精品解析：吉林省长春市吉林省实验中学2025-2026学年高一上学期学程性考试（一）数学试卷

吉林省实验中学2025-2026学年高一上学期学程性考试（一）数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 31 B. 15 C. 7 D. 无数个 5. 已知，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 若集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 或0 8. 当时，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 的最小值为2 11. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合.若，则______. 13. 若存在，使不等式成立，则的取值范围是______. 14. 如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/m2；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为_________m. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 17. （1）已知正数a、b、c满足，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 18. 目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前（为正整数）年维修、保养费用总和为万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. （1）写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方穼处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为） 19. （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 五、附加题（本题共2小题，共10分） 20. （1）若集合满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为______. （2）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2025-2026学年高一上学期学程性考试（一）数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合关系的概念，判断结果. 【详解】元素与集合之间用属于或不属于，所以B错误，C正确； 集合与集合之间用包含或不包含，所以A、D错误； 故选：C. 3. “”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次方程判别式和韦达定理，列出两根异号的条件，求出参数范围，根据充分与必要条件的概念，判断结果. 【详解】关于的二次方程的两个实数根异号，可得， 由恒成立，解得， 可知， 则“”是“关于的二次方程的两个实数根异号”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 31 B. 15 C. 7 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合A中的元素，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故集合的真子集个数是， 故选：C 5. 已知，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值是1. 故选：D 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式和分式不等式解出集合，再由并集运算可得. 【详解】由解得，所以， 由，所以， 所以. 故选：C. 7. 若集合，，且，则（ ） A. B. C. D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】对集合B进行分类讨论，再根据两集合的交集判断可得. 【详解】由集合，分三类情况： ①当时，，则，显然不满足. ②当，则，如图，也不满足. ③当，则，由，得，即.如图： 故选：B. 8. 当时，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将时，关于的不等式恒成立，转化为当时，恒成立，求出m的范围，结合充分不必要条件的含义，即可确定答案. 【详解】当时，关于的不等式恒成立， 即当时，恒成立； 而， 当且仅当，即时取等号， 故； 结合选项可知时，一定有成立，反之不成立， 故不等式恒成立的一个充分不必要条件是， 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】当时，若，则，所以A错误； 当时，，因为，所以，所以B正确； 作差得，因为，所以， 则，即，所以C正确； 当时，有，此时，所以D错误. 故选：BC 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次不等式与二次方程的关系，可借助韦达定理来求解即可. 【详解】由不等式的解集为可得： 方程的两根为，且，故A正确； 再由韦达定理可得即， 所以，故B错误； 由不等式， 解得，所以不等式的解集为，故C正确； 由，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 11. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的性质和相等进行求解即可 【详解】由集合，可得或， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性； 当时，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以则. 故答案为：. 13. 若存在，使不等式成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干条件，可将不等式转化为，由于存在使不等式成立，因此只要求解的最大值即可. 【详解】由于，则，因此可将原不等式转化为， 令， 令，得：， 由对勾函数易知函数在上单调递减,当时，取到最大值0， 故. 故答案为： 14. 如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/m2；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为_________m. 【答案】4 【解析】 【分析】设正方形边长为，根据题设求出正方形、矩形阴影部分、三角形的面积，进而列出总造价关于的表达式，解不等式求边长最小值，即可得答案. 【详解】设正方形边长为(m)，则矩形的长、宽分别为(m)、(m)， 所以，，， 所以，总造价，且， 所以，则，可得， 故(m)，即正方形周长的最小值为4(m). 故答案为：4 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可； （2）分和两种情况进行讨论得解. 【小问1详解】 当时，， ， 或，； 【小问2详解】 若，则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. 不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，显然成立；当时，由求解即可； （2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可. 【小问1详解】 当 时， 显然恒成立； 当 时，不等式 对一切实数 都成立， 则 ，解得 ． 综上， ． 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件， 所以． 又 ，即 在 上恒成立． 令 ， 则 ， 解得 ， 所以的取值范围为． 17. （1）已知正数a、b、c满足，求的最小值； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）9；（2）18. 【解析】 【分析】（1）（2）利用1的代换法，再结合均值不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为； （2）由 因为，所以， 即，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 18. 目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前（为正整数）年维修、保养费用总和为万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. （1）写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方穼处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为） 【答案】（1），，从第3年开始，该设备开始盈利 （2）应选用方案一，理由如下： 方案一：年平均盈利额， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 故到第7年，该设备的年平均盈利额达到最大值， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为万元； 方案二：盈利总额， 当时，取最大值，故到第10年，该设备的盈利总额达到最大值102， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得解析式以及列不等式，即可求解； （2）方案一运用基本不等式可求得总利润，方案二运用二次函数求得最值，综合比较可求得结果. 【小问1详解】 由题意得，， 令，则， 又，所以， 故从第3年开始，该设备开始盈利； 【小问2详解】 略 19. （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 【答案】 （1）或时，解集为； 时，解集为； （2） 当时，； 当时， 或， 当时，， 当时,； 当时， 【解析】 【分析】（1）讨论判别式的正负，结合一元二次方程与不等式的关系，即可求解； （2）分类讨论a的取值情况，结合一元二次方程与不等式的关系，即可求解. 【详解】（1）对于，， 当，即或时， 有两不相等实数解， 则的解集为； 当，即时，有两相等实数解， 此时的解集为； 当，即时，无实数解， 此时的解集为； 综合上述：或时，解集为； 时，解集为； （2）对于， 当时，不等式为，即得； 当时，不等式为， 当时，，则可得或， 当时，，此时不等式化为， 解得， 当时，，此时不等式化为，此时； 当时，，此时不等式为， 解得， 综合可得解集为：当时，； 当时， 或， 当时，， 当时,； 当时， 五、附加题（本题共2小题，共10分） 20. （1）若集合满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为______. （2）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）27；（2） 【解析】 【分析】（1）根据分拆的含义，分类讨论集合的不同情况，可得有几种可能，即可求得答案； （2）讨论a的正负情况，分别求出函数，的最大值，根据题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为，考虑的不同情况： 当时，，此时有1种分拆； 当时，或，共有2种分拆； 同理，当和时，各有2种分拆； 当时，或或或，共有4种分拆； 同理，当和时，各有4种分拆； 当时，或或或或或， 或或，共有8种分拆； 由此可知，共有种分拆； 故答案为：27 （2）由题意设，求时，的最大值， ， 当时，不等式为，符合题意； 当时，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，故； 设函数， 则时，在上单调递增，； 时，在上单调递减，； 故对任意，总存在，使得成立， 需满足：时，，解得，故； 时，，解得，故； 由前面分析可知时，满足题意， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $