第3章 圆 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆全章综合训练 课时目标 理解全章圆的基本概念与定理体系，掌握各知识点的内在联系。 2 掌握垂径定理、圆周角定理、切线、圆内接四边形等核心结论的综合运用。 能综合运用圆的有关知识解决弦、弧、角、位置、正多边形与圆锥的计算与证明。 课时目录 知识点01：圆的概念与基本元素的综合辨析 知识点02：圆心角、弧、弦、弦心距关系的综合应用 知识点03：垂径定理与勾股定理的综合应用 知识点04：圆周角定理及其推论的综合应用 知识点05：圆内接四边形性质的综合应用 知识点06：点、直线与圆的位置关系的综合判定 知识点07：切线判定与性质的综合应用 知识点08：切线长定理与角平分线、全等的综合应用 知识点09：正多边形与圆、弧长与扇形面积的综合应用 知识点10：圆与圆锥侧面展开图的综合计算 1/22 知识点01：圆的概念与基本元素的综合辨析 综合回顾圆的基本元素：弦（含直径）、弧（劣弧、优弧、半圆）、圆心角与圆周角。 辨析时关注顶点位置与端点归属。 例如：直径是最长弦，半圆是特殊弧，圆周角顶点在圆上。 注意：区分弦与弧、圆心角为半径夹角、圆周角两边须交圆。 1.(25-26九年级上·江苏准安·期中)墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图 形是() A.圆 B.正方形 C.梯形 D.三角形 2.(25-26九年级上：江苏盐城阶段检测)中国古建筑中常见的“天地之和比”是古人从圆和方的关系中 得出的.如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，点F是以点A为圆心、AC为半径的弧与AD延长线 AF 的交点，称D的值为“天地之和比”，则“天地之和比”的值为一 3.(25-26九年级上江苏镇江·阶段检测)如图，AB是O0的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙0 上，且CD=OE,CD的延长线交⊙0于点E.若∠C=28°，则∠CE0度数为°. E D B 4.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙0 上，且CD=OB,CD的延长线交⊙O于点E.若∠C=24°，求∠BOE的度数. 2/22 知识点02：圆心鱼。孤、弦、弦心距关系的综合应里 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者“知一推三”：其一相等则其余都相等。 例如：弦相等可推弦心距相等、所对弧与圆心角相等。 注意：必须同圆或等圆：综合题常先找相等量再逐层推导其余量。 5.(25-26九年级上·江苏苏州期中)如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，D为弧BC中点， 若弧AC的度数为40°，则∠BOD的度数为() A.35° B.50° C.60° D.70° 6.(25-26九年级上·江苏泰州期末)如图，将大小不同的两块量角器的零刻度线对齐，大、小量角器的 0102m 中心分别为、 2,且恰好在大量角器的圆周上，图中两圆周的交点为P,点P在大量角器上对应 的刻度为48°，则点P在小量角器上对应的刻度为 °（填小于90°的角）· 平中平中中中平中平今多 70 105 90 75 120 60 A05 、00 50 2 。刻 7.(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)△ABC是⊙O的内接三角形，如果AB=AC,∠AOB=100°，那 么∠AOC= 8.(25-26九年级上~江苏连云港期中)如图，已知AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，4C川OD 3/22 D B BD=CD (1)求证： ②若1 的度数为58° ，求∠AOD的度数 知识点03：垂径定理与勾股定理的综合应用 垂径定理常配勾股定理求弦长、半径、弦心距：半径2=弦心距2十（弦长÷2)2。 例如：r=5、弦心距=3，则半弦=4、弦长=8。 注意：先作圆心到弦的垂线得直角三角形，再代入计算，别漏“半弦”。 C E 0 D 9.(25-26九年级上江苏南通阶段检测)如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D.若 AB=8,OC=5,则CD的长是() 0 D B A.4 B.3 C.2 n 10.(25-26九年级上江苏南通期末)如图，在半径为 4v3 的圆中，垂直平分半径OA的弦BC的长为 () 4/22 A A.6 B.4V5 C 6v3 D.12 11.(2026江苏南京·一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD于点E,若AB=10, CD=8,则BE=一· E D B 12.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，AB、CD是⊙0的弦，M、N分别为AB、CD的中点， 且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD M 知识点04：圆周鱼定理及其推论的综合应用 圆周角定理及推论（同弧圆周角相等、直径所对圆周角直角、90°圆周角所对弦为直径）常 用于求角与证边。 例如：直径所对圆周角为90°可构造直角。 注意：先确定“同弧”，再选对应推论，避免错用不同弧的关系。 13.(2026江苏宿迁·二模)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，若∠A=62°，连接OB,则∠OBC的度数 是() 5/22 B A.31 B.28 C.29° D.32° 14.(2026江苏盐城一模)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在圆周上，若∠D=24°，则∠A0C的度 数是 B D 15.(25-26九年级下·江苏盐城期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O,四边形OBCD是平行四边形，则 ∠DAB的度数为 D 16.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，AB是O0的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两点， 且ODI∥AC,OD与BC交于点E. E (I)求证：E为BC的中点： ②)若AC=6,DE=2,求BC 6/22 知识点05：圆内接四边形性质的综合应里 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，可求角、证相等。 例如：已知一内角100°，对角80°。 注意：先证四点共圆（或题设己内接），再用性质；邻角不互补，勿张冠李戴。 A B D 17.(2026江苏徐州·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙O的直径，若BC=OB,则∠ADC 的度数为() D B A.100° B.150° C.130° D.120° 18.(2026江苏扬州·一模)如图，在口ABCD中，过A、C、D三点的⊙O与AB相交于点E.若 ∠A=104°，则∠BCE的值为() A D 0 A.26° B.52° C.38° D.28 19.(25-26九年级下·江苏常州阶段检测)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，连接OA,0C,若 7/22 ∠B=128°，则∠AOC的度数是() A.52° B.104° C.110° D.128° 20.(2026江苏南京·模拟预测)由图形的旋转想到的 【模型提炼】 ()将线段AB绕点O旋转一定角度得到线段A'B',A,B分别是A、B的对应点.如图①，求作旋转中 心O.(要求：尺规作图，保留作图痕迹) A B 图① 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线1，分别交∠AOB的两边OAOB于点C、D,使OC+OD=m,试用尺规 作图确定直线1的位置. 【分析问题】 根据点P与∠AOB的位置不同，可以分成点P在∠AOB边上、在∠AOB内部、在∠AOB外部三种情况. (2)当点P在∠AOB的边上，如图②，点P在∠AOB的边OA上，作出直线I, B 图② 【模型应用】 3)当点P在∠AOB的内部，如图③，如何作出直线1呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下 8/22 作法： B m 图③ 第一步：在OA上取OM=m: 第二步：作OM的垂直平分线交∠AOB的平分线OE于E: 第三步：连接PE,以PE为底边作等腰△PEF,且∠PFE=∠AOB, 第四步：以F为圆心，以FP为半径作⊙F,交OA于点C: 第五步：过点P作直线CD,交OB于点D. 则直线CD就是所求的直线I. 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）， 4)当点P在∠AOB的外部如图④，作出直线1.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字 说明) B 图④ 知识点06：点直线与圆的位置送系的综合判定 用数量关系判定：点看d与r(d<r内、=上、>外)：直线看圆心到直线距离d与r(d >r离、=切、<交)。 例如：d=r即相切。 注意：点的d是到圆心距离，直线的d是圆心到直线垂线段长，二者区分清楚。 9/22 d=r 21.(25-26九年级上·江苏连云港阶段检测)已知⊙0的直径为4，点0到直线1的距离为4，则直线1与 ⊙0 的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 22.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)已知⊙0的半径为8，圆心0到直线l的距离是5，直线1与 ⊙0 位置关系是」 23.(25-26九年级上·江苏无锡阶段检测)⊙0的直径为8，圆心0到直线的距离为3，则直线与⊙0的位 置关系是 24.(24-25九年级上江苏南京期中)在R1△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,以C为圆心，R为半径 画圆，若⊙C与边AB有两个公共点，则R的取值范围是 知识点07：切线判定性质的综合应里 判定用“过半径外端且垂直”，性质用“切线⊥过切点半径”。 结合可证相切并构造直角。 例如：见切点连半径得垂直，再用勾股。 注意：判定与性质方向相反；综合题常先判定再运用性质。 25.(2026江苏南京·二模)下列说法正确的个数是() ①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧. ②90°的角所对的弦是直径， ③圆的切线垂直于经过切点的半径. 10122 ④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 26.(2026江苏南京·二模)如图，正方形ABCD的边长为4，OO经过B,C两点，且与AD相切，则 ⊙0 的半径为 B 27.(2026江苏泰州：二模)如图，将5×5的正方形方格纸放在平面直角坐标系x0少中，点A、B的坐标 分别为Q,2).(44),以B为直径作OM,过'轴上一点P,向OM引两条切线，若两个切点都是 格点，则P点坐标为 M 28.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，AB为⊙0直径，点C为⊙0上一点，AC平分∠HAB, AH⊥CH 垂足为H,AH卖⊙0 HC⊙O 交于点D.求证：直线是的切线 知识点08：切线长定理与角平分线、全等的综合应用 切线长定理给出切线长相等、PO平分夹角，可证等腰、角平分，配合全等与勾股求线段。 11/22 例如：PA=PB且PO平分∠APB。 注意：连圆心、切点、圆外点构造全等直角三角形是常规思路。 4 29.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，⊙0是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是12，面 积是24，则⊙0的半径是() A.1.5 B.3 C.4 D.6 30.(25-26九年级上江苏南通期中)如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC=7cm, ⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN, 则剪下的三角形的周长为() B A.12cm B.11cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 31.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙0于点A、B,CD切 ⊙ 于点起，分别交M、B于点C,D,若PH=4,则PCD 的周长为一… 12122 O。 B 32.(25-26九年级上江苏南京期中)己知⊙0，按下列要求完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，并写 出必要的文字说明) ① ② (I)在图①中，求作一点M,使经过点M的⊙O的两条切线互相垂直； (②)点P的位置如图②所示.求作弦AB,CD,使AB=CD,且AB⊥CD,垂足为P 【知识点09：正多边形与圆、弧长与扇形面积的综合应用 正多边形中心角=360°÷n,可结合弧长、扇形面积计算。 例如：正六边形中心角60°，其外接圆中等弧可求弧长。 注意：分清正多边形的半径（中心到顶点）与边心距，二者不同。 33.(2026江苏南京·三模)在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n边形，则可以是 (写出一个)· 34.(2026江苏南京三模)如图，在正五边形ABCDE中，过点A的⊙0分别与边BC,DE相切于点 F,G,P FG 为心上一点，则2P= B ○ 35.(25-26九年级上江苏扬州期末)如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点G为AB中点，连接 13122 FG,若AB=4,则FG的长度为. 36.(2026江苏镇江·中考真题)综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的. 第5跑道外侧线 A 图1 ML 9-二标准路线 最内侧线 图2 图3 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究.在图3中，弯道 跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，OA与直线跑道垂直.最内道的跑步路线（图3中的虚 线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽。起跑点C是O1与标准路线的交点。 0C=6 从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等. 【认识原理】 C C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点. Q)M是GT上异于点T的一点.线段CM与M7的长度之和 切线CT的长.（填“><或 42”) ②从点9出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线 14122 跑完全程.小组成员发现：切线CT的长与CT的长相等，他们的发现是香正确？为什么？ T2 C,2CT的长 3)过起跑线上一点C(点C在点C的外侧)作虚线半圆的切线，切点为？.判断切线C, 度之差与 的长是否相等？请说明理由. 【理解原理】 C是起跑线上的点，经测量，点G与圆心0的距离为10，设从点C出发的选手沿切线方向跑到 C ①3 ∠COT 点后，再沿标准路线跑完全程，求 的度数。（结果保留） 【设计方案】 C (⑤)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置.（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点 的步骤) 知识点10：圆与圆推侧面展开图的综合计算 圆锥展开为扇形：母线1=扇形半径，底面周长2加=扇形弧长，S侧=l。 例如：r=3、1=5则S侧=15π。 注意：紧扣“底面周长=扇形弧长、母线=扇形半径”两对应，圆心角=360r÷l。 37.(2026江苏常州·一模)己知圆锥的底面半径为4cm,母线长是8cm,则圆锥的侧面积是_cm2 (结果保留). 38.(2026江苏宿迁·一模)一个圆锥形生日帽的底面直径是18cm,母线长是20cm,则它的侧面积是 cm2. 39.(2026江苏盐城一模)如图，用一张圆心角为120°，半径为6的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，则 这个圆锥的底面半径是 6 1209 6 40.(2026江苏南京·一模)用半径为10Cm,圆心角为60°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥 15122 的底面圆半径为cm。 几全章训练 一、选择题 1.(25-26九年级上江苏无锡期中)⊙0的半径为6，点P到圆心0的距离为3，点P与⊙0的位置关系 是() A.点P在⊙0外B.点P在⊙O内 C.点P在⊙0上 D.无法确定 2.(25-26九年级上·江苏泰州阶段检测)如图，OC是⊙0的半径，AB是⊙0的弦，且OC⊥AB于点D 若OA=10,OD=6,则弦AB的长是() B A.16 B.17 C.18 D.19 3.(2425九年级上江苏宿迁·期中)下列说法正确的是() A,两个半圆是等弧 B.相等的圆心角所对的弧相等 C,三角形的外心到三角形的三边距离相等D.等弧所对的圆心角相等 4、(25-26九年级下江苏常州阶段检测)如图。四边形1BCD内接于O0,连接BD.者C=D, ∠DBC=50°，则∠ABC的度数是() 16122 6 A.125° B.130° C.140° D.145 5.(25-26九年级上江苏泰州期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D、E分别是 AC、BC的中点，以DE为直径的⊙O交AB于点F、G,则FG的长度为() D G E B 7 6 A.10 B.1 c.5 D.5 6.(2425九年级上江苏南京阶段检测)如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则 B配的度数为（） E A.15° B.30° C.45° D.60° 7.25-26九年级上江苏淮安阶段检测)如图。直线，直线m分别交、2于点4、8，以4为圆 心，AB长为半径画弧，分别交、（于直线m同侧的点C、D,∠ADB=36°，B=10,则D的长 等于()· 17122 m D 7 7 A.20元 B.4π C.2π D.4 8√3c 8.(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，从边长为 cm的等边三角形中剪一个最大的扇形MDE,若 用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为() D E B A.Icm B.V3cm C.2cm D.23cm 二、填空题 9.(25-26七年级下·江苏扬州：期中)圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动4m,水 ,S1S2 平位置的直径向下移动5cm,把圆分成如图所示的四个部分，其中①②3④的面积分别记为， ,8.则⑧，+9)(+S)= cm2 ① ② ●0 ③ ④ 10.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)半径为13cm圆内的两条平行弦分别为10cm和24cm长，则两 条平行弦之间距离是 18122 11.(25-26九年级上·江苏徐州阶段检测)如图，圆锥的母线AB=6,则其侧面展开图扇形的圆心角 a=110°，则底面半径CB= B 12.(25-26八年级上江苏南通期末)如图，在R1△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中 阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当AB=10,BC=6时，阴影部分的面积为一· B 13.(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，往半径为5dm的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽 AB=8dm,则水的最大深度为_dm. 14.(26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测)下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等 的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补：④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等.正确的有」 (填序号) 15.(25-26九年级上江苏盐城期末)如图，已知AB为⊙0的直径，C,D为⊙0上两点，且BD平分 ∠ABC,连接CD,AC,若∠CDB=32°，则∠ACD的度数为一 19122 B 16.(25-26九年级上江苏泰州期中)如图，在⊙0中，AB是⊙0的弦.C为⊙0上一点，∠4CB=60°， 连接AO并延长至点D,过点D作DE‖AC交BC于点E,连接CD,AE.当AD=6时，四边形 ACDE面积的最大值为 D E B 三、解答题 17.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，点0在AB上，以点0为圆心、 OA AC AB BC⊙O 长为半径的圆分别交， 于点E,F,直线与相切于点D. C E D B (I)证明AD平分∠BAC: (②)若OA=2,∠B=30°，求涂色部分的面积（结果保留π和根号）， 18.(25-26九年级上江苏镇江期末)如图，在△ABC中，D是BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A, 且∠CAD=∠ABC. 20122 (I)求证：AC所在直线是⊙0的切线： (2)若⊙0的直径为6，CD+CA=6,求AC的长. 19.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，点A,B,C在⊙0上，C0LAB于点G,交⊙0于点E,连 接AC,BD⊥AC于点D,BD与CE相交于点F, B (1)若AB=6,EG=2,求⊙0的半径： (2)求证：BF=BE 20.(2026江苏盐城中考真题)小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动. 【新定义】 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧. 一个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点， 顺时针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线 圆”· 如图2，动点Q从确定的射线的端点P出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线 所在的直线相切于点，那么点的运动就是“射线圆”运动，图中的圆就是“射线圆”· 21122 P A 1.5cm -a 6 图1 图2 图3 图4 图5 【理解】 (I)请用直尺和圆规作图，探索下列问题.（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为P的射线l,再作动点卫关于射线l的半径为1.5cm的“射线圆”. ②如图4，已知端点为N的射线I和直线a,1⊥a,动点M从点N出发做“射线圆”运动，当动点 M落在直线a上时停止运动.在直线a上作出到点N距离最大的点M的位置， 【运用】 (2)如图5，点A到直线b的距离为2cm,从点A出发的动点做半径为3cm的“射线圆”运动，当 动点Q落在直线b上时停止运动.在动点Q落在直线b上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位 置之间的距离 22122 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 全章综合训练 ▌课时目标 1. 理解全章圆的基本概念与定理体系，掌握各知识点的内在联系。 2. 掌握垂径定理、圆周角定理、切线、圆内接四边形等核心结论的综合运用。 3. 能综合运用圆的有关知识解决弦、弧、角、位置、正多边形与圆锥的计算与证明。 ▌课时目录 知识点01：圆的概念与基本元素的综合辨析 知识点02：圆心角、弧、弦、弦心距关系的综合应用 知识点03：垂径定理与勾股定理的综合应用 知识点04：圆周角定理及其推论的综合应用 知识点05：圆内接四边形性质的综合应用 知识点06：点、直线与圆的位置关系的综合判定 知识点07：切线判定与性质的综合应用 知识点08：切线长定理与角平分线、全等的综合应用 知识点09：正多边形与圆、弧长与扇形面积的综合应用 知识点10：圆与圆锥侧面展开图的综合计算 ▌知识点01：圆的概念与基本元素的综合辨析 综合回顾圆的基本元素：弦（含直径）、弧（劣弧、优弧、半圆）、圆心角与圆周角。 辨析时关注顶点位置与端点归属。 例如：直径是最长弦，半圆是特殊弧，圆周角顶点在圆上。 注意：区分弦与弧、圆心角为半径夹角、圆周角两边须交圆。 1．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，这个图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的定义，解题的关键是掌握圆的定义．利用圆的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，“一中”指的是定点（圆心），“同长”指的是到定点的距离相等（半径）， 所以该图形是圆． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）中国古建筑中常见的“天地之和比”是古人从圆和方的关系中得出的．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，点F是以点A为圆心、 AC 为半径的弧与AD延长线的交点，称 的值为“天地之和比”，则“天地之和比”的值为___． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，以及圆的知识，运用勾股定理求值是解题的关键． 根据以及勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 故答案为 ． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为______． 【答案】56 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆的基本概念，根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出． 【详解】解：连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌知识点02：圆心角、弧、弦、弦心距关系的综合应用 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者“知一推三”：其一相等则其余都相等。 例如：弦相等可推弦心距相等、所对弧与圆心角相等。 注意：必须同圆或等圆；综合题常先找相等量再逐层推导其余量。 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：∵的度数为， ， ， 为中点， ． 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，将大小不同的两块量角器的零刻度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，图中两圆周的交点为，点在大量角器上对应的刻度为，则点在小量角器上对应的刻度为___________（填小于的角）． 【答案】66 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握用量角器测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键．连接，，由点P在大量角器上对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在小量角器上对应的刻度． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵大、小量角器的中心分别为、，点P在大量角器上对应的刻度为， ∴， ∵， ∴， ∴点P在小量角器上对应的刻度为． 故答案为：66． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）是的内接三角形，如果，，那么________． 【答案】 【分析】本题考查圆心角，弦，弧之间的性质．由，根据等弦对等弧的性质，可得，再根据等弧对等圆心角，即可得． 【详解】解：， ． 又∵和分别是和所对的圆心角， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ， ． ， ，． ． ； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）略 （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． ▌知识点03：垂径定理与勾股定理的综合应用 垂径定理常配勾股定理求弦长、半径、弦心距：半径²＝弦心距²＋（弦长÷2）²。 例如：r＝5、弦心距＝3，则半弦＝4、弦长＝8。 注意：先作圆心到弦的垂线得直角三角形，再代入计算，别漏“半弦”。 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出x即可． 【详解】解：连接， 设， ∵是的弦，半径于点D．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 解得（舍去）， ∴． 故选：C． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在半径为的圆中，垂直平分半径的弦的长为（   ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质，连接，令交于点，由题意可得，，，，由勾股定理可得，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，令交于点， ， 由题意可得：，，，， 由勾股定理可得， ∴， 故选：D． 11．（2026·江苏南京·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先求出半径，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵是的弦，于点E，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、是的弦，、分别为、的中点，且．求证：． 【答案】 证明：如图，连接 ∵点，分别为，的中点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，根据垂径定理求出，，推出，推出，根据等腰三角形的判定推出，进而证明得出，即可得证． 【详解】略 ▌知识点04：圆周角定理及其推论的综合应用 圆周角定理及推论（同弧圆周角相等、直径所对圆周角直角、90°圆周角所对弦为直径）常用于求角与证边。 例如：直径所对圆周角为90°可构造直角。 注意：先确定“同弧”，再选对应推论，避免错用不同弧的关系。 13．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的内接三角形，若，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ， ． ， ， ． 14．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，点、在圆周上，若，则的度数是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 15．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为__________． 【答案】/60度 【分析】根据圆周角定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，进而求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形内接于， ， ， ． 16．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． ▌知识点05：圆内接四边形性质的综合应用 圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，可求角、证相等。 例如：已知一内角100°，对角80°。 注意：先证四点共圆（或题设已内接），再用性质；邻角不互补，勿张冠李戴。 17．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可证明是等边三角形，得到，再由圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴点O在上， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 18．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 19．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆内接四边形的性质得，由圆周角定理得． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2026·江苏南京·模拟预测）由图形的旋转想到的 【模型提炼】 (1)将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图①，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【提出问题】 若过平面内一点P存在直线l，分别交的两边于点C、D，使．试用尺规作图确定直线l的位置． 【分析问题】 根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况． (2)当点P在的边上，如图②，点P在的边上，作出直线l． 【模型应用】 (3)当点P在的内部，如图③，如何作出直线l呢？小红观察图①，结合旋转的性质，想到如下作法： 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 请说明小红作图的正确性（写出主要思路即可）． (4)当点P在的外部如图④，作出直线l．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1) (2) 如图，直线l即为所求； (3) 如图③， 理由：∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (4) 第一步：在上取； 第二步：作的垂直平分线交的平分线于E； 第三步：连接，以为底边作等腰，且； 第四步：以F为圆心，以为半径作，交于点C； 第五步：过点P作直线，交于点D． 则直线就是所求的直线l． 【分析】 （1）根据旋转的性质得出，，故点O是和的垂直平分线的交点； （2）由过平面内一点P存在直线l，当点P在的边上，则点C与点P重合，先在线段上截取，再在上截取，然后作直线即可； （3）先证明，，结合，进而得出，可证点O，C，E，D共圆，可证，然后证明即可说明小红作图的正确性； （4）仿照（3）的作法及说明方法解答即可． 【详解】（1）解：如图①，连接，，作和的垂直平分线，交于点O，则点O即是所求作的旋转中心； （2）略 （3）略 （4）解：理由：连接， ∵的垂直平分线交的平分线于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点O，C，E，D共圆， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌知识点06：点、直线与圆的位置关系的综合判定 用数量关系判定：点看d与r（d＜r内、＝上、＞外）；直线看圆心到直线距离d与r（d＞r离、＝切、＜交）。 例如：d＝r即相切。 注意：点的d是到圆心距离，直线的d是圆心到直线垂线段长，二者区分清楚。 21．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知的直径为4，点到直线的距离为4，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了圆和直线位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆和直线位置关系的性质，从而完成求解． 根据圆与直线位置关系的性质分析，即可得到答案． 【详解】的直径为4， 的半径为2， 点到直线的距离为4， 点到直线的距离大于的半径， 直线与的位置关系是相离， 故选：A． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为8，圆心到直线的距离是5，直线与位置关系是__________． 【答案】相交 【分析】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是5，小于的半径为8， ∴直线l与相交． 故答案为：相交． 23．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 求出的半径，进而根据直线与圆的位置关系作答即可． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵圆心到直线的距离为3，， ∴直线与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 24．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故答案为：． ▌知识点07：切线判定与性质的综合应用 判定用“过半径外端且垂直”，性质用“切线⊥过切点半径”。 结合可证相切并构造直角。 例如：见切点连半径得垂直，再用勾股。 注意：判定与性质方向相反；综合题常先判定再运用性质。 25．（2026·江苏南京·二模）下列说法正确的个数是（    ） ①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧． ②的角所对的弦是直径． ③圆的切线垂直于经过切点的半径． ④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧．本选项正确； ②的圆周角所对的弦为直径，本选项错误； ③圆的切线垂直于经过切点的半径．本选项正确； ④到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，如图所示，本选项错误， 综上可知，说法正确的有2个． 26．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 【答案】 【分析】利用切线垂直半径、正方形性质证矩形得，垂径定理求，勾股定理列方程求半径． 【详解】解：设与相切于点，连接并延长交于点，连接． 与相切于点， ． 四边形是正方形， ，，， ，四边形为矩形， ， ， 为的中点， ． 设的半径为，则，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， 的半径为2.5． 27．（2026·江苏泰州·二模）如图，将的正方形方格纸放在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以为直径作，过轴上一点，向引两条切线，若两个切点都是格点，则点坐标为_______． 【答案】或 【分析】先根据点的坐标特征建立坐标系，由于切点都是格点，故在网格中确定可以为切点的格点，再过满足条件的格点作对应半径的垂线，即可确定满足条件的点的坐标． 【详解】建立坐标系如图所示， 点、的坐标分别为、， ， ， ，， ，，，， ，，，均为直角三角形， ，，，， ，，，均为的半径， ，，，均为的切线， 满足条件的点坐标为或． 28．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D．求证：直线是的切线． 【答案】证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． 【分析】连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． 【详解】略 ▌知识点08：切线长定理与角平分线、全等的综合应用 切线长定理给出切线长相等、PO平分夹角，可证等腰、角平分，配合全等与勾股求线段。 例如：PA＝PB且PO平分∠APB。 注意：连圆心、切点、圆外点构造全等直角三角形是常规思路。 29．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】此题重点考查切线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 设与四边形的各边分别相切于点，连接，设的半径为，则，由，且四边形的周长是12，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与四边形的各边分别相切于点，连接，如图所示： ，、、， 设的半径为，则， ，且， ， 四边形的周长是12， ， ， ， 故选：C． 30．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 31．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图， P为外一点， 、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了切线长定理，灵活运用切线长定理和等线段代换是解决问题的关键． 根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵、分别切于点A、B，， ∴， ∵切于点E，分别交、于点C、D， ∴，， ∴三角形的周长 ， 故答案为：8． 32．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 (1)在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； (2)点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 如图，线段，即为所求． 【分析】本题考查了作垂线，角平分线，切线的判定和性质； （1）构造正方形，作直线，即可； （2）连接，过点作的垂线，作的角平分线，分别交于点，延长交于点，则，根据圆的对称性可得，则弦，，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点09：正多边形与圆、弧长与扇形面积的综合应用 正多边形中心角＝360°÷n，可结合弧长、扇形面积计算。 例如：正六边形中心角60°，其外接圆中等弧可求弧长。 注意：分清正多边形的半径（中心到顶点）与边心距，二者不同。 33．（2026·江苏南京·三模）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 34．（2026·江苏南京·三模）如图，在正五边形中，过点的分别与边相切于点为上一点，则__________． 【答案】54 【分析】连接，先证明四边形是等腰梯形，即可证明，则，那么，即可求解，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接 ∵正五边形 ∴， ∵分别与相切， ∴， ∴在五边形中，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，而不平行于， ∴四边形是梯形， 又∵ ∴四边形是等腰梯形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 35．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，点为正六边形的中心，点为中点，连接，若，则的长度为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，，先推导出是等边三角形，，求出，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点为正六边形的中心，点为中点， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 36．（2026·江苏镇江·中考真题）综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的． 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点是与标准路线的交点，．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． 【认识原理】 C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点． (1)M是上异于点T的一点．线段与的长度之和__________切线的长．（填“>”“<”或“=”） (2)从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？ (3)过起跑线上一点（点在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为．判断切线，的长度之差与的长是否相等？请说明理由． 【理解原理】 (4)是起跑线上的一点，经测量，点与圆心O的距离为10．设从点出发的选手沿切线方向跑到点后，再沿标准路线跑完全程，求的度数．（结果保留） 【设计方案】 (5)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点的步骤） 【答案】(1) (2)他们的发现正确．理由如下： 由题意可得， 从点出发的总路程 的长 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程 切线的长 点之后的标准路线长度． 不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等， 切线的长与的长相等， 他们的发现正确． (3)切线，的长度之差与的长相等．理由如下： 由（1）可得，从点出发的最短路程切线 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程切线 点之后的标准路线长度； 由（2）可得，切线的长与的长相等，同理可得，切线的长与的长相等， ， 即切线，的长度之差与的长相等． (4) (5)解：确定起跑点的步骤如下： ①设第5跑道外侧线对应的圆以 为圆心、半径为，先测量的长度； ②设切线切点为，根据（2）的结论，； ③设 ，由弧长公式得 ，由勾股定理得切线长 ； ④列方程求解 ，，，得到圆心角 的度数； ⑤以 为始边，作度数为的角，终边与标准路线的交点，即为点 ； ⑥过作的垂线，与第5跑道外侧线的交点即为起跑点． 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”，判断即可． （2）分别表示出从和出发的总路程，再根据比赛的公平性，即可得到切线长与弧长相等的结论． （3）利用（2）中得出的结论“切线长等于对应的弧长”，即可得出切线长之差等于两切点之间弧长的结论． （4）先利用勾股定理求出切线长；然后根据（2）的结论，建立弧长与圆心角的等量关系，最后代入弧长公式求出圆心角的度数． （5）利用“切线长等于对应弧长”这一几何原理，通过计算圆心角度数，反向作图确定起跑点的位置． 【详解】（1）解：根据“两点之间线段最短”，是点到点的线段，是最短路径； 而是折线加曲线路径， 线段与的长度之和切线的长． （2）略 （3）略 （4）解：如图，连接， 是标准半圆的切线，为切点， ，即为直角三角形． 由题意得：，， 由勾股定理： ， 由（2）的结论：． 设的度数为，根据弧长公式： ，令， 解得， 的度数为． （5）略 ▌知识点10：圆与圆锥侧面展开图的综合计算 圆锥展开为扇形：母线l＝扇形半径，底面周长2πr＝扇形弧长，S侧＝πrl。 例如：r＝3、l＝5则S侧＝15π。 注意：紧扣“底面周长＝扇形弧长、母线＝扇形半径”两对应，圆心角n＝360r÷l。 37．（2026·江苏常州·一模）已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是_____（结果保留π）． 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合扇形面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的侧面积 （）． 38．（2026·江苏宿迁·一模）一个圆锥形生日帽的底面直径是，母线长是，则它的侧面积是________． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积底面半径母线长即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面半径是， ∴圆锥的侧面积． 39．（2026·江苏盐城·一模）如图，用一张圆心角为，半径为6的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是______． 【答案】2 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是， 由题意得：， 解得， 即这个圆锥的底面半径是2． 40．（2026·江苏南京·一模）用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_______． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，据此列方程计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 根据弧长公式可得扇形弧长为， 由扇形弧长等于圆锥底面周长可得， 解得． ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离为， ， 即点在内． 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则弦的长是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识﹒根据得到，，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：∵于点， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（    ） A．两个半圆是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．三角形的外心到三角形的三边距离相等 D．等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心，等弧的概念，圆心角与弧的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的外心，半圆，等弧的概念，圆心角与弧的关系去判断即可． 【详解】解：A、能够重合的弧是等弧，而两个半圆不一定重合，故本选项不符合题意； B、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，选项不符合题意； D、等弧所对的圆心角相等，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故选B． 7．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据圆的性质可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据三角形内角和定理可以求出，，根据角之间的关系可得：，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 二、填空题 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 【答案】80 【分析】利用中心对称的性质将圆分成9个部分，再利用各部分之间面积的和差关系将所求的面积转化为规则图形的面积即可． 【详解】解：作圆竖直位置的直径向右移动，水平位置的直径向上移动， 如图所示： 由对称性可知：、、， 则 ． 10．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意可得两条平行弦的位置关系分为当和在的两旁时，当和在的同旁时两种情况，分别画出图形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：如图，当和在的两旁时，过作于，交于N，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 如图，当和在的同旁时， 同理可得：； 故答案为：或． 11．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角，则底面半径___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查扇形的弧长公式：，（n为扇形的圆心角，r为半径）． 根据扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长列式计算即可． 【详解】解：圆锥的母线，则其侧面展开图扇形的圆心角， ， ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当时，阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再分别求出以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积以及的面积，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， ， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 14．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________________．（填序号） 【答案】③⑤ 【分析】逐一验证每个结论，注意圆相关定理的前提限制条件，即可得到正确结果． 【详解】解：①只有不共线的三点才能确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，故①错误； ②只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，故②错误； ③圆内接四边形对角互补，符合圆的性质，故③正确； ④只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，缺少前提条件，故④错误； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都相等，符合外心的性质，故⑤正确； 综上，正确的结论是③⑤． 15．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得，由同弧所对的圆周角相等得，由直角三角形两锐角互余得，由平分得，最后由同弧所对的圆周角相等得． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质与判定，掌握“定角定弦”的隐圆模型是解题的关键． 延长至点N，使得，连接，过点E作，通过面积计算证明四边形的面积与的面积相等，同时根据条件可知始终都在同一个大小不变的圆上，画出对应的圆，根据图形即可求出面积的最大值，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点N，使得，连接，过点E作， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是梯形，面积为 又，， 始终都在同一个大小不变的圆上，如下图 根据图形可知当C点刚好在的垂直平分线上，即时，此时为等边三角形，面积最大，最大为，同时四边形的面积也最大，为． 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心、长为半径的圆分别交，于点E，F，直线与相切于点D． (1)证明平分； (2)若，，求涂色部分的面积（结果保留和根号）． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，则有，由得到，再根据角平分线的定义即可证明； （2）利用扇形的面积公式求出，利用三角形的面积公式求出，再根据涂色部分的面积即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴涂色部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、扇形的面积公式、含30度角的直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 18．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． (1)求证：所在直线是的切线； (2)若的直径为6，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 是圆的半径， 所在直线是的切线； (2)4 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，可得，利用等腰三角形的性质和角之间的等量代换，易证，即可证明； （2）设，根据线段之间的关系，求出，再根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 的直径为6， 半径， 则， 在中，， 则，解得， 答：的长为4． 19．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，点A，B，C在上，于点G，交于点E，连接，于点D，与相交于点． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：连接， 于点G，交于点E， 是的直径，， ，， ， 于点D，与相交于点F， ， ， ， ． 【分析】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由于点G，交于点E，且，得，，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径为； （2）连接，由于点G，交于点E，得是的直径，，则，，所以，因为，所以，推导出，即可证明． 【详解】（1）解：连接， 于点G，交于点E，且， ，， ，， ， ， ， 解得， 的半径为； （2）略 20．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动． 【新定义】 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧． 一个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点，顺时针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线·圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线·圆”． 如图2，动点从确定的射线的端点出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线所在的直线相切于点，那么点的运动就是“射线·圆”运动，图中的圆就是“射线·圆”． 【理解】 (1)请用直尺和圆规作图，探索下列问题．（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为的射线，再作动点关于射线的半径为的“射线·圆”． ②如图4，已知端点为的射线和直线，．动点从点出发做“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在直线上作出到点距离最大的点的位置． 【运用】 (2)如图5，点到直线的距离为．从点出发的动点做半径为的“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在动点落在直线上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位置之间的距离． 【答案】(1)①如图即为所求； ②如图即为所求． (2) 【分析】（1）①理解“射线·圆”的两个要素是相切和右侧，以P为端点，作一条射线，反向延长该射线，过点P作这条射线的垂线，再在垂线上截取长为的线段即可得到圆心，最后画圆即可，注意圆的位置要在射线的右侧； ②当点M为“射线·圆”与直线a的切点时，的长最大，易证此时“射线·圆”的圆心，点M，N，l与a的交点组成的四边形是正方形，故补全射线l，以该交点为圆心作半径为点N到直线a的距离的圆，圆与直线a的交点即为点M的位置． （2）由题意可知“射线·圆”的圆心在以点A为圆心，为半径的圆上运动，由于点Q是顺时针旋转，所以点Q始终为与直线的交点中靠右侧的点，分两种情况讨论，当点Q在点A左侧时，过点A作直线b的垂线，只需要找到一侧点Q到该垂线的距离的最大值时的位置即可，同（1）的思路，根据图象，利用圆的性质判断出“射线·圆”与直线b相切时取得最大值，再计算对应间距即可；当点Q在点A右侧时，根据点圆最值，可知的最大值为直径，计算此时的间距，然后相加即可得到结果． 【详解】（1）解：①略； ②如答案所示，补全射线l，得到l与a的交点，以该交点为圆心，点N到直线a的距离为半径作弧，交点即为点M的位置，理由如下： 如图，补全射线l，交直线a于点A，作“射线·圆”，记圆心为O，连接，过点M作， 由题意，，设两平行线间的距离为h，则，设“射线·圆”的半径为r， 又M为“射线·圆”与直线的交点， ∴， 设，则， ∴， ∵，， 又， ∴当越大，即当越大，越大，越小， 又h是定值，， ∴当时，最大，此时，， ∴四边形是正方形，，故在直线a上作即可得到点M； （2）解：如图，设“射线·圆”的圆心为O，由题意可知，，故点O在以A为圆心，半径为的圆上运动， 当圆心O在点A的左侧时，按照题意作与直线相切，切点记为Q，作，与直线b的交点（靠近点A处）为点，作， 由图，及圆的性质可知，当在O的下方时，点始终在Q的右侧， ∴当与直线b相切时，取得最大值， 如图，作，则四边形是矩形， ∴，， ∴，， 当圆心O在点A的右侧时，由圆的性质，可知，当为直径时，的值最大，即的值最大， 此时， 故间距最大的两个位置之间的距离为． / 学科网（北京）股份有限公司 $