专题04 二次函数的图象与系数综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版九年级上学期

专题04 二次函数的图象与系数综合 考点01 二次函数图象与a,b,c的符号判断 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点03 二次函数图象的平移与对称变换 考点01 二次函数图象与a,b,c的符号判断 1．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 4．如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 5．已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 6．抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 8．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、． (1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示） (2)求证：； (3)若直线与二次函数的图像交于点A、C． ①求二次函数的表达式； ②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标； ③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由． 9．已知二次函数（且为常数）． (1)若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； (2)当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 10．若两条直线（）与（）存在交点，则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数为“伴随函数”． (1)求直线的“伴随函数”解析式； (2)直线经过点，且m，n，t满足条件，求m的取值范围； (3)若直线（）的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，当时，其“伴随函数”的最小值为，求其“伴随函数”的解析式． 考点03 二次函数图象的平移与对称变换 11．已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 12．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 13．已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n s … 其中．以下结论：①；②若抛物线经过点，，则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．已知抛物线（为常数，）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），． ①求的值； ②将此抛物线向左平移个单位，设平移中抛物线与轴的交点为，令的最大值和最小值分别为，，若，求的值． 15．已知二次函数（为已知数）． (1)求该函数图象的对称轴（用含的代数式表示）． (2)与轴平行的直线交该函数图象于两点，且点的横坐标为，求线段的长． (3)若，点，在该函数图象上，求证：． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的图象与系数综合 考点01 二次函数图象与a,b,c的符号判断 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点03 二次函数图象的平移与对称变换 考点01 二次函数图象与a,b,c的符号判断 1．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由图象可得，当时，，即可判断①；由开口方向和与y轴的交点得到，，即可判断②；由对称轴得到，然后代入即可判断③；将变形得到，然后根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴由图象可得，当时，，故①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故③错误； 若， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数为2个． 2．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，； ②若且，则； ③若，则； ④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值、对称轴、与坐标轴的交点以及直角三角形的存在性等知识点；解题的关键是利用二次函数的对称性和性质，结合代数运算与几何条件进行推理判断． 【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线，顶点在第二象限． ①当时， 抛物线开口向下，顶点在处取得最大值， ， 即，此结论正确． ②若且， 则， ， ， ， 又， ， 代入得， ， ，此结论错误． ③若，，，点坐标为， 对称轴， ， ，即， 将代入，得 ，即， ， ， ， ，此结论正确． ④若，， 对称轴， ， 设抛物线解析式为， 代入，得， ， ， 设， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，此结论正确． 综上，①③④正确． 4．如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， ∵与x轴的两个交点坐标分别为， ∴对称轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故①正确； ， 由和可得， 故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵，， ∴当时，随增大而减小，当时，；当时，； ∴， 故③正确； ④方程有实数根， ，即. ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 5．已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 6．抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】先代入已知点得到系数关系，，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当时，，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与轴的交点为和，故存在两种平移方案；对于③，由与即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此；对于⑤，代入可得，当时，，且随的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴代入坐标得，，整理得， ∴ 对于①：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确； 对于②：将代入，得， ， 因式分解，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴向左平移个单位后，交点变为和， ∵平移后过原点， ∴或，因此不一定等于，故②错误； 对于③：∵， ∴，故③正确； 对于④：由②可得，方程的根为和， ∵方程有两个不相等的整数根，且为正整数， ∴为不等于的正整数，即为的正因数，且， ∴，故④正确； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设， ∴与成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵当时，， ∴， ∵， ∴与成反比例函数关系， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵随的增大而减小， ∴随的增大而增大，故⑤正确； 综上，正确的结论为①③④⑤． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 8．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、． (1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示） (2)求证：； (3)若直线与二次函数的图像交于点A、C． ①求二次函数的表达式； ②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标； ③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴和是一元二次方程的两个根． 由根与系数的关系可得：，， 两式联立可得：， ∴， ∵， ∴， 整理得． (3)①；②或；③． 【分析】（1）根据抛物线轴对称的性质即可得出其对称轴为，据此列式计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后结合即可证明结论； （3）①由点在直线上先求出m的值，然后结合（2）求出a，b的值，进而求出二次函数表达式；②设点P坐标为，根据三角形面积公式得到，解方程求出n值即可得到答案；③根据平移规律求出平移后的二次函数表达式，联立直线得到一元二次方程，再由根与系数的关系求出，即可得出线段为定值． 【详解】（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为． （2）略 （3）解：①∵点在直线上． ∴，则． 由（2）可得． 故二次函数表达式为：． ②联立直线和二次函数可得：． 解得：或2， ∴， 设点P坐标为． ∴． 整理得：． 解得：或1． ∴点P的坐标或． ③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度． 对于二次函数：，其顶点式为：． ∴根据平移的性质新的抛物线解析式为， 联立直线可得：， 整理得：． 设，，则，， 由根与系数的关系可得：，． ∴． ∴． ∴ ， ∴． ∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值． 9．已知二次函数（且为常数）． (1)若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； (2)当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求解即可； （2）①把解析式化为顶点式即可得到答案；②根据二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，则可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意； （2）解：①当时，二次函数的解析式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； ②由（2）①得二次函数的对称轴为直线，且函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在该抛物线上，且， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 10．若两条直线（）与（）存在交点，则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数为“伴随函数”． (1)求直线的“伴随函数”解析式； (2)直线经过点，且m，n，t满足条件，求m的取值范围； (3)若直线（）的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，当时，其“伴随函数”的最小值为，求其“伴随函数”的解析式． 【答案】(1) (2)且且 (3) 【分析】（1）根据“伴随直线”的定义先求出“伴随直线”的解析式，再根据“伴随函数”的定义即可解答； （2）根据题意得的“伴随直线”的解析式为，联立，解得，得到，由已知可得，再结合即可解答； （3）求出直线的“伴随函数”解析式为，根据“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，求出，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为； ∴，解得， ∴“伴随点”的坐标为． ∴“伴随函数”的解析式为． （2）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∵直线经过点， ∴，即． ∵， ∴， 解得， ∵，则， ∴， ∴且且； （3）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∴直线的“伴随函数”解析式为． ∵ “伴随函数”与轴两个交点的距离为， ∴． 解得，． ①当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（舍去）， 此时． ∴“伴随函数”的解析式为． ②当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（不合题意，均舍去）． 综上所述，直线的“伴随函数”的解析式为． 考点03 二次函数图象的平移与对称变换 11．已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 【答案】(1)1 (2) (3)A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可； （2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围； （3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数， 点平移后对应点的坐标为， 新图象对称轴是直线，顶点坐标是； ，， 故答案为：1； （2）当时， 时，， 将代入，， ， 时，， 将代入，， ， n的取值范围为； （3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上， 所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标． 当时，； 当时，， 又因为， 所以当时，， 则随的增大而增大； 当时，， 所以随的增大而增大，所以A选项符合题意． 故答案为：A． 12．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 13．已知抛物线（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n s … 其中．以下结论：①；②若抛物线经过点，，则；③关于x的方程有两个不相等的实数根；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查利用二次函数对称性、开口方向、点坐标求参数关系，结合不等式分析函数值和方程根的情况；根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：∵ 和时，， ∴ 对称轴， ∴ ，即， 当时，， ∵ ， ∴， 又∵ 抛物线过， ∴即得， ∴，抛物线开口向上， ∴， ∴ ，故①正确； ∵ 抛物线开口向上，对称轴， 点到对称轴距离， 点到对称轴距离， ∴，故②正确； ∵ 对称轴，点和点对称， ∴ ， 当时，， 代入，得 ，即， ∴ ， ∴ ， 当时，， ∴， ∴ ， ∵，即，解得， ∴，即，故④正确； 对于方程，即， ∴当或时有两个不相等的实数根， ∵， ∴解得， 解得不符合要求， 当时有三个不相等的实数根， 解得不符合要求， 当时有四个不相等的实数根， 解得， 当时无解， 解得，故③错误， 综上，正确结论为①②④，共3个， 故选C． 14．已知抛物线（为常数，）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在原点的左侧），． ①求的值； ②将此抛物线向左平移个单位，设平移中抛物线与轴的交点为，令的最大值和最小值分别为，，若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据对称轴进行计算即可； （2）①设，由题意得到，，求出，将代入，即可得到答案； ②设平移距离为，则平移后的解析式为，令，得与轴交点的纵坐标为，该函数图像开口向下，对称轴为，顶点坐标为，，且的最大值不超过，最小值不低于，分情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：对称轴； （2）解：①设， 抛物线的对称轴， ，即， 点在原点的左侧，， 故， 解得， 将代入， ， 解得； ②由①得抛物线解析式 设平移距离为，则平移后的解析式为， 令，得与轴交点的纵坐标为， 该函数图像开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ，且的最大值不超过，最小值不低于， 若，，， 则，化简得，，无实数解； 若，则， 若，，不符合题意； 若，， ， 解得（舍去）， 故． 15．已知二次函数（为已知数）． (1)求该函数图象的对称轴（用含的代数式表示）． (2)与轴平行的直线交该函数图象于两点，且点的横坐标为，求线段的长． (3)若，点，在该函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 当时，，则， 此时， 即点到对称轴的距离更远， ∴； 当时，，则， 此时， 即点到对称轴的距离更远， ∴； 综上，． 【分析】（）根据解析式求出抛物线与轴的交点坐标，进而求出对称轴； （）根据对称性求出点的横坐标，进而即可求解； （）求出点和点到对称轴的距离，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴对称轴为直线； （2）解：设点的横坐标为， ∵对称轴为直线，点的横坐标为， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）略 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $