精品解析：河南新乡市太行中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

一中南校区2026年九年级上期第一次月考数学试卷 一．选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数；根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 3. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为 ，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 5. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用对称轴是x轴两交点横坐标的中点来计算另一个交点坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为． 6. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 7. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键． 利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可．根据反比例函数的性质，，图象经过点，位于第一、三象限，在每个象限内随增大而减小；当时，，故D错误. 【详解】解：A、∵，， ∴当时，，图象经过点， ∴A正确； B、， ∴图象位于第一、第三象限， ∴B正确； C、∴在每个象限内，随增大而减小， 当时（第三象限），随增大而减小， ∴C正确； D、当时，例如，，故， ∴D错误． 故选：D． 8. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴， 因此四个选项中只有C选项符合题意． 9. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向判断的符号，结合对称轴公式直线判断的符号，根据点纵坐标的范围判断的符号，再判断的符号． ②利用抛物线与轴交点代入解析式得到，结合得到与的关系，结合的范围推导的取值范围以及判断和的大小关系． ③把代入，可得a的取值范围． ④利用抛物线的对称性得到与对应的函数值相等，结合时的取值范围判断的符号． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线过点， ∴代入解析式得， ∵， ∴； 抛物线与y轴交于，且 ①： ∵抛物线开口向上， ∴； ∴，，可知，①错误． ②： ∵， ∴， ∵， ∴，②正确． ③： 把代入， 得， 解得，③正确． ④： ∵是时的函数值， 根据抛物线对称性，关于对称轴的对称点是， 因此处的函数值等于处的函数值， 即，④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象经过点(2，3)，则这个反比例函数的解析式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出k的值，可得答案. 【详解】∵反比例函数的图象经过点(2，3)， ∴3=， 解得：k=6， ∴这个反比例函数的解析式为：. 故答案为 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键. 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入得，即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 则， 解得． 13. 如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，利用列关于的方程求解． 【详解】解：如图，与轴交于点， 点在的图象上，轴， ， 点在的图象上， ， 的面积为， ，即， ， 的图象在第二象限， ． 14. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 【答案】，. 【解析】 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得：， 解得：， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 15. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解：． 则或 解得，． 17. 抛物线与x轴的一个交点为． （1）求k的值； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及二次函数与一元二次方程的关系等知识． （1）将点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得k的值； （2）确定出抛物线的解析式，令抛物线中，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另一交点的坐标． 【小问1详解】 把代入可得， ， ∴； ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， 解得，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标． 18. 已知关于的一元二次方程有实根， （1）求的取值范围； （2）在三角形中，、、为三角形的三边长，其中边长，、恰好是的两个根，求． 【答案】（1） 的取值范围是且 （2） 【解析】 【分析】（1）结合一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式非负的条件列不等式，求解得到的取值范围； （2）利用方程的根的定义代入求，再解方程得到另一根，结合边长为正的条件确定的值.  【小问1详解】  解： ∵ 方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有实根， ∴，解得； ∴的取值范围是且；  【小问2详解】 解：∵是方程的根， ∴，解得，符合且； 此时方程为， 解得，， ∵，、恰好是的两个根， ∴. 19. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】（1）上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 （2）本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； 【小问2详解】 解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 20. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出直线解析式，求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）图象法求出不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：∵，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴的面积为. 【小问3详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或. 21. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】（1）能 （2）能 【解析】 【分析】（1）设出二次函数的顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可得出结果； （2）求出时的函数值，进行判断即可. 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点坐标为且过点， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， 故此球能准确投中； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴当时，， ∵乙的最大摸高为，， ∴他能获得成功. 22. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）： … 0 1 2 3 … … 6 3 2 ___ ___ ___ 2 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①观察函数的图象，以下说法正确的有______（填写正确的序号） A．对称轴是直线； B．函数的图象有两个最低点，其坐标分别是、； C．当时，随的增大而增大； D．当函数的图象向下平移3个单位时，图象与轴有三个公共点； E．函数的图象，可以看作是函数的图象向右平移2个单位得到． ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 【答案】（1）列表（完成下列表格）： … 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 2 3 6 … （2）解：如图所示即为所求， （3）①；② 【解析】 【分析】（1）求出对应自变量下的函数值，填写表格即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象逐一进行分析，作答即可. 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由图象可知，图象的对称轴为直线，故A错误； 函数的图象有两个最低点，其坐标分别是、；故B正确； 当时，随的增大先增大后减小；故C错误； 当函数的图象向下平移3个单位时，图象与轴有三个公共点；故D正确； 根据平移规则，函数的图象，可以看作是函数的图象向右平移2个单位得到；故E正确； 故正确的有； ②由图象可知，当时，方程有四个解． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标； （3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）存在，点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标代入函数表达式得：即可求解； （2）设点P（x，x2-2x-3），则点D（x，x-3），则PD=x-3-（x2-2x-3）=-x2+3x，即可求解； （3）分∠ACP=90°、∠P′AC=90°两种情况，分别求解． 【详解】（1）将点A、C的坐标代入函数表达式得：，解得：， 故：函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①； （2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则：， 故直线BC的表达式为：y＝x﹣3， 设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点D（x，x﹣3）， ∴PD＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x， ∵﹣1＜0，抛物线开口向下，当x＝时，PD的最大值为， 此时，点P（，﹣）； （3）存在，理由： ①当∠ACP＝90°时， 由（2）知，直线AC的表达式为：y＝x﹣3， 故直线CP的表达式为：y＝﹣x﹣3…②， ①②联立并解得：x＝1或0（舍去x＝0）， 故点P坐标为（1，﹣4）； ②当∠P′AC＝90°时， 设直线AP′的表达式为：y＝﹣x+b， 将x＝3，y＝0代入并解得：b＝3， 故：直线AP′的表达式为：y＝﹣x+3…③， 联立①③并解得：x＝﹣2或3（舍去x＝3）， 故：点P′的坐标为（﹣2，5）； 故点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一中南校区2026年九年级上期第一次月考数学试卷 一．选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 7. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 8. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象经过点(2，3)，则这个反比例函数的解析式为_______________． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 13. 如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 14. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 15. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 抛物线与x轴的一个交点为． （1）求k的值； （2）求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 18. 已知关于的一元二次方程有实根， （1）求的取值范围； （2）在三角形中，、、为三角形的三边长，其中边长，、恰好是的两个根，求． 19. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 20. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 21. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 22. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）： … 0 1 2 3 … … 6 3 2 ___ ___ ___ 2 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①观察函数的图象，以下说法正确的有______（填写正确的序号） A．对称轴是直线； B．函数的图象有两个最低点，其坐标分别是、； C．当时，随的增大而增大； D．当函数的图象向下平移3个单位时，图象与轴有三个公共点； E．函数的图象，可以看作是函数的图象向右平移2个单位得到． ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标； （3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $