第3章 圆3.1-3.5综合复习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版九年级上圆3.1-3.5综合复习 一．圆中定理+求长度应用（共17小题） 1．（2025秋•上城区校级期中）下列说法正确的个数有（　　） ①平分弦的直径、平分这条弦所对的弧； ②等弧所对的圆心角相等； ③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等； ④过三点可以画一个圆； ⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等； ⑥90°的角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025秋•建邺区校级月考）下列命题中，正确的是（　　） ①顶点在圆上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径； ④同弧所对的圆周角相等； ⑤各角相等的圆内接多边形是正多边形． A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．③④ 3．（2025秋•响水县期中）已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB＝CD． 求证：（1）PO平分∠BPD； （2）PA＝PC． 4．（2025秋•海门区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 5．（2025秋•句容市期中）如图，点B是⊙O上一点，AD为⊙O的直径，点C在⊙O上且平分． （1）连接BC，∠ABC＝_______ °． （2）若AC＝5，BD＝6，求AB的长． 6．（2025秋•徐州校级期中）如图，⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，D是弧AC的中点，AC与BD相交于点E，若AE＝3CE，则CE的长是（　　） A．1 B． C． D． 7．（2025秋•阜宁县期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点G在边DC的延长线上． （1）求证：∠BAD＝∠GCB； （2）若∠DBA＝80°，∠CDA＝50°，求∠CAD的度数． 8．（2025秋•海门区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且CD⊥AE交直线AE于点D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若DE＝2，CD＝4，求⊙O的直径的长． 9．（2025秋•阜宁县期中）如图，BC为⊙O的直径，点A在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点E，交BC于点M．∠ABM的平分线BD交AE于点D，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BE． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BE＝8，求DE的长． 10．（2025秋•句容市期中）如图，△ACD中，∠ADC＝90°，以AB为直径的⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE是⊙O的切线． （1）求证：CD＝DE； （2）若AC＝4，BD＝2，求CD的长． 11．（2025秋•滨湖区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，已知⊙O经过点C，且与AB相切于点D． （1）在图1中作出⊙O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点D是边AB上的动点，设⊙O与边CA、CB分别相交于点E、F，求EF的最小值． 12．（2025秋•鼓楼区期中）尺规作图：如图，已知线段a，O是直线l外一点，作⊙O与直线l相交于点A，B，且AB＝a． 13．（2025秋•天宁区校级期中）如图，已知A、B、C均在⊙O上，请用无刻度直尺作图． （1）若∠A＝34°，求作一个56°的角； （2）M、N分别是BC、AC边中点，求作△ABC的内心． 14．（2025秋•姑苏区期中）用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）如图①，作出△ABC的外接圆； （2）如图②，作出△ABC的内切圆； （3）如图③，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线； （4）如图④，PQ切⊙O于点P，作出直线m，使m与⊙O相切，且m∥PQ； （5）如图⑤，PQ切⊙O于点P，作出一条直线n，使n与⊙O相切，且n与PQ的夹角中有一个角为60°． 15．（2025秋•新吴区期中）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的所有切线． （1）如图1，点A在圆上； （2）如图2，点A在圆外． 16．（2025秋•徐州校级期中）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 17．（2025秋•沛县校级期中）（1）如图，在方格纸中，A、B两点在圆上，且均为格点，仅用无刻度的直尺按要求完成作图．请在图①作出该圆的圆心O； （2）尺规作图：请在图2中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N． 二．垂直弦定理（共2小题） 18．（2021秋•溧水区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ____________________ ，并证明你的结论． （2）若AB＝2，CD＝1．求⊙O的半径． 19．（2025秋•徐州校级期中）（1）【课本再现】苏科版教材九年级上册P91页有这样一道习题：“如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D，BE与CF相等吗？为什么？”请证明； （2）【模型探究】如图2，⊙O的半径为R（R为定值），AB、CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，当点E在弦CD上运动时，AE2+DE2+BE2+CE2的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由； （3）【模型应用】在（2）的条件下，如图3，连接AC、BC．若⊙O的半径为5，，求BC的长． 三．最值+折叠（共8小题） 20．（2025秋•海门区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0） 21．（2025秋•常州期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（3，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ____________________ ． 22．（2025秋•新吴区校级期中）在△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，M是AC的中点，则中线BM长度的最大值为 _________________ ． 23．（2025秋•秦淮区期中）如图，在⊙O中，将沿着弦AB所在直线折叠，交弦BC于点D，连接AC．若，BD＝5，∠B＝30°，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 24．（2025秋•建邺区期中）如图，弓形纸片所在的⊙O半径为4，，CD为弦．将纸片沿CD折叠，若折叠后与AB相切，则CD的取值范围是 ____________________ ． 25．（2025秋•徐州校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝30°，BC＝4，点D为线段BC上一个动点，连接AD，以CD为直径的⊙O交AD于点E，若点D从点C运动到点B，则点E运动的路径长为____________________ ． 26．（2025秋•沛县校级期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角． ①∠A的度数为_______ °； ②连接BD，若⊙O的半径为5，求线段BD的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA，若CA平分∠BCD，若⊙O的半径为6，求BC+CD的最大值是多少？ 27．（2025秋•句容市期中）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆，⊙O上有且只有两个点到直线l的距离等于3，则r的取值范围__________ ． 四．圆综合（共6小题） 28．（2025秋•句容市期中）如图，正方形ABCD的边长为4cm，F是DC的中点，E点从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接EF，以点E为圆心，EF长为半径作⊙E．当⊙E与正方形ABCD的边相切时，则点E的运动时间t为____________________ s． 29．（2025秋•响水县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是 ____________________ ． 30．（2025秋•徐州校级期中）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，，请在纸片上找一点P，使得∠APB＝45°． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以AB为弦的圆弧上…，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）∠AOB＝ _______ °； （2）所在的圆的半径长为 ________________ ； （3）△ABP面积的最大值为 __________________ ． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片ABCD上有一点Q，且∠AQB＝30°． （4）请在纸片ABCD上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （5）连接DQ，则线段DQ的最小值为 __________________ ； （6）过点Q作QH⊥AB，垂足为H．若△QAB的面积的最小值为，则AH长的范围是 ___________ ． 31．（2025秋•响水县期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为4cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： （1）通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_________________ ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为________________ ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为________________ ； （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 32．（2024秋•鼓楼区期中）尺规作图： 已知线段AB和⊙O，将线段AB沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在⊙O上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段A'B'．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． （1）如图1，AB的长度等于⊙O的直径； （2）如图2，AB的长度小于⊙O的直径． 33．（2025秋•泉山区校级期中）【阅读理解】 三角形两个内角的角平分线相交所形成的钝角，称为该三角形第三个内角的“好望角”． 【探究发现】如图1，∠D是△ABC中∠A的好望角，∠A＝α，请用含α的代数式表示∠D． 【实践应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且∠ACE+∠BDE＝180°．求证：∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角． 【拓展提升】如图3，在图2条件下，若∠BAC＝90°，BC＝8，则线段AE的最大值为__________________ ． 五．课后作业（共6小题） 34．（2025秋•海安市期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，外角∠CBE的度数为50°，则∠AOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 35．（2025秋•新吴区校级期中）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 36．（2025秋•泉山区校级期中）如图，四边形ABCD圆内接四边形，已知∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝8，则四边形ABCD的面积为多少 _______ ． 37．（2025秋•阜宁县期中）如图，在⊙O中，弦CD的长为16，OE⊥CD，交CD于点G，交⊙O于点E，OG：GE＝3：2．求GE的长． 38．（2025秋•扬中市期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，CB＝CD，过点C作CE⊥AD，交DA的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BD＝4，AE＝1，求⊙O的半径长． 39．（2025秋•响水县期中）如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D． （1）求证：∠CAD＝∠BAC； （2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由． 苏科版九年级上圆3.1-3.5综合复习 参考答案与试题解析 一．圆中定理+求长度应用（共17小题） 1．（2025秋•上城区校级期中）下列说法正确的个数有（　　） ①平分弦的直径、平分这条弦所对的弧； ②等弧所对的圆心角相等； ③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等； ④过三点可以画一个圆； ⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等； ⑥90°的角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】①平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故不符合题意； ②等弧所对的圆心角相等，故符合题意； ③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，故符合题意； ④过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，故不符合题意； ⑤三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故不符合题意； ⑥90°的圆周角所对的弦是直径，故不符合题意； 正确的有两个； 故选：B． 2．（2025秋•建邺区校级月考）下列命题中，正确的是（　　） ①顶点在圆上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径； ④同弧所对的圆周角相等； ⑤各角相等的圆内接多边形是正多边形． A．①②③ B．③④⑤ C．②③④ D．③④ 【解答】解：①顶点在圆周上且角的两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误； ②同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误； ③90°的圆周角所对的弦是直径，此选项正确； ④同弧所对的圆周角相等，此选项正确； ⑤各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，故此选项错误． 故选：D． 3．（2025秋•响水县期中）已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB＝CD． 求证：（1）PO平分∠BPD； （2）PA＝PC． 【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F， ∵AB＝CD，OE、OF是弦心距， ∴OE＝OF， ∴PO平分∠BPD； （2）在Rt△POE与Rt△POF中， ∵OP＝OP，OE＝OF， ∴Rt△POE≌Rt△POF， ∴PE＝PF， ∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足， ∴AE， CF， ∴AE＝CF， ∴PE﹣AE＝PF﹣CF，即PA＝PC． 4．（2025秋•海门区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【解答】解：连接DO，EO， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝4，AF＝AE＝6， ∴AB＝AF+BF＝6+4＝10， 又∵∠C＝90°， ∴四边形OECD是矩形， 又∵EO＝DO， ∴矩形OECD是正方形， 设EO＝x， 则EC＝CD＝x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： BC2+AC2＝AB2， 故（x+4）2+（x+6）2＝102， 解得：x＝2， ∴BC＝6，AC＝8， ∴S△ABC6×8＝24， 故选：A． 5．（2025秋•句容市期中）如图，点B是⊙O上一点，AD为⊙O的直径，点C在⊙O上且平分． （1）连接BC，∠ABC＝　45　 °． （2）若AC＝5，BD＝6，求AB的长． 【解答】解：（1）∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵点C在⊙O上且平分， ∴， ∴∠ADC＝∠CAD， ∴， ∴∠ABC＝∠ADC＝45°， 故答案为：45； （2）∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD＝∠ABD＝90°， ∵点C在⊙O上且平分， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2， ∴． 6．（2025秋•徐州校级期中）如图，⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，D是弧AC的中点，AC与BD相交于点E，若AE＝3CE，则CE的长是（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：连接OD交AC于点F，设CE＝m，则AE＝3CE＝3m， ∴AC＝3m+m＝4m， ∵D是的中点， ∴OD垂直平分AC， ∴∠AFO＝90°，AF＝CFAC＝2m， ∴FE＝2m﹣m＝m， ∴FE＝CECF， ∵AB是⊙O的直径，且AB＝6， ∴∠EFD＝∠C＝90°，OA＝OBAB＝3， 在△DEF和△BEC中， ， ∴△DEF≌△BEC（ASA）， ∴DF＝BC， ∵O是AB的中点，F是AC的中点， ∴DF＝BC＝2OF， ∵OA＝OD＝2OF+OF＝3OF＝3， ∴OF＝1， ∴AF＝CF2， ∴CECF， 故选：B． 7．（2025秋•阜宁县期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点G在边DC的延长线上． （1）求证：∠BAD＝∠GCB； （2）若∠DBA＝80°，∠CDA＝50°，求∠CAD的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠GCB+∠BCD＝180°， ∴∠BAD＝∠GCB； （2）解：由圆周角定理得：∠DCA＝∠DBA＝80°， ∴∠CAD＝180°﹣∠DCA﹣∠CDA＝180°﹣80°﹣50°＝50°． 8．（2025秋•海门区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且CD⊥AE交直线AE于点D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若DE＝2，CD＝4，求⊙O的直径的长． 【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点C， ∴CD⊥OC， ∵CD⊥AE交直线AE于点D， ∴AE∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OC＝OA， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC平分∠DAB． （2）解：作OF⊥AD于点F，则∠AFO＝∠DFO＝90°， ∵∠OCD＝∠D＝∠DFO＝90°， ∴四边形OCDF是矩形， ∴OF＝CD＝4，DF＝OC＝OA， ∵DE＝2， ∴AF＝EF＝DF﹣DE＝OA﹣2， ∵OF2+AF2＝OA2， ∴42+（OA﹣2）2＝OA2， 解得OA＝5， ∴AB＝2OA＝10， ∴⊙O的直径的长为10． 9．（2025秋•阜宁县期中）如图，BC为⊙O的直径，点A在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点E，交BC于点M．∠ABM的平分线BD交AE于点D，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BE． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BE＝8，求DE的长． 【解答】（1）证明：连接OE． ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AE是∠CAB 的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝45°， ∴∠BOE＝2∠BAE＝90°， ∵EF∥BC， ∴∠BOE+∠FEO＝180°， ∴∠FEO＝180°﹣∠BOE＝90°， ∵OE为⊙O的半径，∠FEO＝90°， ∴EF是⊙O的切线． （2）解：∵BD是∠ABM的平分线， ∴∠ABD＝∠DBM． ∵∠EBC＝∠CAE，∠BAE＝∠CAE， ∴∠EBC＝∠BAE，即∠EBM＝∠BAD． ∵∠EBD＝∠EBM+∠DBM，∠EDB＝∠BAD+∠ABD． 且∠ABD＝∠DBM，∠EBM＝∠BAD， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴DE＝BE＝8． 10．（2025秋•句容市期中）如图，△ACD中，∠ADC＝90°，以AB为直径的⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE是⊙O的切线． （1）求证：CD＝DE； （2）若AC＝4，BD＝2，求CD的长． 【解答】（1）证明：如图，DE是⊙O的切线，连接OE， ∴∠OED＝90°， ∴∠DEB+∠OEB＝90°． 又∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE＝∠CBD． 在Rt△CBD中，∠DCB+∠CBD＝90°，即∠DCB+∠OEB＝90°， ∴∠DCE＝∠DEB， ∴CD＝DE； （2）解：设⊙O的半径为r． 在Rt△ODE中，BD＝2， 由勾股定理得：DE2＝OD2﹣OE2， ∴DE2＝（r+2）2﹣r2． 在Rt△ACD中，AC＝4，BD＝2， 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2， ∴． ∵CD＝DE， ∴， 解得：r＝3． 在Rt△DOE中，由勾股定理得：， ∴CD＝4． 11．（2025秋•滨湖区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，已知⊙O经过点C，且与AB相切于点D． （1）在图1中作出⊙O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点D是边AB上的动点，设⊙O与边CA、CB分别相交于点E、F，求EF的最小值． 【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求； （2）连接CO，OD，过点C作CT⊥AB于点T． 在Rt△ABC中，AB13， ∵S△ABCAC•BCAB•CT， ∴CT， ∵∠ECF＝90°， ∴EF是直径， ∴EF＝CO+OD≥CD， ∴当C，O，D共线时，点D与点T重合，此时EF的值最小，最小值为． 12．（2025秋•鼓楼区期中）尺规作图：如图，已知线段a，O是直线l外一点，作⊙O与直线l相交于点A，B，且AB＝a． 【解答】解：如图，先作线段a的垂直平分线，再过点O作OC⊥l于点C，以点C为圆心，为半径画弧，分别交直线l于点A，B，最后以点O为圆心，OA的长为半径画圆， 则⊙O即为所求． 13．（2025秋•天宁区校级期中）如图，已知A、B、C均在⊙O上，请用无刻度直尺作图． （1）若∠A＝34°，求作一个56°的角； （2）M、N分别是BC、AC边中点，求作△ABC的内心． 【解答】解：（1）如图1，∠BCD为所作； （2）如图2，点P为所作． 14．（2025秋•姑苏区期中）用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）如图①，作出△ABC的外接圆； （2）如图②，作出△ABC的内切圆； （3）如图③，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线； （4）如图④，PQ切⊙O于点P，作出直线m，使m与⊙O相切，且m∥PQ； （5）如图⑤，PQ切⊙O于点P，作出一条直线n，使n与⊙O相切，且n与PQ的夹角中有一个角为60°． 【解答】解：（1）作BC，AC的垂直平分线，交于点O，连接OA，以点O为圆心，OA为半径作圆，则⊙O即为所求，如图： （2）作∠B，∠C的角平分线，交于点O，过点O作AB的垂线，交AB于点M，以点O为圆心，OM为半径作圆，则⊙O即为所求，如图： （3）连接OA并延长至G，使得AG＝OA，作OG的垂直平分线，则直线MN即为所求，如图： （4）作直线OP交⊙O于点E，过点E作直线m⊥PE，则直线m即为所求，如图： （5）连接OP，以点P为圆心，OP为半径作⊙P，交⊙O于点F，以点F为圆心，OF（即OP）为半径作⊙F，交⊙O于点E，则△OPF，△OEF为等边三角形，所以∠POE＝120°，连接OE，过点E作直线n⊥OE，交直线PQ于点D，则∠PDE＝60°，故直线n即为所求，如图： 15．（2025秋•新吴区期中）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的所有切线． （1）如图1，点A在圆上； （2）如图2，点A在圆外． 【解答】解：（1）如图：直线AC即为所求； （2）如图，AB、AC即为所求． 16．（2025秋•徐州校级期中）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 17．（2025秋•沛县校级期中）（1）如图，在方格纸中，A、B两点在圆上，且均为格点，仅用无刻度的直尺按要求完成作图．请在图①作出该圆的圆心O； （2）尺规作图：请在图2中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N． 【解答】解：（1）取格点E，连接AE并延长与圆交于点C，连接AB，BE， ∵BE2＝12+32＝10，AB2＝12+22＝5，AE2＝12+22＝5， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴∠BAC＝90°， ∴BC是圆的直径， ∴BC与格线的交点即为圆心O，圆心O即为所求作； （2）∵OF平分∠APB， ∴点O到PA的距离等于OM， 则⊙O与PB，PA分别相切于点M、N， 如图，⊙O即为所求作． 二．垂直弦定理（共2小题） 18．（2021秋•溧水区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 OFCD ，并证明你的结论． （2）若AB＝2，CD＝1．求⊙O的半径． 【解答】解：（1）结论：OFCD． 理由：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB． ∵OF⊥AB， ∴AF＝BF， ∵AO＝GO， ∴OF是△ABG的中位线， ∴OFBG， ∵AG是⊙O的直径， ∴∠ABG＝90°， ∴∠BAG+∠G＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB+∠EBC＝90°， ∵∠G＝∠ECB， ∴∠BAG＝∠CBD， ∴∠BAG所对弧上的圆心角等于∠CBD所对弧上的圆心角， ∴BG＝CD， ∴OFCD； （2）由（1）得：OFCD， 在Rt△AOF中，AF＝1， ∴OA， ∴⊙O的半径为． 19．（2025秋•徐州校级期中）（1）【课本再现】苏科版教材九年级上册P91页有这样一道习题：“如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D，BE与CF相等吗？为什么？”请证明； （2）【模型探究】如图2，⊙O的半径为R（R为定值），AB、CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，当点E在弦CD上运动时，AE2+DE2+BE2+CE2的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由； （3）【模型应用】在（2）的条件下，如图3，连接AC、BC．若⊙O的半径为5，，求BC的长． 【解答】解：（1）BE与CF相等．理由： ∵在⊙O内，∠AEB和∠ACB是所对的两个圆周角， ∴∠AEB＝∠ACB， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠ACB+∠CAF＝90°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴， ∴BE＝CF； （2）AE2+DE2+BE2+CE2的值不会改变，这个定值为4R2.即：AE2+DE2+BE2+CE2＝4R2． 理由：连接AO并延长交与⊙O相交于点F，连接AC，BD，CF，如图， 由（1）结论得：CF＝BD， ∴CF2＝BD2， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ACF＝90°， Rt△ACF中，AC2+CF2＝AF2， 在Rt△ACE和Rt△BDE中，AE2+CE2＝AC2，BE2+DE2＝BD2， ∴AE2+DE2+BE2+CE2＝AC2+CF2＝AF2＝（2R）2＝4R2； （3）连接AD、AO，OA，连接CO并延长与AD相交于点P，如图， ∵OA＝OD，AC＝DC， ∴CO为AD的垂直平分线， ∴CP⊥AD，AP＝DP， ∵在Rt△ACP和Rt△AOP中，AC2﹣CP2＝AO2﹣OP2＝AP2， 设OP＝x，则CP＝OC+OP＝5+x， ∴， 解得：x＝4， 即：OP＝4． 在Rt△AOP中， ∴AD＝2AP＝6， 由（2）结论得：AE2+DE2+BE2+CE2＝AD2+BC2＝4×52＝100， ∴． 三．最值+折叠（共8小题） 20．（2025秋•海门区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，﹣3），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0） 【解答】解：连接AP、AQ，作AE⊥x轴于点E， ∵点A的坐标为（﹣4，﹣3）， ∴A（﹣4，0）， ∵⊙A的半径为1， ∴AQ＝1， ∵PQ切⊙A于点Q， ∴PQ⊥AQ， ∴∠AQP＝90°， ∴PQ， ∵AP≥AE， ∴当点P与点E合时，AP＝AE，此时AP的值最小，则PQ的值最小， ∴当PQ最小时，点P的坐标为（﹣4，0）， 故选：C． 21．（2025秋•常州期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（3，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 　　 ． 【解答】解：连接PO，OQ， ∵A（3，0）、B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5， ∵PQ切圆于Q， ∴OQ⊥PQ， ∴∠PQO＝90°， ∵圆的半径是2， ∴PQ， ∴当PO最小时，PQ最小， 当PO⊥AB时，PO最小， 此时，△AOB的面积AB•POAO•OB， ∴5×PO＝3×4， ∴PO， ∴PQ， ∴切线长PQ的最小值是． 故答案为：． 22．（2025秋•新吴区校级期中）在△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，M是AC的中点，则中线BM长度的最大值为 　1　 ． 【解答】解：如图，⊙O为△ABC的外接圆，圆周角∠BAC所对应的圆心角∠BOC． ∵点M是AC的中点， ∴OM⊥AC． ∴∠OMC＝90° 以直径OC作⊙O′交BC于点D，则点M的轨迹在优弧COD上． ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°． ∴△BOC是等边三角形． ∴BO′⊥OC，BO′＝BC•sin60°． 延长BO′交⊙O′于M′，连接MM′，O′M． 在△BMM′中，BM≤BO′+O′M＝BM′． ∴BM′为BM长度的最大值． ∵BM′＝BO′+O′M′，O′M′1． ∴BM′1． 故答案为：1． 23．（2025秋•秦淮区期中）如图，在⊙O中，将沿着弦AB所在直线折叠，交弦BC于点D，连接AC．若，BD＝5，∠B＝30°，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DE的延长线交⊙O于点F，连接AF，如图所示： ∴∠DEB＝∠DEA＝90°， 由折叠性质得：点D的对应为点F， ∴∠ADB＝∠AFB， ∴四边形AFBC内接于⊙O， ∴∠C+∠AFB＝180°， 又∵∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠C＝∠ADC， ∴AC＝AD， 在Rt△BDE中，BD＝5，∠DBA＝30°， ∴DEBD， 由勾股定理得：BE， ∵AB， ∴AE＝AB﹣BE 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD， ∴AC＝AD， 即AC的长度是． 故选：A． 24．（2025秋•建邺区期中）如图，弓形纸片所在的⊙O半径为4，，CD为弦．将纸片沿CD折叠，若折叠后与AB相切，则CD的取值范围是 　4CD≤2　 ． 【解答】解：如图，与AB相切于点F，点G为的圆心，点E为AB中点，连接GF，OE，延长GO交AB于点P，OG交CD于点M， 设EF＝m，根据题意点G与点O关于CD对称，GF＝AO＝CO＝4，AE2． 由垂径定理OE⊥AB，OE2． 根据切线的性质GF⊥AB，则OE∥GF，根据平行线分线段成比例，， ∴EO是△GFP的中位线，FP＝2m，GP2，OG，MO． 由折叠的性质，OM⊥CD，根据垂径定理，点M是CD中点， 在Rt△CMO中，CM． CD＝2CM， ∵0≤m≤2， ∴4CD≤2． 故答案为：4CD≤2． 25．（2025秋•徐州校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝30°，BC＝4，点D为线段BC上一个动点，连接AD，以CD为直径的⊙O交AD于点E，若点D从点C运动到点B，则点E运动的路径长为　　 ． 【解答】解：如图，连接CE， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴点E在以AC为直径的圆上， 设AC的中点为O，当点D从点C运动到点B时，点E运动的路径即为， 如图，连接OE， ∵∠BAC＝45°， ∴∠COE＝2∠BAC＝90°， ∵∠BEC＝90°，∠B＝30°，BC＝4， ∴，， ∴， 即点E运动的路径长为； 故答案为：． 26．（2025秋•沛县校级期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角． ①∠A的度数为　60　 °； ②连接BD，若⊙O的半径为5，求线段BD的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA，若CA平分∠BCD，若⊙O的半径为6，求BC+CD的最大值是多少？ 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角， ∴∠BCD＝2∠A，∠BCD+∠A＝180°， ∴2∠A+∠A＝180°， 解得∠A＝60°， 故答案为：60． ②作圆的直径DN，连接BN，如图1， 则∠DBN＝90°，∠N＝∠A＝60° ∵圆的半径为5， ∴DN＝10， ∵∠BDN＝90°﹣60°＝30°， ∴． ∴． （2）如图2，延长DC到点M，使得CM＝CB，连接MB，BD， ∵四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角， ∴∠BCD＝2∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°， ∴2∠BAD+∠BAD＝180°， 解得∠BAD＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCM＝∠ACB＝∠ACD＝60°， ∴△CMB是等边三角形， ∴BC＝BM，∠ABD＝∠CBM＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBM+∠DBC， ∴∠ABC＝∠DBM， 在△DBM和△ABC中， ， ∴△DBM≌△ABC（AAS）， ∴AC＝DM， ∵DM＝CM+CD， ∴AC＝BC+CD． ∵AC是⊙O的一条弦， ∴当AC是直径时，AC取最大值12， 即BC+CD的最大值是12． 27．（2025秋•句容市期中）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆，⊙O上有且只有两个点到直线l的距离等于3，则r的取值范围　2＜r＜8　 ． 【解答】解：根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线L的距离均为3， 则当圆与直线l外离时，r＞5﹣3＝2； 当圆与直线相交时，r＜5+3＝8； 所以2＜r＜8． 故答案为：2＜r＜8． 四．圆综合（共6小题） 28．（2025秋•句容市期中）如图，正方形ABCD的边长为4cm，F是DC的中点，E点从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接EF，以点E为圆心，EF长为半径作⊙E．当⊙E与正方形ABCD的边相切时，则点E的运动时间t为　或　 s． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4cm， ∴∠D＝∠C＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm， ∵F是DC的中点， ∴cm， 当⊙E与直线AB相切时，如图1， ∵∠ABC＝90°， ∴切点为B， 此时BE＝EF，CE＝BC﹣BE＝4﹣BE， 在Rt△EFC中，由勾股定理得：CF2+CE2＝FE2， ∴（4﹣BE）2+22＝BE2， 解得：， ∴点E的运动时间t为2（s）； 当⊙E与直线AD相切时，如图2，设切点为K，连接EK，则EK⊥AD， ∴四边形EKDC是矩形． ∴FE＝EK＝CD＝4， 在Rt△EFC中，由勾股定理得：CE2（cm）， ∴BE＝BC﹣EC＝（4﹣2）cm， ∴点E的运动时间t为2＝（2）s， 综上所述，点E的运动时间t为或， 故答案为：或． 29．（2025秋•响水县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是 　或r＝2　 ． 【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，OH⊥AB于点H，连接OA，OB，OC，如图所示： ∵点O是△ABC的内心， ∴设OE＝OF＝OH＝a， ∴以点O为圆心，以OE为半径的圆与AB相切于点A， 此时⊙O与线段AB有且只有一个公共点， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得：AB10， ∵S△OAC+S△OBC+S△OAB＝S△ABC， ∴AC•OFAC•OEAB•OHAC•BC， ∴4a+3a+5a＝24， 解得：a＝2， ∴OE＝OF＝OH＝a＝2， ∴BE＝BC﹣CE＝4，当⊙O的半径r＝2时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点， 另外，当OB＜r≤OA时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点， 在Rt△OBH和Rt△OBE中， ， ∴Rt△OBH≌Rt△OBE（HL）， ∴BH＝BE＝4， ∴AH＝AB﹣BH＝6， 在Rt△OBH中，由勾股定理得：OB， 在Rt△OAH中，由勾股定理得：OA， ∴当时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点， 综上所述：当或r＝2时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点． 故答案为：或r＝2． 30．（2025秋•徐州校级期中）【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，，请在纸片上找一点P，使得∠APB＝45°． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以AB为弦的圆弧上…，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）∠AOB＝ 　90　 °； （2）所在的圆的半径长为 　2　 ； （3）△ABP面积的最大值为 　44　 ． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片ABCD上有一点Q，且∠AQB＝30°． （4）请在纸片ABCD上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （5）连接DQ，则线段DQ的最小值为 　4　 ； （6）过点Q作QH⊥AB，垂足为H．若△QAB的面积的最小值为，则AH长的范围是 　1≤AH≤3　 ． 【解答】解：（1）∵∠APB＝45°，∠AOB、∠APB分别为的圆心角和圆周角， 则∠AOB＝2∠APB＝90°， 故答案为：90； （2）所在的圆的半径长＝OAAB＝2， 故答案为：2； （3）当点P在AB的中垂线上时，△ABP面积的最大， 延长PO交AB于点G，则GO⊥AB， 在等腰Rt△AOB中，AB＝4，则OG＝AG＝BG＝2，OA＝2， 则PG＝22， 则△ABP面积的最大值AB×PG（2）×4＝44， 故答案为：44； （4）分别以点A、B为圆心，以AB长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，AB长度为半径作圆O，分别交AD、BC于点M、N， 则上的任意点即为点Q； （5）当点D、Q、N共线时，DQ最小， 连接OQ，过点O作OP⊥QH，作OG⊥AB于点G，作OT⊥AD于点T， 由（4）知，OA＝OB＝AB＝4，则BG＝2，OG＝2PH＝AT，AGAB＝2＝OT， 则DT＝AD﹣AT＝523， 则OD，而圆O的半径（r）为4， 则DQ的最小值OD﹣r4， 故答案为：4； （6）∵△QAB的面积AB×QHQH， 则QH＝2，而PH＝2，则PQ， 则OP1，则BH＝2﹣1＝1， 即若△QAB的面积的最小值为，则AH长的范围是1≤AH≤3， 故答案为：1≤AH≤3． 31．（2025秋•响水县期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为4cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： （1）通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为　4　 ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　8　 ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为　8　 ； （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【解答】解：（1）（Ⅰ）如图①， 连接AC， ∵∠ABC＝90°， ∴AC4， ∴最小直径为：4， 故答案为：4； （Ⅱ）如图②， ∵OD＝4， ∴最小直径为：8， 故答案为：8； （Ⅲ）如图③， 直径EF＝8， 故答案为：8； （2）如图1， 可得：AD＝8，BD＝2，CD＝6， ∵∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AB，AC10， ∴sin∠ACB， ∴直径． 方法2：设圆心为O，GH与AB交点为P，连接OA、OB、ON， ∵PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON， ∴O在PG上，AP＝BP＝AB＝2cm， 设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝（8﹣x）cm， 在Rt△AOP中，OA2＝AP2+OP2， 在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2， ∴AP2+OP2＝NG2+OG2， ∴22+（8﹣x）2＝42+x2， 解得x， ∴ONcm， ∴直径为cm． 32．（2024秋•鼓楼区期中）尺规作图： 已知线段AB和⊙O，将线段AB沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在⊙O上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段A'B'．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． （1）如图1，AB的长度等于⊙O的直径； （2）如图2，AB的长度小于⊙O的直径． 【解答】（1）解：作法如下： ①作线段AB的垂直平分线，取线段AB的中点O'； ②以O'为圆心，AB为半径作⊙O'，连接OO'； ③作OO′的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点B'； ④连接B'O并延长交⊙O于点A'，线段A'B'即为所求． （2）解：作法如下： 注：⊙O'位于AB两侧，有两种情况，作法相同： ①作线段AB的垂直平分线m，在直线m上取点O'，使得OA'等于⊙O的半径长，作⊙O的等圆⊙O'； ②连接OO'，作OO'的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点B'，A关于直线l的对称点A'； ③连接A'B'，线段A'B'即为所求． 当O'位于AB的右侧时：如图线段A'B'即为所求： 当O'位于AB的左侧时：如图线段A'B'即为所求： 33．（2025秋•泉山区校级期中）【阅读理解】 三角形两个内角的角平分线相交所形成的钝角，称为该三角形第三个内角的“好望角”． 【探究发现】如图1，∠D是△ABC中∠A的好望角，∠A＝α，请用含α的代数式表示∠D． 【实践应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且∠ACE+∠BDE＝180°．求证：∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角． 【拓展提升】如图3，在图2条件下，若∠BAC＝90°，BC＝8，则线段AE的最大值为　8+4　 ． 【解答】（1）解：∵∠D是△ABC中∠A的好望角， ∴BD，CD是△ABC的角平分线， ∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∴∠DBC+∠DCB∠ABC∠ACB（180°﹣α）＝90°α， ∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣90°α＝90°α， （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC， ∵∠BDE＝∠BCE，∠ACE+∠BDE＝180°， ∴∠ACB+∠BCE+∠BDE＝∠ACB+2∠BDE＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣2∠BDE， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣2∠BAD﹣180°+2∠BDE＝2∠BDE﹣2∠BAD， ∵∠BDE＝∠BAD+∠ABD， ∴∠ABD＝∠BDE﹣∠BAD， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∴BD平分∠ABC， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠ADB是△ABC中∠ACB的好望角； （3）解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠BDC是△ABC的好望角， ∴∠BDC＝90°∠BAC＝135°， ∴∠BOC＝360°﹣2∠BDC＝90°， ∴△BOC为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵∠BAC+∠BOC＝180°， ∴四边形ABOC是圆内接四边形， ∴∠BAO＝BCO＝45°， ∵∠BAE＝45°， ∴AO与AE重合，即点O一定在AE上， ∵BC＝8， ∴OB＝OCBC＝4， ∴OE＝4， ∵∠ABO+∠ACO ∵AE＝OA+OE＝OA+4， ∴当OA最大时，AE的值最大， ∵∠BAC＝90°，∠BOC＝90°， ∴∠BAC+∠BOC＝180°， ∴A，B，O，C在BC为直径的圆上， ∴OA为直径时最大，此时OA＝BC＝8， ∴AE的最大值为8+4， 故答案为：8+4． 五．课后作业（共6小题） 34．（2025秋•海安市期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，外角∠CBE的度数为50°，则∠AOC的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 【解答】解：在优弧ADC上取一点D，连接AD，CD， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠D＝∠CBE＝50°， ∴∠AOC＝2∠D＝100°， 故选：C． 35．（2025秋•新吴区校级期中）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM． ∵DH⊥AC， ∴∠AHD＝90°， ∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上， ∴当M、H、B共线时，BH的值最小， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD12， BM13， ∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8． 故选：D． 36．（2025秋•泉山区校级期中）如图，四边形ABCD圆内接四边形，已知∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝8，则四边形ABCD的面积为多少 　32　 ． 【解答】解：延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE， 由条件可知∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 又∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴AE＝AC＝8，∠EAB＝∠CAD， ∴∠EAC＝∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：32． 37．（2025秋•阜宁县期中）如图，在⊙O中，弦CD的长为16，OE⊥CD，交CD于点G，交⊙O于点E，OG：GE＝3：2．求GE的长． 【解答】解：如图，连接OC． 设OC＝OE＝5m， ∵OG：GE＝3：2， ∴OG＝3m，GE＝2m， ∵OE⊥CD， ∴CG＝GDCD＝8， ∵OC2＝OG2+CG2， ∴（5m）2＝（3m）2+82， 解得m＝2， ∴GE＝2m＝4． 38．（2025秋•扬中市期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，CB＝CD，过点C作CE⊥AD，交DA的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若BD＝4，AE＝1，求⊙O的半径长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵CB＝CD，OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，∠CDB＝∠CBD， ∵∠CAB＝∠CDB， ∴∠CDB＝∠CBD＝∠OAC＝∠OCA， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CAD+∠CBD＝180°， ∵∠CAD+∠CAE＝180°， ∴∠CAE＝∠CBD， ∴∠CAE＝∠CAB＝∠OCA， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠OCA+∠ACE＝90°，即∠OCE＝90°， ∴OC⊥CE， ∵OC为⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：如图，过C作CF⊥AB于点F， 则∠AFC＝∠CFB＝90°， 由（1）得∠CEA＝90°，∠CAE＝∠CAF， ∴∠CEA＝∠CFA＝∠CFB＝90°， ∵AC＝AC， ∴△CEA≌△CFA（AAS）， ∴AE＝AF＝1，CE＝CF， 在Rt△CED和Rt△CFB中， ， ∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL）， ∴ED＝FB， 设AD＝x，则AB＝x+2，ED＝x+1， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴（x+2）2＝x2+42， 4x+4＝16， 4x＝12， ∴x＝3， ∴AB＝5， ∴⊙O的半径长为． 39．（2025秋•响水县期中）如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D． （1）求证：∠CAD＝∠BAC； （2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由． 【解答】（1）证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA， 易得∠OCA＝∠OAC． ∵AD⊥EF， ∴OC∥AD． ∴∠OCA＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠OAC． 即∠CAD＝∠BAC． （2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG． 证明如下： 如图二，连接BG． ∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形， ∴∠ABG+∠ACG＝180°． ∵D，C，G共线， ∴∠ACD+∠ACG＝180°． ∴∠ACD＝∠ABG． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BAG+∠ABG＝90° ∵AD⊥EF ∴∠CAD+∠ACD＝90° ∴∠CAD＝∠BAG． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/16 15:46:42；用户：18247042488；邮箱：89572204@qq.com；学号：20331983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $