第21章 一元二次方程综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

数学（华师版）九年级上 望综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.关于x的方程(x2-5x+6)2-3(x2-5x+6)+2=0的解为 () A.1或2 B. 5±√5 C.4或1 D.4或1或，5 2.如图，将边长为2cm的正方形ABCD,沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向 平移，得到△A'B'C.若两个三角形重叠部分的面积为0.8cm2,则它移动的距离AA'为 A.1+5 cm 5 B55 5 m或tm R (第2题) C 5-√5 D.1 cm 3.设关于x的方程ax2十(a十2)x+}0=0有两个不相等的实数根x1x,且x1<1<x, 那么实数a的取值范围是 () A.ag &-1ag C.a>-1 D8<a<0 4.已知多项式M=x2一3x一2，N=x2一ax十3.有下列说法：①若M=0,则代数式 13x x2-3x-1 的值为9，@当a=-3时，代数式M-N的城小值为一14：③当a=3时， M2N+2+M-2N+15=13,则x的取值范围是二3x<2,其中，正确的 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.已知(x-2024)2+(x-2026)2=40,则(x-2025)2的值是 6.若关于x的一元二次方程(m一2)x2+(2m十1)x十m一2=0有实数根，则m的取值范 围是 7.阅读理解： 材料：我们已经学习了“二次根式”和“乘法公式”，可以发现：当a>0,b>0时，有(a一 √6)2=a一2ab+b≥0，∴.a+b≥2√ab,当且仅当a=b时取等号. 12 第21章一元二次方程 根据这一结论，我们可以推出：当>0时，x十1≥2x· 1 =2,即当x>0时，x十的 最小值是2（当且仅当x=1时取得最小值2）. 根据上述结论和范例，请你解决下面的问题： 0 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB、△COD B 的面积分别为9和16，则四边形ABCD面积的最小值是 (第7题) 8.若(m2一2m)xm-2一mx-3=0是关于x的一元二次方程，求m的值. 9.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=9cm,BC=12cm,若点P从点A沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出 发，点Q到达点C时，两点均停止移动， (1)出发几秒后，△PBQ的面积为18cm? (2)出发几秒后，线段PQ的长为√65cm? (3)△PBQ的面积能否为22cm?若能，求出移动时间；若不能，请说明理由. B (第9题) 13 数学（华师版）九年级上 10.定义：已知x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两个实数根，若 x1<x2<0,且3<<4，则称这个方程为“立格方程”.如：一元二次方程x2+21x十 80-0的两根为，=-16，=-5，由于-16<-5<0,3<二6<4，故-元二次方程 x2+21x十80=0为“立格方程”. 请解答下列问题： (1)判断一元二次方程x2+17x+52=0是否为“立格方程”，并说明理由. (2)若关于x的一元二次方程x2十(3k一3)x十2一2=0是“立格方程”，且两根x1、x2 满足x1十x2一x1x2=-23,求k的值. (3)已知关于x的一元二次方程x2+(1一m)x一m=0是“立格方程”，求m的取值 范围. 14[a+1)(b+2)]m2,.2=(a+1)(6+2),b=a 2=a+1(倍+2).a-含+22x+(2- s)a+s=0.有且只有一个a的值，∴.△=b2-4ac (2-s)2-8s=0.s2-12s+4=0,解得51=6+4√2， 52=6-42(舍去). 62或4由题意，知点Q只能在点M的左侧.：以P、 Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，AD∥BC, ∴.PN=QM.①当点P在点N的左侧时，由20-(x+ 3x)=20-(2x十x2),整理，得x2-2x=0,解得x1=0(舍 去)，x2=2..当x=2时，四边形PQMN是平行四边形. ②当点P在点N的右侧时，由20-(x+3x)=(2x+ x2)一20，整理，得x2十6x-40=0,解得x3=-10(舍去)， x1=4.∴.当x=4时，四边形NQMP是平行四边形.∴当 x=2或x=4时，以P、QM、N为顶点的四边形是平行四 边形. 思路导引 分情况讨论 点P在点N左侧 点P在点N右侧 PN=[20-(2.x+x)]cm PN=[(2x+x)-20]cm QM=[20-(x+3x)]cm QM=[20-(x+3x)]cm PN=QM PN=OM x的值 x的值 [综合素养提升] ①D令y=x2一5.x十6，则原方程可化为y2-3y+2= 0,解得y=1或2.当y=1时，x2-5x+6=1,解得x= 5)5,当y=2时，x-5x+6=2,解得x=4或1，综上所 述，原方程的架为x=4或1或 ②B如图，设A'C'与DC交于点E,AA'=xcm,则 A'D=(2-x)cm.:四边形ABCD是正方形，.AB∥ CD,∠BAC=45°，∠D=90°.由平移的性质，得AC∥ A'C',AB∥A'B',∠B'A'C=∠BAC=45°，.A'B'CD. ∴.重叠部分为平行四边形，∠DEA'=∠B'A'C'=45° ∴.△A'DE是等腰直角三角形..DE=A'D=(2 x)cm.∴.CE=2-(2-x)=x(cm).:两个三角形重叠部 附：答案与解析 分的面积为0.8cm2.r(2-x)=0.8,解得=5-=5 51 X2= 5。它移威的距商A为m或 5+5 5 cm. B B' (第2题) ③D,方程有两个不相等的实数根，∴.a≠0且△>0. 由a+22-aXa=a+4>0,解得a>-1.:,十 x2--十2 2=又：x<1<-1<0, x2-1>0,则(x1-1)(x2-1)<0..x1x2-(x1十x2)+ 1<0,即++1<0一8<a<0a的取值范 a 围是-<<0 0A0M=0,x2-3x-2=0,解得x=3计7 2 或-31ax918正：r-3x-2-0, 2 -3x-1=1.“189生8亚故 13x ①错误，不符合题意.②当a=-3时，M一N=(x2-3x一 2)-(x2+3x+3)=-6a-5,∴.M-N没有最小值.故② 错误，不符合题意.③当a=3时，N=x2-3x十3，∴.M 2N+2=x2-3x-2-2(x2-3+3)+2=-x2+3x 6=-(-多)°-号，M-2N+15=-2+3x+7= -(e-号)°+：1M-2N+21+1M-2N+151= 13.-(-)》-9+-(-)‘+=1a “易知一（女一）在数轴上对应的点在-平和只所对 应的点之间（包含这两点·一平<-（女一》<只 又：-(-)》<0-￥≤-(-)≤0曲 -(k-)≥-平易润2<3计y厘放③指 39 数学（华师版）九年级上 误，不符合题意.综上所述，正确的有0个 ⑤19设y=x-2025,则x-2024=y+1,x-2026= y-1.∴.(y+1)2+(y-1)2=40,整理，得2y2+2=40. .y2=19,即(x-2025)2=19. Om≥子且m≠2：关于x的一元二次方程(m 2)x2+(2m十1)x十m-2=0有实数根， m-2≠0， m≠2， 即 解得m≥ (2m+1)2一4(m-2)2≥0,4m-3≥0， 子且m≠2：m的取值范围是m≥且n≠2. ⑦49设S△A0n=x(x>0).由条件可知S△AoB: SAA0n=B0:OD=S△me:S△c0n,:'SAAOB=9,S△con= 169:z=56m:16.SAc=145a7话m S△0m+SAm十SAmc+SAAm=9+16+14+Z=25+ 14+.4+x≥2 144 ·x=24,.S四边无A0D≥ 25+24=49.∴.四边形ABCD面积的最小值为49. ⑧由题意，得|m-2-2且m2-2m≠0，解得m=4.∴.m 的值为4. t9, ⑨设移动时间为ts(t>0).由题意，得{ .0<t≤ 2t12, 6.(1)由题意，得PB=(9-t)cm,BQ=2tcm.2(9- t)×2t=18,整理，得t2-9t+18=0,解得t,=3,t2=6. ∴.出发3s或6s后，△PBQ的面积为18cm.(2)根据 题意，得(9-t)2+(2t)2=(√65)2，整理，得5t2-18t+ 16=0,解得，=4=2.出发s或2s后，线段PQ 的长为v√65cm.(3)不能.理由：假设能.根据题意，得 2(0-)×21=2,整理，得r-90十2=0，：4 (-9)2一4×1×22=一7<0，∴.该方程无实数根.∴.假设 不成立，即△PBQ的面积不能为22cm. ⑩(1)x2+17x十52=0是“立格方程”.理由：解x2+ 17x+52=0,得x1=-13,x2=一4，.-13<一40,3< 二只<4+17x+52-0是立格方程？、(2)向题 意，得x1+x2=-(3k-3)=3-3k,x1x2=k2-2. x1十x2-x1x2=-23,.3-3k-(k2-2)=-23.整 40 理，得k2+3k一28=0，解得k,=4,k2=一7.当k=4时，原 方程为x2十9x十14=0，解得x1=一7，x2=一2. :-7K-2×0,且3号<4+8x+14=0是立 格方程”.当k=一7时，原方程为x2一24x十47=0，此时 x1十x2=24>0,x1x2=47>0,不满足x1<x2<0,舍去. ∴.k的值为4.(3)x2+(1-m)x一m=0,∴.(x十1)· (x-m)=0..x+1=0或x-m=0..x1=-1,x2=m 或x,=m,x2=一1.一元二次方程x2+(1一m)x- m=0是“立格方程”，∴.m<0且m≠一1.分类讨论：①当 x1=-1,x2=m时，：x1<x2<0,.-1<m<0.3< 头<1-号<m<-子@当，=m=-1时， :x1<x2<0,m<-1<0.3<2<4,3<-m< .2 4“一4<m<-3.综上所述，m的取值范围是-3 n<-寻或-4长m<-3. 第22章 图形的相似 [高频考点突破] ①：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD= BC.△AFE∽△CFB. SAAFE- SACFB FC=13,令△匹=AF=1S△世》 三 CF )- 1 :△BFC的面积为9，SAAF=9 SACPH=1,SAMe= 3 SAcm=3.SAACD=SAAC=S△Rp十SAAFR=12. S四边无CEr=S△AcD一S△Ar=12-1=11. O④由旋转，得AD=DE.:∠BFD=∠AFE,当 ∠EAF=∠DBF时，EA∥BD,此时AD<AE,与条件不 符，∴.当△AFE与△DFB相似时，只有△AEFn△DBF. ∠AEF-∠AC能-票即部-E如因，连结 BE.∠BFE=∠DFA,∴.△DAFP△BEF.:'∠AEF= ∠ABC,AB=AC,AD=DE,∴.△ABC和△ADE是底角 相等的等腰三角形.∴.△ABCD△DAE.∴.∠ADE= ∠BAC.I'△DAF∽△BEF..∠ADE=∠ABE. ∴.∠BAC=∠ABE.∴.BEAC.AB=AC,AD⊥BC,