专题特训3 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的综合-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第21章一元二次方程 专题特训三一元二次方程根的判别式 和根与系数的关系的综合 类型一综合运用根与系数的关系及根的判别式解决参数问题 1.已知关于x的一元二次方程x+(2k+3)x十k2-0有两个不相等的实数根1、x,若】+ 一1，则k的值是 () A.3 B.-1 C.3或-1 D.1 2.[2024南阳淅川期末]已知x1x2是关于x的方程2x2+k.x一2=0的两个实数根，且(x1一2)· (x2-2)=10,则k的值为 3.已知关于x的一元二次方程x2-4x+(m一1)=0有实数根. (1)求m的取值范围. (2)若该方程的一个根为2一√5，求该方程的另一个根及m的值. 4.已知关于x的方程x2一2x十m一2=0有两个实数根x1、x2.求： (1)m的取值范围， (2)3x1十3x2一x1x2的最小值 5.已知关于x的一元二次方程x2十m.x+m一2=0. (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. (2)设该方程的两个实数根为x1、x2,若x十x2十m(x1十x2)=m2十1，求m的值 27 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 类型二运用根与系数的关系及根的判别式解决几何图形问题 6.已知矩形ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的方程x2一2mx+1=0的两个实数根，则m 的值为 () A.1 B.-1 C.±1 D.0 7.已知关于x的一元二次方程2x2-(2k十1)x+22=0(k为常数)有两个实数根， (1)求k的取值范围， (2)若该方程的两个实数根x1、x2是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为8，求k的值. 8.已知关于x的一元二次方程x2一(2k十1)x十k2十k=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根， (2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且∠BAC=90°，BC=5,求 k的值 9.已知关于x的一元二次方程x-2mx十，2-0，其中mn分别是等腰三角形ABC的腰长和底 边长 (1)求证：这个方程有两个不相等的实数根. (2)若方程的两个实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形ABC的面积是16，求m、n的值. 28 >“答案与解析”见P14系，得am十B.=一2(1≤n≤2018且n为正整数)，am· Bn=-m2-m=-m(m+1).当m=1、2、3、…、2018时， a1+B1=-2,a1B1=-1X2;a2+B2=-2,a2B2=-2X 3;…a2018十B2018=-2,a2018P2018=-2018X2019..原 式=at是+：t是+at8十…+gas十Ba= a1B1 a2β2 Q月 a2018P2018 2+2克g+3最+…+208220=2x(1-号+ 2 2 11 1 b3天3-日+…+20820=2X1 2d）-488 11.①③对于方程x2一bx一c=0(bc≠0)，有两个不相 等的实数根x1、x2(x1<x2),由根与系数的关系，得x1十 x2=b,1x=一c,对于方程bm十c=0,解得x=一方， 2 ∴.x3= x1十x2 x1x2一x1(x1十x2）_一x12 x1十x2 x1十2x23一x2= x1十x2 一x2= x-x2十2=二2：.分情况讨论当x,<,<0 x1十x2 x1十x2 时，x1十x2<0,则x3-x1>0,x3一x2>0,.x1<x2< x3,结论①正确.当0<x1<x2时，x1十x2>0,则x3 x1<0,xg一x2<0,.x3<x1<x2,结论③正确.当x,< 0<x2时，若|x,|>|x2|,则x1+x2<0,xg一x1>0,xg x2>0,∴x1<x2<x3,结论①正确.若|x1|<|x2|,则 x1十x2>0,x3一x1<0,xg一x2<0,.x3<x1<x2,结论 ③正确.综上所述，所有可能正确的结论是①③， 12.(1),关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18= 0有两个正整数根(m是正整数)，a=m2一1，b=一9m十 3,c=18,∴.b2-4ac=(-9m+3)2-72(m2-1)=9(m- 3)2≥0.设x1、x2是此方程的两个根，.x1·x2= 8÷8也是正整数即m-1=1或2成3或 18 6或9或18.又：m为正整数，∴.m=2.(2)把m=2代 入两等式，化简得a2一4a十2=0，b2-4b十2=0.当a=b 时，a=b=2士√2.当a≠b时，a、b是方程x2-4x十2=0 的两根，而△>0，∴.a十b=4>0,ab=2>0,则a>0、b> 0.①当a≠b,c=23时，a2+b2=(a+b)2-2ab= 16-4=12=c2,∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90° Sa=2b=1.②当a=b=2-E,c=25时， 2(2一√2)<23，∴.不能构成三角形，不合题意，舍去. ③当a=b=2+√2，c=23时，：2(2+√2)>23，.能 1 构成三角形，·易得Se=之×23X3+4瓦 √9+12√2.综上所述，△ABC的面积为1或/9+12√2. 13.由方程3a2-3(a十b)x十4ab=0的两个实数根分别 为ew,可知a+ga+6,og=号ab.“aa十1D+8g+ 1)=(a+1)(8+1),∴.(a+B)2-3a8=1.把a+B=a+b, g-言ab代人，得(a十bP-46=1,即a-b)-1 ∴.a-b=±1.由题意，可得△=[-3(a十b)]2-4×3X 4ab≥0，∴.3(a+b)2≥16ab..(a+b)2-4ab=1,即 4ab=(a+b)2-1,∴.3(a+b)2≥4(a+b)2-4,即(a+ b)2≤4.∴.-2≤a十b≤2.当a-b=1,即a=1+b时，则 有-21+2b≤2，解得-<b<.:a,6为整数a 1十b,∴.当b=-1时，a=0:当b=0时，a=1.当a一 6=-1,即a=6-1时，则有-2<26-1<2，解得-号< 6≤号：a,6为整数a=6-1,当6=0时，a=-1;当 b=1时，a=0.综上所述，(a,b)的所有整数对有(0，一1)、 (1,0)、(-1,0)、(0,1). 专题特训三一元二次方程根的判别式 和根与系数的关系的综合 1.A 思路导引 x+(2k+3)x+k-0 4>0 k>是 有两个不相等的 实数根xx x+x,=-(2k+3) 七x2h +比】 x=一1 -2k3=-1 k-3 3 k>一4 2.7△=k2-4×2×(-2)=k2+16>0.:x1、x2是方 k 程2x2+kx-2=0的两个实数根，x1十x2=一2，x1· x2=-1.∴.(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1十x2)+4= -1-2×(-令）+4=10，解得k=7. 4 3.(1)'关于x的一元二次方程x2-4x十(m-1)=0有 实数根，∴.△=（一4）2-4×1×(m一1)≥0，解得m≤5，即 m的取值范围是m≤5.(2)设该方程的另一个根为x2, 则(2-√5)十x2=4,解得x2=2+5.(2-5)(2+ √5)=m-1,∴.一1=m一1，解得m=0.∴.该方程的另一 个根是2十√5，m的值是0. 4.(1)根据题意，得△=(-2)2一4(m一2)≥0，解得m≤ 3.(2)根据题意，得x1十x2=2,x1x2=m一2，∴.3x1十 3x2一x1x2=3(x1十x2）-x1x2=6-(m-2)=-m+8. m≤3，∴.当m=3时，3x1十3.x2一x1x2的值最小，最小 值为-3+8=5. 5.(1)△=m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+ 4>0,∴.无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实 数根.(2)由根与系数的关系，得x,十x2=一m,x1x2= m-2.x十x2十m(x1十x2)=m2十1，∴.(x1+x2)2 2x1x2+m(x1+x2)=m2+1..∴.m2-2(m-2)-m2= m2+1.整理，得m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1. 6.A四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD.AC、BD 的长是关于x的方程x2一2m.x+1=0的两个实数根， ∴.方程x2一2mx十1=0有两个相等的实数根.∴.△= (一2m)2一4×1×1=0，即4m2一4=0，解得m=士1. AC=BD>0,即AC+BD=2m>0,∴.m>0.∴.m=1. 7.(1):关于x的一元二次方程2x2-(2k十1)x十 2k2=0(k为常数)有两个实数根，∴.△=[一(2k+1)门 4X2×2≥0，解得≥-子“k的取值范围是≥ -子(2)：方程2x-(2k+1Dx+2k=0的两个实 数根x1、x2是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为 8x1·x2= 2k2 =4k2=8,解得k,=√2，k2=-√2. 1 :k≥-子…6=厄 8.(1).△=[-(2k+1)]2一4(k2+k)=4k2+4k+1- 4k2一4=1>0，∴.方程有两个不相等的实数根 (2):'△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实 数根，∴.AB十AC=2k+1,AB·AC=+k.∠BAC 90°，BC=5,∴.AB+AC2=52,即(AB+AC)2-2AB· AC=25.∴.(2k+1)2-2(k2+k)=25,解得k1=-4,k2= 3.当k=一4时，AB+AC=2×(一4)+1=-7，不合题意， 舍去；当k=3时，AB十AC=2×3+1=7,符合题意.∴.k 的值为3. 9.(1),'m、n分别是等腰三角形ABC的腰长和底边长， .2m>n,且m>0,n>0..4m2>n2.又b2-4ac= (-2m)2-4X1×子n2=4m2-n2,6-4ac>0..这 个方程有两个不相等的实数根.(2)设x1、x2是方程的 两个实数根.由题意，得引x1一x2|=8.(x1一x2)2=64. .(x1十x2)2一4x1x2=64.由根与系数的关系，得x1十 0(2m)P-4×号2=64，即 1 x2=2m,x1x2= √m-一子=4设等腰三角无ABC底边上的高为A.根 据题意，由勾股定理易得h=√m一子=4.：Sm 2nh=号X4=16n=8(2m)2-4X是×8= 1 64,解得m1=4√2，m2=一4W2.当m=一4√2时，x1十 x2=2m=-8√2，不合题意，舍去.∴.m=4√2，n=8. 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 1.D由题意，得(52-2x)(28-2x)=640,整理，得x2- 40x十204=0，解得x1=34(不合题意，舍去)，x2=6.∴.道 路的宽是6m 25设BC的长为xm,则AB的长为2(10+1-x)m 根据题意，得2(10十1一x)x=15,解得x1=5,x2=6(不 合题意，舍去)..BC的长为5m. 3.(1)10÷2=5(s).设运动时间为t(0≤t≤5)s,则AP= 2tcm,BQ=tcm,PB=(10-2t)cm,CQ=(8-t)cm.根据 题意，得√AD2十AP2=2√PB2+BQ,整理得t一 10t十21=0，解得t1=3,t2=7.经检验，t,=3,t2=7均为 所列方程的解，t1=3符合题意，t2=7不符合题意，舍去. ∴出发3s时，点P、D之间的距离是点P、Q之间的距离 的2倍.(2)不存在.理由：假设存在，设此时运动时间为 x根据题意，得10X8-专×8·2x-号·(10-2)· ×10·(8-x)=16,整理，得x2-8x+24=0, x-2 :△=（一8）2一4×1×24=一32<0，.原方程没有实数