学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷·提升卷（新教材北师大版，范围：九上第1～4章）

11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 17.________________ 14. __________________ 18. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（7分） 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11 12 13. S 16. 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) A B 图1 图2 图3 21.(8分) P al D 22.(8分) A D O 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) D G 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D 图1 图2 图3 26.(10分) B F 图1 图2 B H D 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（本题3分）将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图：是从物体正上方向下看得到的视图，依次判断各选项即可． 【详解】解：以俯视图的视角，正方体截去一个角，从上往下看，外轮廓依旧是正方形， 切割留下的那条棱可以看到，即为正方体上表面从左下角到右上角的对角线， ：外轮廓不是正方形，不符合题意； ：对角线方向错误，不符合题意； ：外轮廓是正方形，实线对角线是从左下角到右上角的对角线，符合题意． 2．（本题3分）下列描述正确的是（   ） A．对角线垂直的四边形一定是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，平行投影，黄金分割，以及成比例线段等知识． 选项A错误，因为对角线垂直的四边形不一定是菱形；选项B错误，因为灯光是点光源，影子是中心投影；选项C错误，存在两种情况；选项D正确，基于平行线分线段成比例定理． 【详解】解：A：∵对角线垂直的四边形不一定是菱形（如筝形），∴A错误； B：∵灯光是点光源，影子是中心投影，不是平行投影，∴B错误； C：∵点C是线段的黄金分割点，，∴或，∴C错误； D：∵两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（平行线分线段成比例定理），∴D正确； 故选：D． 3．（本题3分）如图，在纸片中，，．将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：如图： 图①中，∵， ∴相似； 图②中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确． 故选：C． 4．（本题3分）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据比例的性质求出，根据平行线分线段成比例得出，则可求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（本题3分）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（    ） A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4 【答案】D 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：D． 6．（本题3分）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是3和2， ∴，即， 又∵小明写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和， ∴， ∴原来的方程是． 故选：D． 7．（本题3分）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】根据新定义，得，转化成一元二次方程，利用根的判别式判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴变形为， ∴△＝ ＝＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选C． 8．（本题3分）如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．设，则，利用勾股定理求得，再证明，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则，记与交于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 9．（本题3分）关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根， ∴一元二次方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故A、B、C正确，不符合题意； ∵，故D错误，符合题意； 故选：D． 10．（本题3分）如图，在矩形中，，点为的中点，连接，平分角交于点，连接DF交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质． 过点F作于点Q，交于点P，先求出，再证明四边形是矩形得，，再证明，设，则，证明和相似，利用相似三角形性质得，则，然后证明和相似得，设，则，由此解得得，再根据即可得出答案． 【详解】解：过点F作于点Q，交于点P，如图所示： ∴， 在矩形中， ， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分角交于点F， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 【答案】80 【分析】本题考查直四棱柱侧面积的计算，掌握先由三视图确定底面菱形的边长，再利用侧面积公式计算是解题的关键． 先根据三视图确定直四棱柱的底面菱形的边长，再结合直四棱柱的高，计算侧面积． 【详解】解：由主视图、左视图和俯视图可知，底面菱形的对角线长分别为和， 根据菱形的性质，边长为， 直四棱柱的高为，侧面积为底面周长乘以高，即． 故答案为：80． 12．（本题3分）若，则___________． 【答案】36 【分析】本题考查了比例问题． 根据比例关系，将a、c、e用b、d、f表示，然后代入所求表达式． 【详解】解：由，得，，， 所以． 故答案为：36． 13．（本题3分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 所以 ． 故答案为：7． 14．（本题3分）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则_____． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，作交的延长线于点，证明，求出的值，证明，得到，即可． 【详解】解：作交的延长线于点， 则：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（本题3分）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 17．（本题3分）如图，线段是菱形的对角线，，点分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点的对应点始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为_______． 【答案】或 【分析】连接与交于点，根据四边形是菱形，，得出，勾股定理求出，根据折叠得出，设，则，分两种情况：当时，如图，证明，列方程求解即可；当时，如图，证明，列方程求解即可； 【详解】解：连接与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点的对应点始终落在上， ∴， 设， 则， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 综上，当为直角三角形时，线段的长为或． 故答案为：或． 18．（本题3分）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中， 则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是______________． 【答案】；或；或； 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键在于分情况求解．结合题意作出图形，分两种情况分析，利用相似求出相应的边长即可． 【详解】解：如图所示矩形， 设, ∵， ∴， 显然， ∴， ∴， ， 即， ， ， ， 如图所示矩形， 设, ∵， ∴， 显然， ∴， ∴， ， ， ， ； 如图所示矩形， 则剪掉的两个直角三角形的斜边长为； ∴剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是；或；或；． 故答案为：；或；或；． 三、解答题（共66分） 19．（本题7分）解方程 (1)；（配方法） (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择方法是关键． （1）利用配方法变形为，得到，即可求出方程的解； （2）把原方程利用因式分解变形为，得到或，即可求出方程的解． 【详解】（1）解： ∴， 则， ∴， 解得 （2） ， 则， 即 则或， 解得． 20．（本题7分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； (3) 解：如图所示，则点F即为所求作的点． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出，使； （2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出； （3）取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． 【详解】（1）略 （2） （3）解：如图所示，取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（本题8分）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2) 解：如图所示，即为所求； ； (3)小亮的影长是． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接并延长交直线于点E，则线段即为小亮站在处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）略 （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 22．（本题8分）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴互相平分， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得的长，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：四边形为菱形， ∴四边形的面积为． 23．（本题8分）如图，为直角三角形，，D为中点，过A作，使得，连接交于F，连接交于G． (1)求证：F是的三等分点； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴F是的三等分点； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，得到，进而推出，即可得出结果； （2）取的中点，连接，得到，进而得到，证明，列出比例式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接， ∵D为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（本题8分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)不是邻根方程 (2)或 (3)t的最大值为0 【分析】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． （1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出最大值； 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ，不符合邻根方程的定义， 不是邻根方程； （2）解：由题意得， 解得， 关于的方程是邻根方程， ∴， 解得， 故或； （3）解：关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ， 由根与系数的关系：， ， ， ， ， 当时，； ∴的最大值为0． 25．（本题10分）（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：． （2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接． ①[思考探究]如图2，当时，求的长． ②[拓展延伸]如图3，当时，求的长． 【答案】 （1）证明∵， ∴， ∴， ∴． （2）①．② 【分析】（1）证明，即可得证； （2）①取中点F，连接，则为的中位线，证明，得到，列式计算即可； ②取中点，连接，过点E作，垂足为G，证明，得到，进行计算即可． 【详解】（1） 略 （2）①取中点F，连接， ∵， ∴，， ∵E为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴ 解得，（舍去）， ∴． ②取中点，连接，过点E作，垂足为G，设， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，． ∴， 解得，（舍去）． ∴． 26．（本题10分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】问题发现：； 拓展探究：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题：或 【分析】问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点在线段上”和“点在线段延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又 ， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究：略 解决问题 解：①如图3，当点在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 2．下列描述正确的是（   ） A．对角线垂直的四边形一定是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 3．（新考法）如图，在纸片中，，．将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 4．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（    ） A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4 6．（情境题）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 7．（热点题）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 8．如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，点为的中点，连接，平分角交于点，连接DF交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 12．若，则___________． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 14．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm． 15．如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则_____． 16．（新考法）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 17．如图，线段是菱形的对角线，，点分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点的对应点始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为_______． 18．（新考法）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中， 则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是______________． 三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分。 19．解方程 (1)；（配方法） (2) 20．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 21．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 22．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 23．如图，为直角三角形，，D为中点，过A作，使得，连接交于F，连接交于G． (1)求证：F是的三等分点； (2)若，求的长． 24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 25．（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：． （2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接． ①[思考探究]如图2，当时，求的长． ②[拓展延伸]如图3，当时，求的长． 26．综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 6 1 P 9 10 C D B D D C A D C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.80 12.36 13.7 10 14. 3 15 16.①②③ 109 185:空0：156：7 三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分。 19.(7分) 【详解】(1)解：4y2-8y+1=0 ∴.4y-8y=-1, y-2y-子 y2-2y+-1f=子+-1 y星 y1* 2 3 解得y1=1+ 2,y12 3分) (2)(3x-2)2=(x+4)1 (3x-2)2-(x+4)2=0, 则l(3x-2)+(x+4)l(3x-2)-(x+4)=0, 即4x+22x-6=0 则4x+2=0或2x-6=0, 解得X=方X=3.7分) 20.(7分) 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解：如图所示，△OBC即为所求；(2分) (2)(4分) 解：如图所示，△ODE即为所求： (3)解：如图所示，取格点P,Q,连接PQ,交AO于点F,则点F即为所求作的点. .△AQF-△OP℉， .AE_AQ=3.(7分) FO OP B 21.(8分) 【详解】(1)解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短： 故答案为：变短：(2分) (2)解：如图所示，BE即为所求；(4分) A (3)解：如图， 2/10 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D、F 777777777 77777777 777777 先设0P=x,则当0B=3.2m时，BE=1.6m, .AB_BE ·oPOE 即265 x3.2+1.6 .X=4.8米： 当OD=6米时，设小亮的影长是y米， .DF _CD DF+OD OP :义=1.6 6+y4.8 y=3 即小亮的影长是3m.(8分) 22.(8分) 【详解】(1)证明：，EO是线段BC的垂直平分线， ∴，BE=CE,OB=OC,EF⊥BC, CF=BE, ..CE=CF, 在Rt△COE和Rt△COF中， CE=CF OC=OC .Rt△COE△Rt COFHL, ∴.OE=OF, :.BC,EF互相平分， .四边形BECF为平行四边形， 又BE=CE, ∴.四边形BECF为菱形.(4分) (2)解：，在口ABCD中，AD=12, ..BC=AD=12 EO是线段BC的垂直平分线， 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0B=0C=号BC=6,EF1BC ,CE=8, 在Rt△C0E中，0E=VCE2-0C-2y7 由(1)已证：四边形BECF为菱形， “四边形BECF的面积为2SBcE=2×BC0E=2x号×12x2V7-247.(8分) 2 23.(8分) 【详解】(1)证明：，AE‖BC, ∴.△AFE一△BFC, AF AE BFBC' AE-BC, .AF_1 BF2 ∴.BF=2AF, ∴.AB=BF+AF=3AF, :.F是AB的三等分点；(4分) (2)解：取CE的中点H,连接DH, H-AD B D为AC中点， .DH AE,DH-AE, AE I BC.AE-BC, DH BC.DH-BC. 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.△DHG一△BCG, DG_DH_1 BG BC 4 DG-专BD. .AC=10,BC=6,∠ACB=90°， .CD=AC=-5, BD-VCD+BC2-61' DG-B- 61 (8分) 24.(8分) 【详解】(1)解：由题意得，x2-x-6=0 x-3x+2=0 解得x1=3,X2=-2, .X1-X2=5≠1，不符合邻根方程的定义， ∴.x2-x-6=0不是邻根方程：(2分) (2)解：由题意得，X2-m-1x-m=0 x-m川x+1=0 解得x1=m,X2=-1, :关于x的方程x2-m-1x-m=0是邻根方程， x1-x2=1 m--1=1 m+1=1 .m+1=±1， 解得m1=0,m2=-2, 故m=0或m=-2;(5分) (3)解：，关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0)是“邻根方程”，设两个根分别为X1、X2 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .x1-x2=1' 由根与系数的关系：X+X,一片XX片 .x1-x2 =/x1+x22-4x1x2 =1, .b2-4a=1 …a☑ ∴.b2=a2+4a, ∴.t=8a-4-b2 =8a-4-a2+4a =-a2+4a-4 =-(a-22 ∴.当a=2时，tmax=0; .t的最大值为0.(8分) 25.(10分) 【详解】(1)证明，'∠A=∠A,∠ACD=∠ABC, .△ACD△ABC, 福把 .AC2=AD·AB.(2分) (2)①取AD中点F,连接EF, 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠ACB=90°，BC=2,∠ABC=60°， AC=23,AB=4, E为CD中点， ∴.EF为△ACD的中位线， .EF=AC=/3,EFAC. :.∠DEF=∠ACD ,∠ACD=∠DBE, .∠DBE=∠DEF, △FED一△FBE, ∴EF=FD·FB 设AF=FD=x,则FB=4-X, (3}=x4x 解得x1=1,x2=3(舍去)， .AD=2.(6分) ②取AD中点F,连接EF,过点E作EG⊥AB,垂足为G,设AF=FD=X, EF为△ACD的中位线， EF‖AC, .∠EFB=∠A=30°， :∠DEB=30°， ∴.∠DEB=∠EFB, 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.△BDE一△BEF, .BE=BD·BF, EF=3, .3 FG- ∴.BG=AB-AF-FG=4-X- 35 六BE2=BG2+EG2= 又，BD=AB-AD=4-2X,BF=AB-AD=4-X. .325 2 2+3-x=4-2x4-x 解得X12 13.7+V/13 ,X22 (舍去). .AD=7-9V13.(10分) 26.(10分) 【详解】问题发现 解：.矩形ABCD中，AD:CD=1:V3, .AC:AD=12+32:1=2:1 .EG⊥AD,CD⊥AD, ..∠FGA=∠CDA=90°， 又.'∠FAG=∠CAD, .△FAG~△CAD, ..AE=AG AC AD .AC-AF-2. AD AG AC-AF F AD-AG =2,即 =2, D ∴.CF=2GD 故答案为：CF=2GD;(2分) 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 拓展探究：仍然成立.理由如下： 图I中，∠FAG=∠CAD,∠FGA=∠CDA, ∴.△AFG一△ACD, a-0 B 图1 图2中，由旋转可得：∠CAF=∠DAG, .△ACF~△ADG, 既品 .AD:CD=1:3, ,AC_2 AD 1' ,CF_2 DG 1' .CF=2GD;(6分) B 图2 解决问题 解：①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH, 四边形ABCD,四边形AEFG为正方形， :∠CAD=∠EAH=45°，AC=AE=2, AD AH ∴.∠CAE=∠DAH, ∴.△ACE~△ADH, 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DH AD 2 CEAC2 .AD=CD=4,DE=2, .CE=4-2=2, :DH-2CE-V2, 2 图3 ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH, ,四边形ABCD,四边形AEFG为正方形， ·∠CAD=∠EAH=45, AC_AE=2, AD AH ∴.∠CAE=∠DAH, ∴.△ACE一△ADH, 器-02 .AD=CD=4,DE=2, .CE=4+2=6, :DH=2cE=32; 综上所述，DH的长为2或32.(10分) B 图4 10110………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 2．下列描述正确的是（   ） A．对角线垂直的四边形一定是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 3．（新考法）如图，在纸片中，，．将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 4．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（    ） A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4 6．（情境题）小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和，则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 7．（热点题）定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 8．如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，点为的中点，连接，平分角交于点，连接DF交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．一个直四棱柱的三视图及有关数据（单位：cm）如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为_______． 12．若，则___________． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 14．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm． 15．如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则_____． 16．（新考法）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 17．如图，线段是菱形的对角线，，点分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点的对应点始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为_______． 18．（新考法）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中， 则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是______________． 三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分。 19．解方程 (1)；（配方法） (2) 20．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 21．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少m？ 22．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 23．如图，为直角三角形，，D为中点，过A作，使得，连接交于F，连接交于G． (1)求证：F是的三等分点； (2)若，求的长． 24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 25．（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：． （2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接． ①[思考探究]如图2，当时，求的长． ②[拓展延伸]如图3，当时，求的长． 26．综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $