2026-2027学年北师大版九年级上册数学期中考试卷（1-3章）

保密★启用前 2026-2027学年度北师大版九年级上册数学期中考试卷（1-3章） 本卷满分xxx分，考试时间xxx分钟。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 评卷人 得分 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A． B．3 C．0 D．0或3 3．（本题3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若方程的两个实数根为，，则的值为（     ） A． B．4 C． D．1 5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点D在x轴上，则菱形的顶点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在四边形中，与相交于点E，，，，且平分．下列结论：①；②；③，其中结论正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（本题3分）如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为（        ） A．8 B．9 C．10 D．11 评卷人 得分 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）如图，在一块长为、宽为的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间的三个矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为，则通道的宽度为____． 10．（本题3分）如图，四边形四边形，则的度数是____________． 11．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点E的坐标为，则点B的坐标为________． 12．（本题3分）如图，在正方形中，O是对角线与的交点，是边上的动点（点M不与B，C重合），，与交于点N，连接，；下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，则的最小值是．其中正确的说法有___________（只填序号）． 13．（本题3分）在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则为________． 评卷人 得分 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）按要求解题： (1)用因式分解法解方程： ； (2)用配方法解方程：． 15．（本题6分）已知，，，，在图中，除矩形与矩形外，还有几对矩形的长和宽是成比例线段？请写出具体的矩形和比值． 16．（本题7分）如图，四边形对角线，相交于点，且，． (1)证明：四边形是矩形 (2)四边形是正方形吗？请说明理由． 17．（本题7分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 18．（本题8分）据统计某品牌公仔在某电商平台8月份的销量是6万件，10月份的销量是7.26万件． (1)若该平台8月份到10月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 19．（本题8分）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．（本题9分）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 21．（本题10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 　 　； (2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　； [类比探究] (3)如图3，在中，，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，． ①求的值． ②连接，若，直接写出的长度． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度北师大版九年级上册数学期中考试卷（1-3章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B C C D C 1．D 【详解】解：根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴． 2．A 【分析】将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入，得，即， 解得． 3．A 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 4．B 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， 由根与系数的关系得． 5．C 【分析】连接，交于点E，由题意易得轴，，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，交于点E，如图所示： ∵点A，C的坐标分别是，， ∴轴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∴， ∴菱形的顶点B的坐标． 6．C 【分析】利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； B. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； C. ，不能判定，该选项符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意． 7．D 【分析】过点作于点，证明，从而说明②正确；延长交的延长线于点，说明为等腰三角形，根据三线合一说明点是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半说明，故③正确；根据角度关系计算即可说明①正确． 【详解】解：过点作于点， 平分，，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； 延长交的延长线于点， ， ， 平分， ， 在中，， 在中，， ， ， 垂直平分， 是中点， ， ， ， 即，故③正确； ，， ， ， ， ， ，故①正确． 8．C 【分析】连接，作于，利用正方形和等腰三角形性质证明，进而得出，为等腰直角三角形，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 9．2 【分析】结合图形列代数式，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可． 【详解】解：设通道的宽为，则， 根据题意得， 整理得， 解得，(不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 10．/度 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 11．/ 【分析】根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，且， ∴与的位似比是， 点坐标为，点B在第四象限， 点B的坐标是． 12．①②③④⑤ 【分析】证明，则可证明，故①正确；由全等三角形的性质得到，结合正方形的性质可证明，则可推出，进而可证明，故②正确；可证明，故③正确；证明，结合勾股定理可证明④正确；可证明当时，有最小值，即此时有最小值，据此可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②在正方形中，O是对角线与的交点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，故②正确； ③在正方形中，O是对角线与的交点， ∴； ∴， ∴，故③正确； ④由正方形的性质可得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴此时， ∴的最小值为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤． 13． 【分析】利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 因此或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得． 15．共有7对矩形的长和宽是成比例线段. 矩形与矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为； 矩形和矩形，比值为. 【分析】分别求出各个矩形的长和宽的比，即可得出结果. 【详解】解：由题意，，，，， ∴，，， ∴矩形与矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； 矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为； ∵， ∴矩形和矩形的长和宽是成比例线段，比值为. 综上：共有7对矩形的长和宽是成比例线段. 16．(1)证明：， 四边形是平行四边形． ， ， ． 平行四边形是矩形． (2)四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴，， ． ，即． 四边形是矩形，且对角线， 矩形是正方形． 【分析】（1）先由对角线互相平分证四边形是平行四边形，再由对角线相等证明平行四边形为矩形． （2）利用勾股定理逆定理，证明对角线互相垂直；结合已经证出的矩形，判定该四边形为正方形． 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 18．(1) (2)应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意列出一元二次方程，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是，根据题意得， ， 化简得， 解得，（不合题意，舍去）； 答：月平均增长率是． （2）设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意，得，， 解得，，， 要尽量减少库存， ， 答：若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低20元． 19．(1)证明：， ， 即， 又， ， ； (2) 【分析】（1）由，可得出，结合得出，可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出，结合，可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 20．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 21．(1)1 (2) (3)①；② 【分析】（1）利用正方形性质，证明，即可得出； （2）利用正方形性质，证明，即可得出； （3）①先做辅助线，证明，再利用等角的正切相等和等面积法求出线段的长度，即可得出；②由①得，再利用勾股定理和相似性质求出的长度． 【详解】（1）如图1，设与交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴=1； 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）①如图4，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴a=（负值舍去）， ∴AH=，DH=， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ，， ∴， 由①得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形，矩形的性质，全等和相似的判定及性质，严格的思维逻辑和集合语言的应用是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $