专题13 运用图形的放大和缩小解决问题（解决问题专项训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

专题13 运用图形的放大和缩小解决问题（解决问题专项训练） 1．一个长方形的长是8cm，宽是6cm，把它按3∶1放大后得到一个新长方形，新长方形与原长方形的周长之比是多少？面积之比是多少？ 【答案】 【分析】根据题意，放大后的长方形的长是原来的3倍，宽是原来的3倍；算出放大后的长和宽，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，算出原来和放大后的周长，写出它们的比，再化简；根据长方形的面积＝长×宽，算出原来和放大后的面积，写出它们的比，再化简。 【解答】放大后的长：8×3＝24（cm） 放大后的宽：6×3＝18（cm） 放大后的周长：（24＋18）×2＝42×2＝84（cm） 原来的周长：（8＋6）×2＝14×2＝28（cm） 周长比：84∶28＝（84÷28）∶（28÷28）＝3∶1 面积比：（24×18）∶（8×6）＝432∶48＝（432÷48）∶（48÷48）＝9∶1 2．如图，图形①、②是在小正方形网格图中进行图形的变化，图形②是由图形①按多少的比缩小后的图形。如果图形①的长是，宽是，则图形②的长是多少？宽是多少？ 【答案】1∶4 4 2 【分析】图形①的长为8格，宽为4格，图形②的长为2格，宽为1格，可以通过图形①、②长、宽的比，来求图形①是按什么比缩小为图形②的； 根据1中所求的比再求图形②的长、宽。 【解答】图形①、②长的比：4∶16＝1∶4，宽的比：2∶8＝1∶4，所以图形②是图形①按1∶4缩小的； 1∶4＝（比与分数的联系） 16×＝4（cm） 8×＝2（cm） 所以图形②的长是4cm，宽是2cm。 3．外语小学制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片尺寸，老师想按比例放大后装进宣传栏，放大后照片的宽是33厘米，长是多少厘米？ 【答案】48 【分析】用放大后照片的宽比原来照片的宽就是按多大的比进行放大，用照片原来的长度乘放大倍数就是放大后的长。 【解答】33∶3.3 ＝（33÷3.3）∶（3.3÷3.3） ＝10∶1 即把长和宽扩大到原来的10倍。 4.8×10＝48（厘米） 4．一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和4厘米，把这个三角形按2∶1放大，放大后三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】48 【分析】已知原直角三角形的两条直角边分别为厘米和4厘米，把这个三角形按放大，即放大后的长度是原来长度的2倍。据此求出放大后两条直角边的长度，再根据三角形的面积＝底高求出面积。 【解答】（厘米） （厘米） （平方厘米） 5．如图，是“苏超联赛”的赛事标识，东东要使用这个图案。他将这个图案放在一个边长为5厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米（图案等比例放大），已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积增加了多少平方厘米？ 【答案】4.4 【分析】根据题意可知，拉伸前正方形面积与拉伸后正方形面积比等于拉伸前图案的面积与拉伸后图案的面积比，设拉伸后图案面积是x平方厘米，列比例：52∶62＝10∶x，解比例，求出拉伸后图案面积，再用拉伸后图案的面积－原来图案面积，即可解答。 【解答】解：设拉伸后图案面积是x平方厘米。 52∶62＝10∶x 25∶36＝10∶x 25x＝36×10 25x＝360 x＝360÷25 x＝14.4 14.4－10＝4.4（平方厘米） 6．把一张照片按5∶1的比例尺放大，放大后的照片各边的长度是原照片对应边长度的几倍？放大后的照片的面积是原照片面积的几倍？ 【答案】5 25 【分析】比例尺5∶1是放大比例尺，含义是放大后长度∶原长度＝5∶1，用放大后照片的边长除以原对应边长得到边长放大的倍数。面积是边长的乘积，边长扩大为原来的倍，面积就扩大为原来的倍。 【解答】 放大后的照片各边的长度是原照片对应边长度的5倍，放大后的照片的面积是原照片面积的25倍。 7．将一个正方形按1∶3缩小，若原来正方形的面积为72平方厘米，则缩小后正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】8 【分析】将一个正方形按1∶3缩小，则缩小后的正方形的边长是原来正方形边长的，缩小后的正方形的面积是原来正方形面积的，原来正方形的面积为72平方厘米，根据求一个数的几分之几用乘法得出面积是8平方厘米。 【解答】（平方厘米） 则缩小后正方形的面积是8平方厘米。 8．一个直角三角形三边的长度分别是9cm，12cm，15cm。把这个三角形按1∶3的比缩小后，得到的三角形的面积是多少cm2？周长是多少cm？ 【答案】 【分析】由题意可知，把这个三角形按1∶3的比缩小后，这个直角三角形三边的长度分别是9×＝3cm，12×＝4cm，15×＝5cm；直角三角形的两条直角边对应三角形的底和高，根据三角形的面积公式：S＝ah；将缩小后的三角形的三条边的长度相加，即可求出缩小后的周长。 【解答】9×＝3（cm），12×＝4（cm），15×＝5（cm） 3×4× ＝12× ＝6（cm2） 3＋4＋5＝12（cm） 则缩小后三角形的面积是6cm2，周长是12cm。 9．把一个长5厘米、宽4厘米的长方形按2∶1放大后，得到的图形的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？放大后的面积与原面积的比是多少？ 【答案】 【分析】（）图形按比例放大的规则，长方形的长和宽按给定的比例要求进行放大，即根据的放大，分别计算放大后长方形的长和宽。 （）计算放大后图形的周长，因为长方形周长公式：，所以代入放大后的长和宽即可求解。 （）计算放大后图形的面积，因为长方形面积公式：，所以代入放大后的长和宽求出放大后面积，再计算原长方形面积，进而得到两者的比值。 【解答】原长方形的长：，宽：. ①按放大后：长：，宽： 周长： （厘米） ②（平方厘米） ③放大后面积与原面积的比： 原长方形面积：（平方厘米） 10．一个梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，高是10厘米，先按1∶5缩小，再将缩小后的图形按3：1放大。放大后的梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】36平方厘米 【分析】先将各边长度缩小到原来的；再将各边长度扩大到原来的3倍，求出最终的上底、下底和高；最后根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算。 【解答】 （厘米） （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：放大后的梯形的面积是36平方厘米。 11．王老师在电脑上把教案上的图片（如图）按比例放大，放大后图片的长是14.7厘米，宽是多少厘米？（用比例解答） 【答案】10.5厘米 【分析】由图可知，放大前图片的长是7厘米，宽是5厘米。根据题意，放大前后的图片的长宽比是不变的。放大后图片的长是14.7厘米，设放大后的宽是x厘米，用比例解答即可。 【解答】解：设放大后的宽是x厘米。 14.7∶x＝7∶5 7x＝14.7×5 7x＝73.5 7x÷7＝73.5÷7 x＝10.5 答：放大后的宽是10.5厘米。 12．一个梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，高是10厘米，先按1∶5缩小，再将缩小后的图形按3∶1放大。放大后的梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】36平方厘米 【分析】将图形放大与缩小是指将图形对应边长放大与缩小，形状不变。按1∶5缩小，表示变化后的长度是原来的；按3∶1放大，表示变化后的长度是原来的3倍。据此将梯形的上底、下底和高分别乘再乘3，求出变化后的上底、下底和高，最后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出放大后的梯形的面积。 【解答】变化后的上底： ＝ ＝（厘米） 变化后的下底： ＝ ＝（厘米） 变化后的高： ＝ ＝（厘米） 变化后的面积： ＝ ＝ ＝（平方厘米） 答：放大后的梯形的面积是36平方厘米。 13．分别按3∶1和1∶2的比画出平行四边形放大和缩小后的图形，再联系自己的操作过程回答后面的问题。 原平行四边形和放大、缩小后图形的面积分别是多少？放大后图形的面积是原平行四边形面积的多少倍？缩小后图形的面积是原平行四边形面积的几分之几？ 【答案】图见详解； 8平方厘米；72平方厘米；2平方厘米 9倍； 【分析】首先数出原平行四边形的边长，分别根据放大和缩小的比例计算出新的边长，画出相应的图形；然后利用平行四边形面积＝底×高，分别计算原平行四边形和放大、缩小后图形的面积；最后，计算放大后和缩小后图形的面积与原平行四边形的面积之间的倍数关系。 【解答】原平行四边形的底是4厘米，高是2厘米； 按3∶1放大后的底是4×3＝12（厘米），高是2×3＝6（厘米）； 按1∶2缩小后的底是4÷2＝2（厘米），高是2÷2＝1（厘米）。 如图： 原平行四边形的面积：4×2＝8（平方厘米） 放大后图形的面积：12×6＝72（平方厘米） 缩小后图形的面积：2×1＝2（平方厘米） 72÷8＝9 2÷8＝ 答：原平行四边形的面积是8平方厘米，放大后的面积是72平方厘米，缩小后的面积是2平方厘米，放大后图形的面积是原平行四边形面积的9倍，缩小后图形的面积是原平行四边形面积的。 14．按要求作图。 （1）图形乙可看作是图形甲绕（    ）点，按顺时针方向旋转（    ）°，又向（    ）平移（    ）格后得到的。 （2）将图形丙放大到原来的2倍，画出扩大后的图形。 【答案】（1）B；90；右；2； （2）见详解。 【分析】（1）根据旋转和平移的知识，进行分析可知，图形乙可看作是图形甲绕B点，按顺时针方向旋转90°，又向右平移2格后得到的。 （2）把图形丙放大到原来的2倍，即平行四边形的每一条边放大到原来的2倍，原平行四边形的底和高分别乘2，得出放大后平行四边形形的底和高，据此画出放大后的图形。 【解答】（1）图形乙可看作是图形甲绕B点，按顺时针方向旋转90°，又向右平移2格后得到的。 （2）将图形丙放大到原来的2倍，画出扩大后的图形。（如图） 【点睛】本题考查了旋转、平移及图形的放大和缩小知识，根据题意解答即可。 15．下图中（一个小正方形的边长是1厘米）。 （1）画出正方形按2∶1放大后的图形。 （2）在放大后的正方形内画一个最大的圆（剩下用阴影部分表示）。 （3）计算出阴影部分的面积。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）13.76平方厘米 【分析】（1）原来正方形的边长为4厘米，正方形按2∶1放大后边长是（4×2）厘米，据此画出放大后的图形； （2）在放大后的正方形内画一个最大的圆，则圆的直径等于正方形的边长；先连接正方形的两条对角线，对角线的交点是圆心，以正方形的边长的一半为圆的半径，用圆规画出这个最大的圆，剩下用阴影部分表示； （3）从图中可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【解答】（1）放大后正方形的边长：4×2＝8（厘米） 放大后的图形如下图： （2）圆的半径：8÷2＝4（厘米） 在放大后的正方形内画一个最大的圆，剩下用阴影部分表示，如下图： （3）8×8＝64（平方厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 64－50.24＝13.76（平方厘米） 答：阴影部分的面积是13.76平方厘米。 【点睛】掌握画放大后的图形以及画圆的方法、正方形的面积、圆的面积公式是解题的关键。 16．按要求填一填、画一画。 （1）以虚线为对称轴，画出轴对称图形①的另一半。 （2）画出图形②绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）图中（    ）号图形是③号图形放大后的图形，它是按（    ）∶（    ）的比放大的。 （4）画出将图形③缩小的图形，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是。 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 （3）④；3；1 （4）图见详解。（画图位置不唯一） 【分析】（1）轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线垂直对称轴，据此作图； （2）以点O为旋转中心，将图形②各边顺时针旋转90°，画出旋转后的图形； （3）观察图中长方形，发现只有④长和宽都是③的3倍，据此填空； （4）将③的长和宽都除以2，画出缩小后的图形。 【解答】（1）（2）如图： （3）图中④号图形是③号图形放大后的图形，它是按3∶1的比放大的。 （4）如图： 【点睛】本题考查了轴对称、旋转以及图形的放大和缩小，掌握作图方法是解题的关键。 17．在下面方格纸上按要求操作： （1）把长方形绕C点按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）把圆向右平移5格，画出平移后的圆，再画出与原来的圆组成的图形的对称轴。 （3）把三角形各边放大到原来的2倍，画出放大后的三角形。原来三角形的面积是放大后三角形面积的。 【答案】（1）（2）见详解； （3）图形见详解； 【分析】（1）根据题目要求确定旋转中心（C点）、旋转方向（顺时针）、旋转角度（90°），分析所作图形，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形，并标出各对应点； （2）先找出原来圆的圆心，把圆心向右平移5格，再以3格的长度为半径画圆，将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴，据此用虚线画出对称轴； （3）原来短直角边是2格，放大后短直角边是2×2＝4格，原来长直角边是3格，放大后长直角边是3×2＝6格，据此作图，最后根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出原来和现在三角形的面积，并计算原来的面积占现在面积的分率，据此解答。 【解答】分析可知： （1）（2） （3）假设方格的边长为1。 原来三角形的面积：3×2÷2 ＝6÷2 ＝3 现在三角形的面积：6×4÷2 ＝24÷2 ＝12 3÷12＝ 所以，原来三角形的面积是放大后三角形面积的。 【点睛】掌握对称轴的意义和平移、旋转、放大图形的作图方法是解答题目的关键。 18．按要求在方格图中画图。 （1）以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形。 （2）画出图形B向右平移1格，再向下平移2格后的图形。 （3）画出图形C绕点O逆时针旋转90°后的图形。 （4）画出图形C按2∶1的比扩大后的图形，扩大后的图形面积是原来图形面积的（    ）倍。 【答案】（1）（2）（3）画图见详解 （4）画图见详解；4 【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对称点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线，在对称轴的另一边画出图形的对称顶点，再依次连线即可； （2）根据平移的特征，将图形B向右平移1格，再向下平移2格，即可画出该图形； （3）根据旋转的特征，图形C绕O点逆时针方向旋转90°，点O位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （4）根据图形放大的意义，将图C的所有边的长度同时扩大到原来的2倍，所得到的图形，就是原来图形按照2∶1扩大后的图形。根据梯形面积公式：S＝（上底＋下底）×高÷2，将前后两个梯形的面积计算出来，用扩大后的梯形面积除以之前的梯形面积，可求出扩大后的图形面积是原来图形面积的几倍。 【解答】由分析可得： （1）（2）（3）画图见下； （4）（2＋3）×1÷2 ＝5×1÷2 ＝5÷2 ＝2.5 （4＋6）×2÷2 ＝10×2÷2 ＝20÷2 ＝10 10÷2.5＝4 扩大后的图形面积是原来图形面积的4倍。 画图如下： 19．画一画，说一说。 （1）按3∶1的比画出正方形放大后的图形记作图形①。 （2）画出与图形①面积相等的三角形。 （3）小伟说：图中正方形的周长和面积一样大。你想对他说：（    ）。 【答案】见详解 【分析】（1）根据图形放大的方法，将正方形的边长按3∶1放大到原来的3倍，形状不变，画图即可。 （2）根据三角形的面积＝底×高÷2，确定底和高的数据，画图即可。 （3）周长是指围成封闭图形一周的长度，即平面图形一周包含单位长度的个数；面积是封闭图形的平面区域所占的大小，即指平面图形包含单位面积的个数，根据周长和面积的意义判断即可。 【解答】（1）、（2）作图如下： 正方形面积：3×3＝9（平方厘米） 若三角形的底是6厘米，高：9×2÷6＝3（厘米） 即：三角形的底是6厘米，高是3厘米。 （三角形画法不唯一） （3）正方形周长：1×1＝1（厘米） 面积：1×1＝1（平方厘米） 小伟说：图中正方形的周长和面积一样大。我想对他说：这种说法是错误的，因为正方形的周长和面积单位不同，表示的意义不同，不能比较大小。 20．按要求画图。 （1）在如图方格纸中，画出按2∶1放大的三角形。 （2）以放大后三角形的一条直角边为半径，画一个圆。 （3）如果如图中小方格的边长表示1厘米，那么圆面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）（2）图见详解 （3）50.24 【分析】（1）由于直角三角形两直角边即可确定其形状，根据图形放大的意义，把这个三角形两直角边均放大到原来的2倍所得到的图形就是原图形按2∶1放大后的图形。 （2）画圆时，“圆心定位置，半径定大小”，直角顶点为圆心，以一条直角边为半径即可画图。 （3）根据圆面积计算公式“S＝πr2”即可解答。 【解答】（1）（2）画图如下（圆画法不唯一）： （3）3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（立方厘米） 那么圆面积是50.24平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3运用图形的放大和缩小解决问题（解决问题专项训练） 1.一个长方形的长是8cm,宽是6cm,把它按3：1放大后得到一个新长方形，新 长方形与原长方形的周长之比是多少？面积之比是多少？ 2.如图，图形①、②是在小正方形网格图中进行图形的变化，图形②是由图形① 按多少的比缩小后的图形。如果图形①的长是16cm，宽是8cm,则图形②的长是多 少cm?宽是多少cm? ⊕ ④ 3.外语小学制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片尺寸， 老师想按比例放大后装进宣传栏，放大后照片的宽是33厘米，长是多少厘米？ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.8cm ←3.3cm 4.一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和4厘米，把这个三角形按2：1放 大，放大后三角形的面积是多少平方厘米？ 5.如图，是“苏超联赛”的赛事标识，东东要使用这个图案。他将这个图案放在 一个边长为5厘米的正方形中，后来他觉得图案太小，将正方形边长拉伸至6厘米 (图案等比例放大)，已知拉伸前图案的面积是10平方厘米，则拉伸后图案面积 增加了多少平方厘米？ JSCL 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.把一张照片按5：1的比例尺放大，放大后的照片各边的长度是原照片对应边长 度的几倍？放大后的照片的面积是原照片面积的几倍？ 7.将一个正方形按1：3缩小，若原来正方形的面积为72平方厘米，则缩小后正 方形的面积是多少平方厘米？ 8.一个直角三角形三边的长度分别是9cm,12cm,15cm。把这个三角形按1：3 的比缩小后，得到的三角形的面积是多少cm?周长是多少cm? 9.把一个长5厘米、宽4厘米的长方形按2：1放大后，得到的图形的周长是多少 厘米？面积是多少平方厘米？放大后的面积与原面积的比是多少？ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.一个梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，高是10厘米，先按1：5缩小， 再将缩小后的图形按3：1放大。放大后的梯形的面积是多少平方厘米？ 11.王老师在电脑上把教案上的图片（如图）按比例放大，放大后图片的长是14.7 厘米，宽是多少厘米？（用比例解答) 5cm 7cm 12.一个梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，高是10厘米，先按1：5缩小， 再将缩小后的图形按3：1放大。放大后的梯形的面积是多少平方厘米？ 13.分别按3：1和1：2的比画出平行四边形放大和缩小后的图形，再联系自己的 操作过程回答后面的问题。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1cm 1cm 原平行四边形和放大、缩小后图形的面积分别是多少？放大后图形的面积是原平行 四边形面积的多少倍？缩小后图形的面积是原平行四边形面积的几分之几？ 14.按要求作图。 A 甲c D B z (1)图形乙可看作是图形甲绕（)点，按顺时针方向旋转()°，又向 ()平移（)格后得到的。 (2)将图形丙放大到原来的2倍，画出扩大后的图形。 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.下图中（一个小正方形的边长是1厘米）。 (1)画出正方形按2：1放大后的图形。 (2)在放大后的正方形内画一个最大的圆（剩下用阴影部分表示)。 (3)计算出阴影部分的面积。 16.按要求填一填、画一画。 ③ ④ ⑤ (1)以虚线为对称轴，画出轴对称图形①的另一半。 (2)画出图形②绕点O顺时针旋转90°后的图形。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)图中()号图形是③号图形放大后的图形，它是按()：() 的比放大的。 (4)画出将图形③缩小的图形，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是12 17.在下面方格纸上按要求操作： A D B c (1) 把长方形绕C点按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。 (2)把圆向右平移5格，画出平移后的圆，再画出与原来的圆组成的图形的对称 轴。 (3)把三角形各边放大到原来的2倍，画出放大后的三角形。原来三角形的面积 是放大后三角形面积的。 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.按要求在方格图中画图。 B A (1)以虚线为对称轴，画出图形A的轴对称图形。 (2)画出图形B向右平移1格，再向下平移2格后的图形。 (3)画出图形C绕点O逆时针旋转90°后的图形。 (4)画出图形C按2：1的比扩大后的图形，扩大后的图形面积是原来图形面积的 （)倍。 19.画一画，说一说。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1cm (1)按3：1的比画出正方形放大后的图形记作图形①。 (2)画出与图形①面积相等的三角形。 (3)小伟说：图中正方形的周长和面积一样大。你想对他说：（)。 20.按要求画图。 (1)在如图方格纸中，画出按2：1放大的三角形。 (2)以放大后三角形的一条直角边为半径，画一个圆。 (3)如果如图中小方格的边长表示1厘米，那么圆面积是()平方厘米。