第五单元 用字母表示数和数量关系 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学五年级上册（新教材）

第五单元 用字母表示数和数量关系 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、用字母表示数的意义 用字母可以表示任意的数，也可以表示特定的数量、数量关系、运算定律和计算公式。用字母表示数是代数的基础，能把数量关系简明地表达出来，更具普遍性。 ● 例如：用表示小明的年龄，用表示路程，用表示图形的周长。 二、用字母表示数的书写规范（重点） 在含有字母的式子里，字母与数、字母与字母相乘时，书写有特殊规定： 1. 乘号的省略 　　● 字母与数字相乘，乘号可以记作"·"，也可以省略不写。 　　● 字母与字母相乘，乘号可以记作"·"，也可以省略不写。 　　● 字母与1相乘，1可以省略不写，直接写字母。例如：。 2. 数字在前 省略乘号时，必须把数字写在字母的前面。例如：，不能写成。 3. 平方的写法 两个相同字母相乘，可以写成平方的形式。例如：，读作"a的平方"，表示两个相乘。 　　● 注意区分：（两个相乘）；（两个相加），两者意义完全不同。 4. 其他规则 　　● 几个不同字母相乘，一般按字母表顺序排列。例如：。 　　● 加号、减号、除号都不能省略，只有乘号可以省略。 三、用字母表示常见的数量关系 1. 经典数量关系式 　　● 路程问题：（路程=速度×时间） 　　● 购物问题：总价 = 单价×数量，即 　　● 工程问题：工作总量 = 工作效率×工作时间 　　● 产量问题：总产量 = 单产量×数量 2. 和差倍关系 　　● 比多的数： 　　● 比少的数： 　　● 的倍： 　　● 比的倍多： 　　● 比的倍少： 3. 年龄问题规律 两人的年龄差永远不变。例如：小明今年岁，妈妈今年岁，年龄差是岁，再过年，年龄差仍是岁。 四、用字母表示运算定律与计算公式 1. 运算定律 　　● 加法交换律： 　　● 加法结合律： 　　● 乘法交换律： 　　● 乘法结合律： 　　● 乘法分配律： 2. 几何计算公式 　　● 长方形：周长；面积 　　● 正方形：周长；面积 五、含有字母式子的求值 当字母的数值确定时，把数值代入式子，按照运算顺序计算出结果，就是式子的值。 ● 步骤：① 写出含有字母的原式；② 把字母的数值代入式子；③ 按运算顺序计算出结果。 ● 注意：代入数值时，省略的乘号要还原出来。例如：式子，当时，。 六、字母的取值范围 字母表示的数不是任意的，要根据实际情况确定取值范围。 ● 例如：用表示人数，只能是非负整数；用表示正方形的边长，必须大于0。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：书写规范——"三注意"法 【解题思路】 判断含有字母的式子书写是否正确，核心抓住三个注意点：乘号省略规则、数字位置、平方与倍数的区别，按规则逐项检查即可。 【操作步骤】 第一步：看乘号：只有乘号能省略，加减除都不能省；数字和字母、字母和字母相乘才能省乘号； 第二步：看顺序：省略乘号时数字必须在前，字母在后； 第三步：看平方：两个相同字母相乘才是平方，和"几倍的字母"区分开。 【易错提升】 ● 易错点1：把写成，混淆平方和倍数。 　　→ 规避技巧：记住"右上角小2是平方，两个相乘；前面有2是两倍，两个相加"。 ● 易错点2：数字写在字母后面，比如。 　　→ 规避技巧：省略乘号时，数字永远在前，字母在后。 ● 易错点3：写成。 　　→ 规避技巧：1和字母相乘，1直接省略，只写字母。 方法点拨2：数量关系表示——抓关键词法 【解题思路】 用字母表示数量关系，关键是抓住题目中的关键词，比如"一共、比…多、比…少、是…的几倍、剩下、增加"等，理清谁和谁比、谁大谁小，再对应列式。 【操作步骤】 第一步：抓关键词，判断是和、差、倍哪种关系； 第二步：确定单位"1"的量（被比较的量）； 第三步：根据关系写出含有字母的式子。 【易错提升】 ● 易错点1："比的3倍多5"列成。 　　→ 规避技巧：先算倍数，再算多少，先乘后加减，不是先加后乘。 ● 易错点2："比少"列成。 　　→ 规避技巧："比谁少"就用谁减，比少，就用减。 方法点拨3：代入求值——三步法 【解题思路】 求含有字母式子的值，严格按"抄式—代入—计算"三步来，先写原式，再把字母换成对应的数，最后按四则运算顺序计算。 【操作步骤】 第一步：抄写出含有字母的原式； 第二步：把字母的数值代入式子，省略的乘号要还原； 第三步：按运算顺序计算出结果。 【易错提升】 ● 易错点1：代入时不还原乘号，比如，时写成35。 　　→ 规避技巧：代入数值第一步，先把省略的乘号补上，变成再计算。 ● 易错点2：运算顺序错误，先算加减后算乘除。 　　→ 规避技巧：和整数四则运算顺序一样，先乘除后加减，有括号先算括号里的。 方法点拨4：式子化简——合并同类项法 【解题思路】 含有字母的式子化简，只有字母相同的项才能合并。合并时，字母和字母的指数不变，只把前面的系数相加减。 【操作步骤】 第一步：找同类项，字母相同、字母的次数也相同的项是同类项； 第二步：系数相加减，字母和指数不变； 第三步：检查结果，系数是1的要省略1。 【易错提升】 ● 易错点1：合并时把字母也加起来，比如。 　　→ 规避技巧：合并同类项只变系数，字母不变，就像3个苹果加2个苹果等于5个苹果，还是苹果。 ● 易错点2：不是同类项也合并，比如。 　　→ 规避技巧：字母不同不能合并，保留原式即可。 【第三部分】考点讲练 考点一：用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】 一本书120页，小明每天看a页，看了4天，看了( )页；当a＝18时，看了( )页。 【答案】 4a 72 【分析】求已看总页数，用每天看的页数乘看的天数。每天看a页，看了4天，表示4个a相加，写成乘法形式就是a×4，简写为4a。 把a＝18代入式子，即可算出具体已看总页数。 【详解】a×4＝4 a（页） 4×18＝72（页） 【变式训练】 妈妈说：“我今年的年龄是淘气的4倍。”淘气说：“我今年a岁。”用含有字母的式子表示妈妈今年的年龄是( )岁；如果淘气今年9岁，那么妈妈今年( )岁。 【答案】 4a 36 【分析】已知淘气今年a岁，妈妈今年的年龄是淘气的4倍，得出数量关系：妈妈今年的年龄＝淘气今年的年龄×4，据此用含字母的式子表示妈妈今年的年龄； 如果淘气今年9岁，即a＝9，将其代入式子中，计算出妈妈今年的年龄。 【详解】妈妈今年的年龄是（4a）岁； 当a＝9时，4a＝4×9＝36（岁） 考点二：用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】 用一根x分米的长条围成一个长是a分米的长方形，这个长方形的宽是( )分米，面积是( )平方分米；当x＝16，a＝5时，面积是( )平方分米。 【答案】 x÷2－a a（x÷2－a） 15 【分析】长方形周长公式为：周长＝（长＋宽）×2，已知周长和长，先用除法求出长和宽的和，再减去长得到宽的关系表达式；再根据长方形面积＝长×宽，求出长方形的面积的关系表达式；最后将x＝16，a＝5代入上述面积的关系表达式中，求出面积即可。 【详解】长和宽的和：（x÷2）分米 宽：（x÷2－a）分米 面积为：a（x÷2－a）平方分米 将x＝16，a＝5代入a（x÷2－a）中，可得面积为： 5×（16÷2－5） ＝5×（8－5） ＝5×3 ＝15（平方分米） 【变式训练】 如图所示，奇思用木棒摆成“列车车厢”的形状，第1个图形需要4根木棒，第2个图形需要7根木棒，照这样的方式摆下去，第4个图形需要( )根木棒；第个图形需要( )根木棒。 【答案】 13 3n＋1 【分析】第1个图形需要4根木棒，第2个图形需要7根木棒，第3个图形需要10根木棒。第2个图形比第1个图形多3根木棒，第3个图形比第2个图形多3根木棒。 第1个图形需要木棒数量：4 第2个图形需要木棒数量：4＋3 第3个图形需要木棒数量：4＋3＋3 第n个图形需要木棒数量： 4＋3×（n－1） ＝4＋3n－3 ＝3n＋1 【详解】4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（根） 所以第4个图需要13根木棒；第n个图需要（3n＋1）根木棒。 考点三：含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】 当m＝105，n＝15时，求m÷n的值。 【答案】7 【分析】把m＝105，n＝15代入m÷n中计算即可。 【详解】当m＝105，n＝15时 m÷n ＝105÷15 ＝7 【变式训练】 直接写得数。 b×b＝            a×b＝        x×y×7＝        x×1×y＝ 0.6x＋0.4x＝        9.3x－3.1x＝        8.4x÷2＝        0.6×0.9＝ 【答案】 ；；；； ；；； 【解析】略 考点四：用字母表示规律 【典例精讲】 按下面的规律，第5个图形一共有( )个●，第10个图形一共有( )个●。 【答案】 25 100 【分析】观察题图可知，第1个图形中有（1×1）个●，第2个图形中有（2×2）个●，第3个图形中有（3×3）个●，第4个图形中有（4×4）个●，则第n个图形中有（n×n）个●，据此解答。 【详解】5×5＝25（个） 10×10＝100（个） 故第5个图形中有25个●，第10个图形中有100个●。 【变式训练】 漏窗是中国古典园林建筑中的装饰性透空窗，具有“景中有画，画中有景”的艺术效果。下面是“正六边形”样式的漏窗设计示意图。按照这样的规律设计，第6幅图有( )个正六边形，第25幅图有( )个正六边形，第n幅图有( )个正六边形。 【答案】 / 【分析】第幅图有个正六边形， 第幅图有个正六边形， 第幅图有个正六边形， 由此可知，正六边形的个数第几幅图就用几 将 、分别代入通项公式，计算对应结果即可。 【详解】① （个） ② （个） ③ 个 考点五：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】 为确保“梨花会”顺利举办，政府部门发起“绿色出行，公益畅行”的活动，设立免费公交车接送游客。梨花会期间共接送游客6.4万人，比自驾游人数的3倍还多0.4万人。自驾游客多少人？如果用a表示自驾游客，可以写出等式( )。 【答案】3a＋0.4＝6.4 【分析】把自驾游客人数用a表示，接送游客6.4万人，它比自驾人数的3倍还多0.4万人，数量关系是自驾游客人数×3＋0.4万＝接送游客人数，根据这个等量关系列出等式。 【详解】根据分析可得：3a＋0.4＝6.4 【变式训练】 每千克草鱼的价钱是a元，每千克鳙鱼比每千克草鱼便宜7.5元，那么（a－7.5）表示的是___________，如果2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是____________。 【答案】 每千克鳙鱼的价钱 2a＝3（a－7.5） 【分析】较大数－差＝较小数；根据2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，可得草鱼单价×质量＝鳙鱼单价×质量。 【详解】已知每千克草鱼的价钱是a元，每千克鳙鱼比每千克草鱼便宜7.5元，每千克鳙鱼的价钱是（a－7.5）元，因此（a－7.5）表示的是每千克鳙鱼的价钱；单价×数量＝总价，2千克草鱼的价格是2a，3千克鳙鱼的价格是3（a－7.5），如果2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是2a＝3（a－7.5）。 【第四部分】专项提升练习 1．想一想，填一填。 【答案】4n；m＋3；a÷5；y－18 【分析】已知一架无人机螺旋桨的个数，求n架无人机有多少个螺旋桨，用一架无人机螺旋桨的个数×n解答。 求3年后淘气的年龄，用今年淘气的年龄＋3解答。 求a根小棒能摆五边形的个数，用a÷摆一个五边形需要的小棒根数解答。 求一个足球的单价，用篮球的价格－篮球比足球贵的钱数解答。 【详解】4×n＝4n（个），n架无人机有4n个螺旋桨； （m＋3）岁，3年后淘气（m＋3）岁； （a÷5）个，a根小棒能摆（a÷5）个五边形； （y－18）元，一个足球（y－18）元。 2．秦始皇陵兵马俑位于陕西省西安市临潼区，被誉为“世界第八大奇迹”，共出土陶俑约7500件，陶俑总数比步兵俑的4倍少1400件，步兵俑有x件。本题陶俑总数和步兵俑数的关系式是( )。 【答案】4x－1400＝7500 【分析】求比一个数的几倍少几的数，即用这个数×倍数－几。据此根据等量关系：步兵俑的数量×4－1400＝陶俑总数。 【详解】根据分析可知，等量关系式为：x×4－1400＝7500，即4x－1400＝7500。 3．“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中的“仞”是古代的一种长度计量单位，每仞的长度大约是170厘米，a仞约是( )厘米；当a＝8时，a仞约是( )厘米。 【答案】 170a 1360 【分析】每仞长170厘米，求a仞的总长度，就是求a个170相加的和，用乘法计算，数字和字母相乘时可以省略乘号，数字在前字母在后；然后把a的值代入表达式中算出结果即可。 【详解】170×a＝170a（厘米） 当a＝8时，170a＝170×8＝1360 a仞约是170a厘米；当a＝8时，a仞约是1360厘米。 4．和2a的结果在大多数情况下不相等。下列选项中，当a＝( )时，；当a＝( )时，；当a＝( )时，。（填序号） ①1    ②2    ③3 【答案】 ② ③ ① 【分析】a2表示2个a相乘，2a表示2和a相乘，分别将三个选项的数值代入两个式子计算后比较大小即可。 【详解】①a＝1时： a2＝1×1＝1 2a＝2×1＝2 因为1＜2，所以此时a2＜2a。 ②a＝2时： a2＝2×2＝4 2a＝2×2＝4 因为4＝4，所以此时a2＝2a。 ③a＝3时： a2＝3×3＝9 2a＝2×3＝6 因为9＞6，所以此时a2＞2a。 因此当a＝②时，；当a＝③时，；当a＝①时，。 5．一列磁悬浮列车的运行速度是430千米/时。进站前，列车平均每分钟减速m千米；5分钟后，减速( )千米；10分钟后，速度为( )千米/时。（m＜43） 【答案】 5m 430－10m 【分析】根据速度×时间＝路程，用每分钟减速度×时间，得到5分钟减速距离，初始速度减去10分钟的减速度，即为10分钟后的速度。 【详解】5×m＝5m（千米） 430－10×m ＝430－10m（千米/时） 6．声音在空气中每秒传播340米，t秒传播( ) 米；回声测距时，发出声音后n秒听到声音，单程距离为( )米。 【答案】 340t 170n 【分析】因为路程＝速度×时间，所以已知声音传播速度和传播时间t，可直接代入公式计算t秒传播的总路程。 分析回声测距的运动过程：因为声音从发出到听到回声经过了往返两段相同的路程，所以单程的距离是总传播路程的一半，先算出n秒声音传播的总路程，再除以2即可得到单程距离。 【详解】根据分析： 340×t＝340t（米） 340×n÷2 ＝340n÷2 ＝170n（米） 因此声音在空气中每秒传播340米，t秒传播（340t）米；回声测距时，发出声音后n秒听到声音，单程距离为（170n）米。 7．科学分析表明：人体体重与人体血液质量存在一定的关系。人体体重＝人体血液质量×13，人体体重（用W表示）与人体血液质量（用m表示）之间的关系是( )。李老师的血液质量是6.2千克，那么他的体重约是( )千克。 【答案】 W＝13m 80.6 【分析】人体体重＝人体血液质量×13，体重用W表示，血液质量用m表示，把文字关系替换成对应的字母，就得到关系式W＝13m；用李老师的血液质量乘13即可得到李老师的体重。 【详解】人体体重（用W表示）与人体血液质量（用m表示）之间的关系是W＝13m； 6.2×13＝80.6（千克） 8．国庆期间，某商场某型号的笔记本电脑很受欢迎，上午卖出68台，下午卖出85台。如果该型号笔记本售价x元，这一天一共卖出了( )元，上午比下午少卖了( )元。 【答案】 153x 17x 【分析】总价＝单价×数量，笔记本的售价乘上午卖出的台数等于上午的销售额，笔记本的售价乘下午卖出的台数等于下午的销售额，上午的销售额加下午的销售额等于一天的总销售额，下午的销售额减上午的销售额等于上午比下午少卖的销售额。 【详解】x×68＋x×85 ＝68x＋85x ＝153x（元） x×85－x×68 ＝85x－68x ＝17x（元） 9．直接写得数。 5f＋7f＝    13.6b－4b＝    2n＋8n－4n＝ 2m－0.7m＝    8y÷4y＝    2m×2m＝ 【答案】12f；9.6b；6n； 1.3m；2； 【解析】略 10．当a＝3，b＝5时，求2a＋4b的值。 【答案】26 【分析】把a＝3，b＝5代入表达式2a＋4b中算出结果即可。 【详解】当a＝3，b＝5时， 2a＋4b ＝2×3＋4×5 ＝6＋20 ＝26 11．简写下列式子。 x×3＝    1×y＝    a×a＝ b×12＝    m×n×4＝    5×x×x＝ 【答案】3x；y；a2； 12b；4mn；5x2 【解析】略 12．已知5，求b的值。              【答案】；；； 【分析】将分别代入四个等式，根据四则运算各部分的关系计算的值。 【详解】代入： 把代入： 把代入： 把代入： 13．3、6、10、15……这些数叫作三角形数，因为如下图所示，表示这些数的点都可以排成一个等边三角形。 (1)照这样的规律，第10个三角形数是( )。 (2)第n个三角形数是多少？210是第几个三角形数？ 【答案】(1)66 (2)；19个 【分析】先观察给出的三角形数：，找规律。 第1个数3， 第2个数6， 第3个数10， 第4个数15， …… 可归纳得出：第n个三角形数是从1加到的和。 用含有n的式子表示第n个三角形数是多少，代入就能求出第10个三角形数；求210是第几个三角形数时，将210代入含有n的式子建立等式，根据两个连续自然数相乘等于420，找出这一组连续自然数，再求出n的值。 【详解】观察规律： 第1个数3， 第2个数6， 第3个数10， 第4个数15， （1）第10个三角形数： 因此照这样的规律，第10个三角形数是66。 （2）第n个三角形数： 求210是第几个三角形数： 即：，210是第19个三角形数。 答：210是第19个三角形数。 14．如图，从一个长a分米，宽b分米的长方形中，剪去一个最大的正方形。（a＞b） (1)用含有字母的式子表示剩余部分的面积。 (2)当a＝12，b＝7时，剩余部分的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)（）平方分米 (2)35平方分米 【分析】（1）剩余部分是一个长方形，长为（a－b）分米，宽为b分米，剩余部分的长乘宽即可求出剩余部分的面积。 （2）a＝12，b＝7代入（1）的算式中计算即可解答。 【详解】（1）（a－b）×b＝（ab－b2）平方分米 （2）当a＝12，b＝7时。 ab－b2 ＝12×7－72 ＝84－49 ＝35（平方分米） 答：剩余部分的面积是35平方分米。 15．学校举行运动会，五（1）班同学获得了a个一等奖，b个二等奖（无三等奖）。学校要根据获奖情况评选“体育明星班”，1个一等奖加5分，1个二等奖加3分，1个三等奖加1分。 (1)用含有字母的式子表示五（1）班的总得分。 (2)当a＝3，b＝4时，五（1）班的总得分是多少？ 【答案】(1)（5a＋3b）分 (2)27分 【分析】（1）根据题意，分别表示出五（1）班获得一等奖和二等奖的得分，再相加并化简即可。 （2）把a＝3，b＝4代入字母式子，求出结果即可。 【详解】（1）a×5＋b×3＝5a＋3b 答：五（1）班的总得分是（5a＋3b）分。 （2）5a＋3b ＝3×5＋4×3 ＝15＋12 ＝27（分） 答：五（1）班的总得分是27分。 16．根据下面图形的排列规律，用含有字母n的式子表示B和C的值。 【答案】B＝2n－1；C＝（3n－2）n 【分析】先观察已知图形里的4个格子：图1：左上1，右上2，左下3，右下8；图2：左上2，右上3，左下5，右下21；图3：左上3，右上4，左下7，右下40 找B（左下）的规律，图1：3＝1＋2；图2：5＝2＋3；图3：7＝3＋4；规律：B＝左上＋右上。 找C（右下）的规律，图1：（1＋3）×2＝4×2＝8；图2：（2＋5）×3＝7×3＝21；图3：（3＋7）×4＝10×4＝40；规律：C＝（左上＋左下）×右上。 【详解】根据分析：B＝n－1＋n＝2n－1； C＝（n－1＋2n－1）×n＝（3n－2）n 17．“田家少闲月，五月人倍忙。夜来南风起，小麦覆陇黄。”周末，亮亮一家帮爷爷收小麦，爷爷家有19亩地。爷爷说：“今年一亩地可以产小麦x千克，收完小麦后种玉米，预计秋后一亩地可以产y千克玉米。” (1)爷爷家一年可以收小麦和玉米共多少千克？（用含有字母的式子表示） (2)当x＝500，y＝550时，一年可以收小麦和玉米共多少千克？ 【答案】(1)19（x＋y）千克 (2)19950千克 【分析】（1）一年一亩地可以产小麦和玉米的重量和乘亩数即为爷爷家一年可以收小麦和玉米的总产量。 （2）把x＝500，y＝550代入（1）的式子中计算即可解答。 【详解】（1）（x＋y）×19＝19（x＋y）千克 答：爷爷家一年可以收小麦和玉米共19（x＋y）千克。 （2）当x＝500，y＝550时 19（x＋y） ＝19×（500＋550） ＝19×1050 ＝19950（千克） 答：一年可以收小麦和玉米共19950千克。 18．下表是张叔叔的汽车二氧化碳排放量与耗油量的关系。 耗油量/升 1 2 3 4 5 二氧化碳排放量/克 2300 4600 6900 9200 (1)补全表格 (2)3月张叔叔的汽车耗油量为b升，则二氧化碳排放量是( )克。 (3)当b＝60时，3月他的汽车的二氧化碳排放量是( )克。 (4)请你从“低碳出行，绿色生活”的角度提一些建议。 【答案】(1) 耗油量/升 1 2 3 4 5 二氧化碳排放量/克 2300 4600 6900 9200 11500 (2)2300b (3)138000 (4)少开私家车，骑单车或步行，绿色出行。 【分析】（1）用每升油的二氧化碳排放量乘耗油量，求出对应排放质量。 （2）用每升油排放的2300克乘耗油量b升，求出二氧化碳排放量。 （3）把b＝60代入第（2）问的式子，求出结果。 （4）结合低碳出行，写出绿色出行的可行建议。 【详解】（1）5升：2300×5＝11500（克），填表略 （2）b升：2300×b＝2300b（克） （3）2300×60＝138000（克） （4）略 19．医学上常用一个估算公式来快速计算2～6岁儿童的参考体重：用自己的年龄乘2再加上8就是自己的参考体重。（单位：千克） (1)在上幼儿园的玲玲今年n岁，请用含有字母的式子表示玲玲的参考体重。 (2)若丽丽今年6岁，她现在的体重比参考体重多0.5千克。丽丽现在的体重是多少？ 【答案】(1)千克 (2)20.5千克 【分析】（1）根据题意：参考体重＝年龄×2＋8；据此代入年龄写出含字母的式子即可； （2）先代入年龄6求出参考体重，再加上多出的0.5千克，得到丽丽的实际体重。 【详解】（1）千克 答：玲玲的参考体重是千克。 （2） （千克） 答：丽丽现在的体重是20.5千克。 20．电费计算方法：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。 (1)季辰家八月份用电a千瓦时，如果a不大于100，那么季辰家八月份缴的电费用字母表示是( )元。 (2)陈俪家八月份用电b千瓦时，如果b大于100，用含有字母的式子表示陈俪家八月份应缴的电费。当b＝140时，请你算出陈俪家八月份要缴电费多少元。 【答案】(1) (2)元；76元 【分析】（1）用电量不超过100千瓦时，直接用单价乘用电量即可得到电费； （2）用电量超过100千瓦时，需分100千瓦时以内和超出部分两段计算费用，相加得到总电费，再将代入计算具体金额。 【详解】（1）（元） （2）总电费式子： 元 当时： （元） 答：用含有字母的式子表示陈俪家八月份应缴的电费是元。陈俪家八月份要缴电费元。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 用字母表示数和数量关系 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、用字母表示数的意义 用字母可以表示任意的数，也可以表示特定的数量、数量关系、运算定律和计算公式。用字母表示数是代数的基础，能把数量关系简明地表达出来，更具普遍性。 ● 例如：用表示小明的年龄，用表示路程，用表示图形的周长。 二、用字母表示数的书写规范（重点） 在含有字母的式子里，字母与数、字母与字母相乘时，书写有特殊规定： 1. 乘号的省略 　　● 字母与数字相乘，乘号可以记作"·"，也可以省略不写。 　　● 字母与字母相乘，乘号可以记作"·"，也可以省略不写。 　　● 字母与1相乘，1可以省略不写，直接写字母。例如：。 2. 数字在前 省略乘号时，必须把数字写在字母的前面。例如：，不能写成。 3. 平方的写法 两个相同字母相乘，可以写成平方的形式。例如：，读作"a的平方"，表示两个相乘。 　　● 注意区分：（两个相乘）；（两个相加），两者意义完全不同。 4. 其他规则 　　● 几个不同字母相乘，一般按字母表顺序排列。例如：。 　　● 加号、减号、除号都不能省略，只有乘号可以省略。 三、用字母表示常见的数量关系 1. 经典数量关系式 　　● 路程问题：（路程=速度×时间） 　　● 购物问题：总价 = 单价×数量，即 　　● 工程问题：工作总量 = 工作效率×工作时间 　　● 产量问题：总产量 = 单产量×数量 2. 和差倍关系 　　● 比多的数： 　　● 比少的数： 　　● 的倍： 　　● 比的倍多： 　　● 比的倍少： 3. 年龄问题规律 两人的年龄差永远不变。例如：小明今年岁，妈妈今年岁，年龄差是岁，再过年，年龄差仍是岁。 四、用字母表示运算定律与计算公式 1. 运算定律 　　● 加法交换律： 　　● 加法结合律： 　　● 乘法交换律： 　　● 乘法结合律： 　　● 乘法分配律： 2. 几何计算公式 　　● 长方形：周长；面积 　　● 正方形：周长；面积 五、含有字母式子的求值 当字母的数值确定时，把数值代入式子，按照运算顺序计算出结果，就是式子的值。 ● 步骤：① 写出含有字母的原式；② 把字母的数值代入式子；③ 按运算顺序计算出结果。 ● 注意：代入数值时，省略的乘号要还原出来。例如：式子，当时，。 六、字母的取值范围 字母表示的数不是任意的，要根据实际情况确定取值范围。 ● 例如：用表示人数，只能是非负整数；用表示正方形的边长，必须大于0。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：书写规范——"三注意"法 【解题思路】 判断含有字母的式子书写是否正确，核心抓住三个注意点：乘号省略规则、数字位置、平方与倍数的区别，按规则逐项检查即可。 【操作步骤】 第一步：看乘号：只有乘号能省略，加减除都不能省；数字和字母、字母和字母相乘才能省乘号； 第二步：看顺序：省略乘号时数字必须在前，字母在后； 第三步：看平方：两个相同字母相乘才是平方，和"几倍的字母"区分开。 【易错提升】 ● 易错点1：把写成，混淆平方和倍数。 　　→ 规避技巧：记住"右上角小2是平方，两个相乘；前面有2是两倍，两个相加"。 ● 易错点2：数字写在字母后面，比如。 　　→ 规避技巧：省略乘号时，数字永远在前，字母在后。 ● 易错点3：写成。 　　→ 规避技巧：1和字母相乘，1直接省略，只写字母。 方法点拨2：数量关系表示——抓关键词法 【解题思路】 用字母表示数量关系，关键是抓住题目中的关键词，比如"一共、比…多、比…少、是…的几倍、剩下、增加"等，理清谁和谁比、谁大谁小，再对应列式。 【操作步骤】 第一步：抓关键词，判断是和、差、倍哪种关系； 第二步：确定单位"1"的量（被比较的量）； 第三步：根据关系写出含有字母的式子。 【易错提升】 ● 易错点1："比的3倍多5"列成。 　　→ 规避技巧：先算倍数，再算多少，先乘后加减，不是先加后乘。 ● 易错点2："比少"列成。 　　→ 规避技巧："比谁少"就用谁减，比少，就用减。 方法点拨3：代入求值——三步法 【解题思路】 求含有字母式子的值，严格按"抄式—代入—计算"三步来，先写原式，再把字母换成对应的数，最后按四则运算顺序计算。 【操作步骤】 第一步：抄写出含有字母的原式； 第二步：把字母的数值代入式子，省略的乘号要还原； 第三步：按运算顺序计算出结果。 【易错提升】 ● 易错点1：代入时不还原乘号，比如，时写成35。 　　→ 规避技巧：代入数值第一步，先把省略的乘号补上，变成再计算。 ● 易错点2：运算顺序错误，先算加减后算乘除。 　　→ 规避技巧：和整数四则运算顺序一样，先乘除后加减，有括号先算括号里的。 方法点拨4：式子化简——合并同类项法 【解题思路】 含有字母的式子化简，只有字母相同的项才能合并。合并时，字母和字母的指数不变，只把前面的系数相加减。 【操作步骤】 第一步：找同类项，字母相同、字母的次数也相同的项是同类项； 第二步：系数相加减，字母和指数不变； 第三步：检查结果，系数是1的要省略1。 【易错提升】 ● 易错点1：合并时把字母也加起来，比如。 　　→ 规避技巧：合并同类项只变系数，字母不变，就像3个苹果加2个苹果等于5个苹果，还是苹果。 ● 易错点2：不是同类项也合并，比如。 　　→ 规避技巧：字母不同不能合并，保留原式即可。 【第三部分】考点讲练 考点一：用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】 一本书120页，小明每天看a页，看了4天，看了( )页；当a＝18时，看了( )页。 【变式训练】 妈妈说：“我今年的年龄是淘气的4倍。”淘气说：“我今年a岁。”用含有字母的式子表示妈妈今年的年龄是( )岁；如果淘气今年9岁，那么妈妈今年( )岁。 考点二：用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】 用一根x分米的长条围成一个长是a分米的长方形，这个长方形的宽是( )分米，面积是( )平方分米；当x＝16，a＝5时，面积是( )平方分米。 【变式训练】 如图所示，奇思用木棒摆成“列车车厢”的形状，第1个图形需要4根木棒，第2个图形需要7根木棒，照这样的方式摆下去，第4个图形需要( )根木棒；第个图形需要( )根木棒。 考点三：含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】 当m＝105，n＝15时，求m÷n的值。 【变式训练】 直接写得数。 b×b＝            a×b＝        x×y×7＝        x×1×y＝ 0.6x＋0.4x＝        9.3x－3.1x＝        8.4x÷2＝        0.6×0.9＝ 考点四：用字母表示规律 【典例精讲】 按下面的规律，第5个图形一共有( )个●，第10个图形一共有( )个●。 【变式训练】 漏窗是中国古典园林建筑中的装饰性透空窗，具有“景中有画，画中有景”的艺术效果。下面是“正六边形”样式的漏窗设计示意图。按照这样的规律设计，第6幅图有( )个正六边形，第25幅图有( )个正六边形，第n幅图有( )个正六边形。 考点五：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】 为确保“梨花会”顺利举办，政府部门发起“绿色出行，公益畅行”的活动，设立免费公交车接送游客。梨花会期间共接送游客6.4万人，比自驾游人数的3倍还多0.4万人。自驾游客多少人？如果用a表示自驾游客，可以写出等式( )。 【变式训练】 每千克草鱼的价钱是a元，每千克鳙鱼比每千克草鱼便宜7.5元，那么（a－7.5）表示的是___________，如果2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是____________。 【第四部分】专项提升练习 1．想一想，填一填。 2．秦始皇陵兵马俑位于陕西省西安市临潼区，被誉为“世界第八大奇迹”，共出土陶俑约7500件，陶俑总数比步兵俑的4倍少1400件，步兵俑有x件。本题陶俑总数和步兵俑数的关系式是( )。 3．“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中的“仞”是古代的一种长度计量单位，每仞的长度大约是170厘米，a仞约是( )厘米；当a＝8时，a仞约是( )厘米。 4．和2a的结果在大多数情况下不相等。下列选项中，当a＝( )时，；当a＝( )时，；当a＝( )时，。（填序号） ①1    ②2    ③3 5．一列磁悬浮列车的运行速度是430千米/时。进站前，列车平均每分钟减速m千米；5分钟后，减速( )千米；10分钟后，速度为( )千米/时。（m＜43） 6．声音在空气中每秒传播340米，t秒传播( ) 米；回声测距时，发出声音后n秒听到声音，单程距离为( )米。 7．科学分析表明：人体体重与人体血液质量存在一定的关系。人体体重＝人体血液质量×13，人体体重（用W表示）与人体血液质量（用m表示）之间的关系是( )。李老师的血液质量是6.2千克，那么他的体重约是( )千克。 8．国庆期间，某商场某型号的笔记本电脑很受欢迎，上午卖出68台，下午卖出85台。如果该型号笔记本售价x元，这一天一共卖出了( )元，上午比下午少卖了( )元。 9．直接写得数。 5f＋7f＝    13.6b－4b＝    2n＋8n－4n＝ 2m－0.7m＝    8y÷4y＝    2m×2m＝ 10．当a＝3，b＝5时，求2a＋4b的值。 11．简写下列式子。 x×3＝    1×y＝    a×a＝ b×12＝    m×n×4＝    5×x×x＝ 12．已知5，求b的值。              13．3、6、10、15……这些数叫作三角形数，因为如下图所示，表示这些数的点都可以排成一个等边三角形。 (1)照这样的规律，第10个三角形数是( )。 (2)第n个三角形数是多少？210是第几个三角形数？ 14．如图，从一个长a分米，宽b分米的长方形中，剪去一个最大的正方形。（a＞b） (1)用含有字母的式子表示剩余部分的面积。 (2)当a＝12，b＝7时，剩余部分的面积是多少平方分米？ 15．学校举行运动会，五（1）班同学获得了a个一等奖，b个二等奖（无三等奖）。学校要根据获奖情况评选“体育明星班”，1个一等奖加5分，1个二等奖加3分，1个三等奖加1分。 (1)用含有字母的式子表示五（1）班的总得分。 (2)当a＝3，b＝4时，五（1）班的总得分是多少？ 16．根据下面图形的排列规律，用含有字母n的式子表示B和C的值。 17．“田家少闲月，五月人倍忙。夜来南风起，小麦覆陇黄。”周末，亮亮一家帮爷爷收小麦，爷爷家有19亩地。爷爷说：“今年一亩地可以产小麦x千克，收完小麦后种玉米，预计秋后一亩地可以产y千克玉米。” (1)爷爷家一年可以收小麦和玉米共多少千克？（用含有字母的式子表示） (2)当x＝500，y＝550时，一年可以收小麦和玉米共多少千克？ 18．下表是张叔叔的汽车二氧化碳排放量与耗油量的关系。 耗油量/升 1 2 3 4 5 二氧化碳排放量/克 2300 4600 6900 9200 (1)补全表格 (2)3月张叔叔的汽车耗油量为b升，则二氧化碳排放量是( )克。 (3)当b＝60时，3月他的汽车的二氧化碳排放量是( )克。 (4)请你从“低碳出行，绿色生活”的角度提一些建议。 19．医学上常用一个估算公式来快速计算2～6岁儿童的参考体重：用自己的年龄乘2再加上8就是自己的参考体重。（单位：千克） (1)在上幼儿园的玲玲今年n岁，请用含有字母的式子表示玲玲的参考体重。 (2)若丽丽今年6岁，她现在的体重比参考体重多0.5千克。丽丽现在的体重是多少？ 20．电费计算方法：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。 (1)季辰家八月份用电a千瓦时，如果a不大于100，那么季辰家八月份缴的电费用字母表示是( )元。 (2)陈俪家八月份用电b千瓦时，如果b大于100，用含有字母的式子表示陈俪家八月份应缴的电费。当b＝140时，请你算出陈俪家八月份要缴电费多少元。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $