请你求出小路的入口宽度． 【答案】小路的入口宽度为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设小路的入口宽度为x米，根据剩余面积为570平方米，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小路的入口宽度为x米，则 ， 解得：，（舍）， 答：小路的入口宽度为米． 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，王阿姨想要依靠一面墙（墙的最大可利用长度为20米），用34米长的篱笆围成一个矩形菜地（靠墙的一面不用篱笆），当矩形菜地的面积为120平方米时，求的长． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键． 设的长为米，再表示出的长，利用矩形的面积公式列方程，选出符合题意的的值，即可求解 【详解】． 解：设的长为米， 由题意得：， 整理得，， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意． 答：的长为12米． 【题型一】忽略二次项系数不为零的条件 在判断一元二次方程或求参数时，忘记这一隐含条件，导致多解或错解．对于含参数的一元二次方程，求出参数后必须验证二次项系数是否为零．若，方程不再是二次方程，该参数值应舍去． 【例1】（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 即． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，由此确定且，求解m的值. 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得或， 同时，二次项系数，即， ∴. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，可知二次项系数不能为零，据此作答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：B． 【题型二】使用韦达定理时未验证判别式的值大于或等于0 【例2】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）关于的一元二次方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数以及一元二次方程的定义，依题意，一元二次方程有两个不同的实根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 方程 有两个不同的实根， ∴ 且， 其中， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ 故选 C 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 【答案】(1) 证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； (2)7，3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）根据题意，当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，再代入方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根， ∵当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； 【变式2-2】（25-26九年级上·云南保山·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键． 由题意可知，求出k即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1) 证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．              (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】（1）略      （2）解：由根与系数的关系，得．                    ， ，即，解得． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 【变式3-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴方程的根是，. 【变式3-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：原方程可变形为， ． ，或． 即，； （2）解：原方程可变形为， ． ，或． ，； （3）解：可以把常数项移到方程的右边，得． 两边都加一次项系数的一半的平方，得， 即， 两边开平方，得， 即或， 所以，． 【题型四】因式分解法中两边同除含未知数的因式导致丢根 【例4】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 【变式4-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴方程的根是，. 【变式4-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：原方程可变形为， ． ，或． 即，； （2）解：原方程可变形为， ． ，或． ，； （3）解：可以把常数项移到方程的右边，得． 两边都加一次项系数的一半的平方，得， 即， 两边开平方，得， 即或， 所以，． 【变式4-3】关于x的方程，无论k取何值，必有一根为多少？ 【答案】1 【分析】将方程变形为，无论参数取何值，只要令，方程恒成立，即可得出结果． 【详解】解：原方程展开为：， 重新分组：， 方程变为：， ， 无论k取何值，只要令，方程恒成立， ， 所以，方程必有一根为． 【题型五】公式法代入时符号错误 【例5】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ∴ （2）解： 或 ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式5-2】（25-26九年级上·青海西宁·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) , 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法． （1）用公式法，先确定系数再代入求根公式； （2）用因式分解法，先整理方程再分解因式求解． 【详解】（1）解：对于， ，，， ， ， 即，． （2）解：整理，得， 因式分解得， 即， 解得，． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东德州·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 用公式法解一元二次方程； 用分解因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，． 【题型一】判别式与韦达定理的综合应用 【例1】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) 证明：关于的一元二次方程，即， ， ， ，即， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式求解即可； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将其代入可以求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：关于的一元二次方程，即， ，， ， ， 解得或． 【变式1-1】（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程（）的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）由根与系数的关系韦达定理可知，，再利用整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得； （2）解：由韦达定理可知，， ∵， ， 解得． 【变式1-2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若，是一元二次方程的两根，则有，，由此可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若，是方程的两根，记，，，． (1)求： ； ．（直接写出所求数值） (2)当为不小于的整数时，求证：； (3)利用（2）中所证明的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) 证明：，是方程的根， ，， (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． （1）根据根与系数的关系，写出，的值，然后运用完全平方公式进行计算，求出，的值； （2）由，是方程的根，得到，进行证明； （3）根据（1）中的结论得到：． 【详解】（1）解：，是方程的两根， ，， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：由（1）（2）有：． 【变式1-3】（22-23九年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，矩形的面积，是解决问题的关键． （1）根据方程有两个实数根可知，方程的根的判别式大于或等于0，列不等式求解即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于k的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程（k为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为；． （2）∵方程的两个实数根是一个矩形的一组邻边的长， 且矩形的面积为8， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴． ∴k的值为． 【题型二】一元二次方程与几何图形的综合 【例2】（2025·云南昆明·二模）如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）公元世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为的正方形，再分别以，为一条边作邻边长为的矩形和矩形，最后得到面积为的正方形．则能列出关于的一元二次方程是______．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程和列方程，能根据题意列出方程是解此题的关键．根据正方形的面积得出方程，再整理即可． 【详解】解：∵四边形是面积为的正方形， ∴， 整理得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设页边距为，由题意得：，即可求解； 【详解】解：设页边距为， 由题意得：， 解得：（舍去）， ∴页边距为 【变式2-3】（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； （2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 【题型三】一元二次方程实际应用中的营销与方案问题 【例3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 【答案】售价应降低元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设售价应降低m元，则每天的销量为个，然后根据题意列一元二次方程求解并取符合题意的解即可． 【详解】解：设售价应降低m元，则每天的销量为个， 根据题意得：，解得：， ∵为了让游客尽可能得到优惠， ∴，即售价应降低元． 答：售价应降低元． 【变式3-1】（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． (1)若销售单价为每件55元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品售价应为多少元？ (3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】(1)1350元 (2)60元 (3) 解：设每件工艺品售价为x元，则销售量为(200-2x)件， 由题意得方程：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数解． 答：利润不能达到2000元． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及销售利润的计算和方程求解，理解题意、正确列出方程是关键． （1）直接计算销售单价为55元时的利润，利用利润公式； （2）设售价为x元，根据利润公式列方程求解，并考虑售价范围； （3）列方程判断利润能否达到2000元，通过判别式判断方程是否有解． 【详解】（1）解：销售单价为55元，比50元提高5元，销售量减少（件），销售量为（件）； 利润为（元）； 答：每天的销售利润为1350元； （2）解：设每件工艺品售价为x元，则销售量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵销售单价不得超过65元， ∴不符合题意，舍去， 答：每件工艺品售价应为60元； （3）略 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1)20% (2)38元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期中）元旦期间，某商场礼品柜台购进大量的生肖饰品进行销售，已知每件生肖饰品的进价为8元，当销售价定为20元时，平均每天可售出 300件，为尽快减少库存，商场决定降价销售．调查发现，当销售价每降低 1元时，平均每天就可以多售出50件． (1)若商场要想使这种生肖饰品的销售利润平均每天达到4000元，则该生肖饰品的售价应定为多少元? (2)要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为多少? 【答案】(1)该生肖饰品的售价应定为16元 (2)售价应定为17元 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）设该生肖饰品每件应降价元，根据每件的利润销售量列出方程，解方程即可； （2）设该生肖饰品每件应降价元，获得利润为元，根据每件的利润销售量总利润列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设该生肖饰品每件应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， ∵为尽快减少库存， ， 此时， ∴每件该生肖饰品的售价为16元； （2）解：设该生肖饰品每件应降价x元，获得利润为元， ， ， ∴当时，最大， 此时（元）， ∴要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为17元． 技巧 一句话要点 判断是否为一元二次方程——“三条件检查法” 整式、一个未知数、最高次数为2，且二次项系数≠0，缺一不可。 识别一般形式与各项系数——“按幂排列法” 先移项化为ax²+bx+c=0，再对照确定a、b、c（注意符号）。 判断是否为方程的根——“代入检验法” 把数代入原方程，看左右两边是否相等。 由方程的根求参数——“代回方程法” 把根代入方程得关于参数的方程，解出参数（含参时注意a≠0）。 解方程方法选择——“先看结构法” 先看能否直接开平方或因式分解，不行再用公式法或配方法。 直接开平方法——“先化平方，再看非负” 化成x²=p或（nx+m）²=p（p≥0），再开平方；p＜0无实根。 因式分解法——“一边为零，因式相乘” 先把一边化为0，再分解因式，令每个因式为0。 配方法——“二次化1，加半平方” 二次项系数化为1，两边加“一次项系数一半的平方”。 公式法——“先化一般，再算判别式” 化为一般式确定a、b、c，先算Δ=b²-4ac，Δ≥0再代入求根公式。 根的判别式判断根的情况 Δ＞0两不等实根；Δ＝0两相等实根；Δ＜0无实根。 含参问题——“代回检验” 由根的情况求参数后，代回方程检验是否满足a≠0及题意。 实际应用题——“审设列解检验答” 设元、列方程、解根后必须检验根是否符合题意，舍去不合题意的根。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $