第三单元 小数除法（一个数除以小数）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学五年级上册（新教材）

第三单元 小数除法（一个数除以小数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、核心算理：商不变的性质 一个数除以小数，计算的核心依据是商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 ● 转化思想：把除数是小数的除法转化成已经学过的除数是整数的除法，体现了"化新为旧"的数学思想。 ● 转化原则：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数，保证商不变。 二、计算法则（三步法） 计算一个数除以小数，遵循"一看、二移、三算"的步骤： 1. 一看：看清除数有几位小数； 2. 二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数； 　　● 被除数的小数位数不够时，在被除数的末尾用0补足； 3. 三算：按照除数是整数的小数除法法则进行计算，商的小数点与移动后的被除数小数点对齐。 三、两种常见情况 1. 被除数小数位数 ≥ 除数小数位数 　　● 例：，除数两位小数，被除数也有两位小数，同时右移两位，转化为。 2. 被除数小数位数 ＜ 除数小数位数 　　● 例：，除数两位小数，被除数只有一位小数，同时右移两位时，被除数位数不够，在末尾补1个0，转化为。 四、商与被除数的大小关系（被除数不为0） 1. 除数大于1，商小于被除数； 2. 除数等于1，商等于被除数； 3. 除数小于1（0除外），商大于被除数。 ● 口诀：除大变小，除1不变，除小变大。 五、验算方法 小数除法的验算与整数除法一致，利用乘除法互逆关系： 商 × 除数 = 被除数 ● 验算可以快速排查小数点错位、漏补0、商的数位错误等问题。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本计算——商不变移位法 【解题思路】 解决除数是小数的除法，核心是利用商不变性质，把除数转化为整数，被除数同步扩大相同倍数，再按除数是整数的方法计算。 【操作步骤】 第一步：数除数的小数位数，确定小数点向右移动几位； 第二步：除数和被除数的小数点同时向右移动相同位数； 第三步：按除数是整数的小数除法计算，商的小数点与移动后的被除数对齐。 【易错提升】 ● 易错点1：只移动除数的小数点，被除数不移动。 　　→ 规避技巧：牢记"商不变"，除数变几倍，被除数也要变几倍，必须同步移动。 ● 易错点2：小数点向左移动，越变越小。 　　→ 规避技巧：把除数变成整数，数字要变大，小数点一定是向右移动。 方法点拨2：位数不足——补0占位法 【解题思路】 当被除数的小数位数比除数少时，小数点右移到被除数末尾后位数不够，需要在被除数末尾添0补足，保证除数变成整数，商才不变。 【操作步骤】 第一步：数除数的小数位数，确定需要右移几位； 第二步：被除数小数点同步右移，移到末尾还差几位，就补几个0； 第三步：转化成整数除法后正常计算。 【易错提升】 ● 易错点1：补0的个数错误，多补或少补。 　　→ 规避技巧：除数有几位小数，被除数就一共要有几位小数，差几位补几个0。 ● 易错点2：在整数后面补0时，忘记点小数点直接补0。 　　→ 规避技巧：先把整数看成小数部分是0的小数，再右移补0，比如12看成12.0，右移两位就是1200。 方法点拨3：商大小判断——1分界法 【解题思路】 不用计算准确结果，快速判断商和被除数的大小关系，以1为分界点，看除数和1的大小关系即可。 【操作步骤】 第一步：找到除数，和1比较大小； 第二步：除数＞1 → 商＜被除数；除数＝1 → 商＝被除数；除数＜1 → 商＞被除数。 【易错提升】 ● 易错点1：认为所有小数都小于1，商就都大于被除数。 　　→ 规避技巧：小数可能大于1也可能小于1，比如2.5是小数，但大于1，商比被除数小。 ● 易错点2：被除数是0的情况也套用规律。 　　→ 规避技巧：0除以任何不为0的数都得0，和被除数相等，规律适用于被除数不为0的情况。 【第三部分】考点讲练 考点一：基本计算（位数匹配） 考查重点：掌握除数是小数的基本转化方法，能正确计算被除数和除数小数位数相同的除法。 【典例精讲】 题目：列竖式计算： 【分析】 除数0.85是两位小数，根据商不变性质，把除数和被除数的小数点同时向右移动两位，转化成整数除法，再按除数是整数的方法计算。 【详解】 9 ______ 85 )765 765 ----- 0 同时右移两位小数点，转化为。 【答案】9 【变式训练】 题目：列竖式计算： 【分析】 除数1.2是一位小数，小数点同时向右移动一位，转化为计算。 【详解】 9 ______ 12 )108 108 ----- 0 同时右移一位小数点，转化为。 【答案】9 考点二：被除数小数位数不足的计算 考查重点：掌握被除数位数不够时补0的方法，能正确处理补0的小数除法。 【典例精讲】 题目：列竖式计算： 【分析】 除数0.28是两位小数，被除数12.6只有一位小数，小数点同时向右移动两位，被除数位数不够，在末尾补1个0，转化为计算。 【详解】 45 _______ 28 )1260 112 ---- 140 140 ---- 0 同时右移两位，被除数补0，转化为。 【答案】45 【变式训练】 题目：列竖式计算： 【分析】 除数0.07是两位小数，被除数5.6只有一位小数，同时右移两位，被除数补1个0，转化为计算。 【详解】 80 ______ 7 )560 56 --- 0 同时右移两位，被除数补0，转化为。 【答案】80 考点三：商与被除数的大小关系 考查重点：能不用计算，快速判断商与被除数的大小关系。 【典例精讲】 题目：在○里填上"＞""＜"或"＝"。 ○ ○ ○ ○ 【分析】 根据"除大变小，除1不变，除小变大"的规律，比较除数和1的大小，直接判断商与被除数的关系。 【详解】 ● ，商小于被除数，； ● ，商大于被除数，； ● 除数等于1，商等于被除数，； ● ，商大于被除数，。 【答案】＜；＞；＝；＞ 【变式训练】 题目：判断：一个数除以小数，商一定大于被除数。（　） 【分析】 小数可能大于1也可能小于1。除以大于1的小数，商小于被除数；除以小于1的小数，商大于被除数，所以商不一定大于被除数。 【详解】 例如：，，此时商小于被除数，所以题目说法错误。 【答案】× 考点四：验算与实际应用 考查重点：能正确验算小数除法，运用一个数除以小数解决生活中的实际问题。 【典例精讲】 题目：计算并验算： 【分析】 除数0.3是一位小数，同时右移一位转化为计算。验算用商乘除数，看结果是否等于被除数。 【详解】 7.3 ______ 3 )21.9 21 --- 9 9 --- 0 计算： 验算：，和被除数相等，计算正确。 【答案】7.3 【变式训练】 题目：苹果每千克7.5元，妈妈买苹果一共花了22.5元，妈妈买了多少千克苹果？ 【分析】 已知总价和单价，求数量，根据"总价÷单价=数量"，列式计算。 【详解】 （千克） 答：妈妈买了3千克苹果。 【答案】3千克 【第四部分】专项提升练习 1．竖式计算。（带Δ的得数保留两位小数，带※的要验算） 21÷0.75＝         Δ0.36÷1.1≈          ※2.55÷2.5＝ 【答案】28；0.33；1.02 【分析】小数除法法则是：先把除数的小数点去掉，使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），然后按照除数是整数的除法进行计算。第3题验算时，用商乘除数，看积是否等于被除数，如果等于被除数，说明计算正确，否则不正确。 求商的近似数，通常求到比需要保留的小数数位多一位，第2题要求得数保留两位小数，那就除到小数点后第三位，再按照“四舍五入”法保留两位小数，据此解答。 【详解】21÷0.75＝28                    0.36÷1.1≈0.33                                  2.55÷2.5＝1.02                                验算： 2．竖式计算，带※的要验算。 44.1÷0.63＝       ※51.85÷0.17＝          3.38÷15≈（结果保留两位小数） 【答案】70；305；0.23 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数字用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法保留小数。 除法的验算：可以根据“商×除数＝被除数”进行验算。 【详解】44.1÷0.63＝70           ※51.85÷0.17＝305          3.38÷15≈0.23   验算： 3．用竖式计算，带*的要验算。 *        （保留两位小数） *        （保留一位小数） 【答案】28；3.30； 0.782；68.6 【分析】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 除法的验算用乘法，即被除数＝商×除数； 乘法的验算用除法，即积÷一个因数＝另一个因数； 保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【详解】*28                          3.30（保留两位小数） 验算             *0.782                       68.6（保留一位小数） 验算           4．列竖式计算。（带★要验算） 3.08×2.4＝        ★13.5÷0.45＝       7.6÷1.1≈（保留一位小数） 【答案】7.392；30；6.9 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点； 小数除法计算方法：在计算除数是小数的除法时。根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算，利用“商×除数＝被除数”验算即可；得数保留一位小数，看百分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可。 【详解】3.08×2.4＝7.392        ★13.5÷0.45＝30                                          7.6÷1.1≈6.9      验算：               5．用竖式计算。 （1）12.6÷0.28    （2）7.65÷0.85     （3）5.46÷4.2     （4）10÷3（商用循环小数表示） 【答案】（1）45；（2）9； （3）1.3；（4） 【分析】针对除数是小数的除法，因为要将除数转化为整数方便计算，所以先根据商不变规律，把除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变为整数。除数转化为整数后，按照除数是整数的小数除法竖式计算规则，确定商的小数点位置，逐步计算结果。 如果计算时出现余数重复的情况，那么依据循环小数的表示方法，对重复出现的循环节做对应标记即可。 【详解】①                                               ②                                                ③                                                  ④                                                      6．用竖式计算。（带★的得数保留两位小数） 3.6×2.05＝           5.04÷0.36＝           ★2.7÷3.9≈ 【答案】7.38；14；0.69 【分析】小数乘法法则是：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 小数除法法则是：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），然后按照除数是整数的除法进行计算。 求商的近似数，通常求到比需要保留的小数数位多一位，得数保留两位小数，那就除到小数点后第三位，再按照“四舍五入”法保留两位小数，据此解答。 【详解】3.6×2.05＝7.38      5.04÷0.36＝14                      2.7÷3.9≈0.69 验算： 7．用竖式计算。（带★的得数保留一位小数） 7.8×1.06＝    2.08÷3.2＝ ★34.56÷1.7≈    ★0.55×0.37≈ 【答案】8.268；0.65； 20.3；0.2 【分析】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 保留几位小数，就看保留位数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【详解】7.8×1.06＝8.268               2.08÷3.2＝0.65                34.56÷1.7≈20.3                    0.55×0.37≈0.2                8．列竖式计算，并用乘法验算。 98.4÷1.23＝        1.3÷0.026＝      0.96÷6.4＝ 【答案】80；50；0.15 【分析】除数是小数的除法，先将除数转化为整数，同时被除数的小数点也向右移动相同的位数，位数不够时补0；按照除数是整数的小数除法竖式计算方法，计算得到商。 用乘法验算，因为除法和乘法互为逆运算，所以将得到的商与原来的除数相乘，验证乘积是否等于原来的被除数。 【详解】98.4÷1.23＝80                                           1.3÷0.026＝50 验算     验算 0.96÷6.4＝0.15 验算 9．用竖式计算。 1.08×0.26＝    3.25×4＝  5.63÷6.1≈（保留两位小数） 【答案】0.2808；13；0.92 【分析】小数乘法竖式计算：不看小数点，按照整数乘法列竖式，末尾对齐（不是小数点对齐！）算出整数乘积数两个因数一共有几位小数从积的右边起数出相应位数，点上小数点末尾有0可以去掉；位数不够前面补0。 除数是小数的小数除法：把除数变成整数，除数小数点向右移几位，被除数小数点也向右移相同位数（位数不够，末尾补0）转化成除数是整数的除法计算商的小数点和新被除数小数点对齐要求保留几位小数，多算一位，再四舍五入。 【详解】1.08×0.26＝0.2808 3.25×4＝13 5.63÷6.1≈0.92 10．竖式计算。 1.5×2.74＝        7.38÷3.6＝     3.46×0.25≈（保留两位小数） 【答案】4.11；2.05；0.87 【分析】计算小数乘法时，先按整数乘法计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，通常小数末尾的0需要去掉。积保留两位小数时，要看小数点后面第三位，再根据四舍五入取近似值。 计算除数是小数的小数除法时，先把除数的小数点向右移动使其变为整数，同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够时补0），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】1.5×2.74＝4.11        7.38÷3.6＝2.05           3.46×0.25≈0.87                  11．列竖式计算。（带☆的保留两位小数） （1）4.26×1.5            （2）8.976÷0.88 （3）☆0.35×0.27            （4）☆5.75÷15 【答案】（1）6.39；（2）10.2； （3）0.09；（4）0.38 【分析】计算小数乘法时，先按整数乘法计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，通常小数末尾的0需要去掉。积保留两位小数时，要看小数点后面第三位，再根据四舍五入取近似值。 计算小数除法时，如果除数是整数，就直接按照整数除法的规则计算，注意商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到末尾有余数时补0继续除；如果除数是小数，先把除数的小数点向右移动使其变为整数，同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够时补0），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。商保留两位小数时，要除到小数点后面第三位，再根据四舍五入取近似值。 【详解】（1）4.26×1.5＝6.39        （2）8.976÷0.88＝10.2               （3）0.35×0.27≈0.09        （4）5.75÷15≈0.38              12．用竖式计算。（得数保留两位小数） 0.32×5.05      0.742÷3.8      1.5÷0.045 【答案】1.62；0.20；33.33 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点； 小数除法计算方法：在计算除数是小数的除法时。根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算； 得数保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可。 【详解】0.32×5.05≈1.62 0.742÷3.8≈0.20 1.5÷0.045≈33.33 13．列竖式计算。（带☆的要验算，带★的得数用循环小数表示） 4.05×2.4＝            ☆0.702÷0.27＝                ★15.3÷11＝ 【答案】9.72；2.6； 【分析】小数乘法计算：按整数乘法的法则先求出积，看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，小数末尾有0的根据小数的性质去掉末尾的0。 除数是整数的小数除法：商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续除；若除到被除数的末尾仍有余数，在余数末尾添0，继续除。除不尽时，商用循环小数表示。 除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。除法采用“商×除数”看是否等于被除数来进行验算。 【详解】4.05×2.4＝9.72                    ☆0.702÷0.27＝2.6                                             验算： ★15.3÷11＝ 14．计算下面各题，带☆的要验算。 21.4×0.75＝        0.84÷3.5≈    （得数保留一位小数）     ☆10.8÷4.5＝ 【答案】16.05；0.2；2.4 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 除法的验算：可以根据“商×除数＝被除数”进行验算。 【详解】21.4×0.75＝16.05    0.84÷3.5≈0.2    ☆10.8÷4.5＝2.4         验算： 15．用竖式计算。                  （精确到十分位）        （保留三位小数） 【答案】；； ； 【分析】小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位； 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除； 精确到十分位，要看百分位上的数字是几，然后根据四舍五入的方法取近似值。 保留三位小数就是精确到千分位，要看万分位上的数字是几，然后根据四舍五入的方法取近似值； 【详解】340          20.8     6.1（精确到十分位）    0.969（保留三位小数）               16．用竖式计算。 3.02×5.5＝    400×0.26＝    82.3÷27＝   （保留两位小数）    2.29÷1.1＝     （商用循环小数表示） 【答案】16.61；104；3.05； 【分析】计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉。 计算小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 除不尽时，如果是循环小数，商用循环小数表示。循环小数的简写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。 如果要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 【详解】3.02×5.5＝16.61                     400×0.26＝104                            82.3÷27≈3.05（保留两位小数）    2.29÷1.1＝                      17．竖式计算。（除不尽保留两位小数）          【答案】16；2.5；5.19 【分析】除数是小数的除法，因为要将除数转化为整数计算，所以先根据商不变性质，把除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数变为整数。按照除数是整数的小数除法竖式计算规则进行计算，商的小数点要和移动后的被除数小数点对齐，依此确定商的小数点位置。如果遇到除不尽的情况，那么需要计算到小数第三位，即千分位，再根据四舍五入法保留两位小数，若千分位上的数大于等于5，舍去时向百分位进1，若小于5直接舍去即可。 【详解】16                                              2.5                                      5.19                                                                  18．用竖式计算。 76÷25＝    264÷4.8＝      17.4÷15＝      26.18÷1.7＝ 【答案】3.04；55；1.16；15.4 【分析】除数是整数的小数除法：按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，整数部分不够除，商0，点上小数点继续除，除到被除数末尾仍有余数，添0继续往下除。 除数是小数的小数除法：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），按照除数是整数的除法进行计算。 【详解】（1）76÷25＝3.04         （2）264÷4.8＝55        （3）17.4÷15＝1.16       （4）26.18÷1.7＝15.4                       19．列竖式计算。 0.58×2.4＝     14.6÷3.4≈  （得数保留一位小数）      27.8÷2.5＝ 【答案】1.392；4.3；11.12 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 【详解】0.58×2.4＝1.392          14.6÷3.4≈4.3              27.8÷2.5＝11.12                  20．竖式计算。（带*的要验算，带△的商用循环小数表示） ①4.75×3.7≈     （得数保留一位小数）    ②*15÷0.25＝    ③△78.6÷11＝ 【答案】 ①；②；③ 【分析】①小数乘法，先按整数乘法算出积，再点小数点，最后用四舍五入保留一位小数。 ②小数除法，把除数转化成整数计算，带*要验算，利用商×除数＝被除数验算。 ③小数除法，除到商出现重复数字，找出循环节，写成循环小数简便形式。 【详解】①4.75×3.7≈ 17.6                  ②*15÷0.25＝60                  验算： ③△78.6÷11＝ 21．列竖式计算。（带※的要验算） （1）                          （2）※ （3）（用循环小数表示商）         （4）（得数保留两位小数） 【答案】（1）160；（2）6.09； （3）；（4）2.49 【分析】除数是小数的竖式计算方法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法计算。 除数是整数的竖式计算方法：按照整数除法法则计算，除到哪一位就在那一位的上面写商，除到最后一位仍除不尽时，添0继续除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 除法算式中，根据被除数＝商×除数进行验算。 当竖式计算中出现和之前完全相同的余数时，后续的商就会开始重复，此时从第一次出现该余数对应的商位开始，到重复前的最后一位商，就是循环节，循环节只有1个数字的，只需在这个数字上方点一个小圆点。 求近似数时，除到需要保留位数的下一位，然后根据四舍五入法取舍即可。 【详解】67.2÷0.42＝160                          7.917÷1.3＝6.09            验算： 1.52÷12＝                        72.1÷29≈2.49                     22．列竖式计算。（带★的要验算） （1）36.4÷0.56＝        （2）得数保留两位小数2.5÷11≈            ★（3）6.12÷1.7＝ 【答案】65；0.23；3.6 【分析】除数是小数的除法：先根据商不变性质，把除数和被除数同时扩大相同的倍数，再按照整数除法的竖式计算方法进行计算。 需要保留两位小数的小数除法：先根据商不变性质，把除数和被除数同时扩大相同的倍数，再按照整数除法的竖式计算方法进行计算，计算时需要除到小数部分第三位，再用四舍五入法取近似值。 小数除法的验算：计算出商后，用商乘除数，看结果是否和被除数相等。 【详解】36.4÷0.56＝65                           2.5÷11≈0.23                           6.12÷1.7＝3.6                                       验算： 23．竖式计算。 3.08×4.5＝        2.8×1.9＝ 15.6÷2.4＝        0.84÷28＝ 【答案】13.86；5.32； 6.5；0.03 【分析】计算小数乘法时，先按整数乘法计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，通常小数末尾的0需要去掉。 计算小数除法时，如果除数是整数，就直接按照整数除法的规则计算，注意商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到末尾有余数时补0继续除；如果除数是小数，先把除数的小数点向右移动使其变为整数，同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够时补0），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】3.08×4.5＝13.86         2.8×1.9＝5.32              15.6÷2.4＝6.5          0.84÷28＝0.03      24．用竖式计算。 32.8×2.5＝    27.59÷3.1＝    25.48÷2.6＝ 42.8×1.5＝    40.75÷2.5＝    60.8÷32＝ 【答案】82；8.9；9.8； 64.2；16.3；1.9 【分析】计算小数乘法时，先按整数乘法计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，通常小数末尾的0需要去掉。 计算小数除法时，如果除数是整数，就直接按照整数除法的规则计算，注意商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到末尾有余数时补0继续除；如果除数是小数，先把除数的小数点向右移动使其变为整数，同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够时补0），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】32.8×2.5＝82              27.59÷3.1＝8.9                25.48÷2.6＝9.8                           42.8×1.5＝64.2              40.75÷2.5＝16.3              60.8÷32＝1.9                            25．用竖式计算。 4.8×2.1＝         6.3×1.3＝          0.25×44＝ 52.7×0.8＝        32.5÷2.5＝         80.34÷1.3＝ 【答案】10.08；8.19；11； 42.16；13；61.8 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】4.8×2.1＝10.08        6.3×1.3＝8.19        0.25×44＝11                       52.7×0.8＝42.16       32.5÷2.5＝13        80.34÷1.3＝61.8                 26．用竖式计算。 2.08×82＝        5.67÷2.6≈   （得数保留两位小数）     4.692÷1.2＝ 4.2×2.5＝         7.59÷2.3＝          42.12÷2.7＝ 【答案】170.56；2.18；3.91； 10.5；3.3；15.6 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 【详解】2.08×82＝170.56       5.67÷2.6≈2.18        4.692÷1.2＝3.91              4.2×2.5＝10.5           7.59÷2.3＝3.3          42.12÷2.7＝15.6                      27．用竖式计算。 2.34×0.15≈（得数保留两位小数）      4.59÷1.5＝        1.52÷0.37＝（商用循环小数表示） 1.08×2.5＝                        34.5÷15＝        3.08×0.54≈（得数保留一位小数） 【答案】0.35；3.06；； 2.7；2.3；1.7 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起往左数，数出几位，点上小数点。 小数除法计算方法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够时，在被除数的末尾用0补足；最后按照除数是整数的除法进行计算。 得数保留一位或两位小数看小数点后第二位或第三位是几，再根据四舍五入法进行保留即可；发现循环的数字，找出循环节，表示出来即可。 【详解】2.34×0.15≈0.35                       4.59÷1.5＝3.06                  1.52÷0.37＝                            1.08×2.5＝2.7                       34.5÷15＝2.3                         3.08×0.54≈1.7                                      28．列竖式计算，除不尽的商保留一位小数。                   【答案】0.15；1.08；1.85； 16.7；66.8；54.4 【分析】先看除数，除数有几位小数，被除数和除数就同时扩大多少倍，把除数变成整数；除不尽时，保留一位小数要看百分位，百分位上的数四舍五入。 【详解】2.55÷17＝0.15                       12.96÷12＝1.08           3.33÷1.8＝1.85                                8.5÷0.51≈16.7                           31.4÷0.47≈66.8                     11.43÷0.21≈54.4                         29．列竖式计算，商保留一位小数。                            【答案】13.6；0.6；1.6； 7.0；2.1；0.4； 5.5；4.2；3.0 【分析】除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算；被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除；除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法保留小数。 【详解】                                                                                           30．列竖式计算，商保留两位小数。                            【答案】0.60；0.53；0.33； 3.35；0.22；1.94； 5.38；0.71；13.00 【分析】因为除数是小数，所以先依据商不变性质，将除数转化为整数，同时被除数扩大相同倍数，调整为除数是整数的小数除法。 因为要求商保留两位小数，所以计算时要除到商的千分位，也就是小数点后第三位。 对千分位上的数字使用四舍五入法，得到保留两位小数的近似结果。 【详解】                                                                                                                                                                                                                   第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数除法（一个数除以小数）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、核心算理：商不变的性质 一个数除以小数，计算的核心依据是商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 ● 转化思想：把除数是小数的除法转化成已经学过的除数是整数的除法，体现了"化新为旧"的数学思想。 ● 转化原则：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数，保证商不变。 二、计算法则（三步法） 计算一个数除以小数，遵循"一看、二移、三算"的步骤： 1. 一看：看清除数有几位小数； 2. 二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数； 　　● 被除数的小数位数不够时，在被除数的末尾用0补足； 3. 三算：按照除数是整数的小数除法法则进行计算，商的小数点与移动后的被除数小数点对齐。 三、两种常见情况 1. 被除数小数位数 ≥ 除数小数位数 　　● 例：，除数两位小数，被除数也有两位小数，同时右移两位，转化为。 2. 被除数小数位数 ＜ 除数小数位数 　　● 例：，除数两位小数，被除数只有一位小数，同时右移两位时，被除数位数不够，在末尾补1个0，转化为。 四、商与被除数的大小关系（被除数不为0） 1. 除数大于1，商小于被除数； 2. 除数等于1，商等于被除数； 3. 除数小于1（0除外），商大于被除数。 ● 口诀：除大变小，除1不变，除小变大。 五、验算方法 小数除法的验算与整数除法一致，利用乘除法互逆关系： 商 × 除数 = 被除数 ● 验算可以快速排查小数点错位、漏补0、商的数位错误等问题。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本计算——商不变移位法 【解题思路】 解决除数是小数的除法，核心是利用商不变性质，把除数转化为整数，被除数同步扩大相同倍数，再按除数是整数的方法计算。 【操作步骤】 第一步：数除数的小数位数，确定小数点向右移动几位； 第二步：除数和被除数的小数点同时向右移动相同位数； 第三步：按除数是整数的小数除法计算，商的小数点与移动后的被除数对齐。 【易错提升】 ● 易错点1：只移动除数的小数点，被除数不移动。 　　→ 规避技巧：牢记"商不变"，除数变几倍，被除数也要变几倍，必须同步移动。 ● 易错点2：小数点向左移动，越变越小。 　　→ 规避技巧：把除数变成整数，数字要变大，小数点一定是向右移动。 方法点拨2：位数不足——补0占位法 【解题思路】 当被除数的小数位数比除数少时，小数点右移到被除数末尾后位数不够，需要在被除数末尾添0补足，保证除数变成整数，商才不变。 【操作步骤】 第一步：数除数的小数位数，确定需要右移几位； 第二步：被除数小数点同步右移，移到末尾还差几位，就补几个0； 第三步：转化成整数除法后正常计算。 【易错提升】 ● 易错点1：补0的个数错误，多补或少补。 　　→ 规避技巧：除数有几位小数，被除数就一共要有几位小数，差几位补几个0。 ● 易错点2：在整数后面补0时，忘记点小数点直接补0。 　　→ 规避技巧：先把整数看成小数部分是0的小数，再右移补0，比如12看成12.0，右移两位就是1200。 方法点拨3：商大小判断——1分界法 【解题思路】 不用计算准确结果，快速判断商和被除数的大小关系，以1为分界点，看除数和1的大小关系即可。 【操作步骤】 第一步：找到除数，和1比较大小； 第二步：除数＞1 → 商＜被除数；除数＝1 → 商＝被除数；除数＜1 → 商＞被除数。 【易错提升】 ● 易错点1：认为所有小数都小于1，商就都大于被除数。 　　→ 规避技巧：小数可能大于1也可能小于1，比如2.5是小数，但大于1，商比被除数小。 ● 易错点2：被除数是0的情况也套用规律。 　　→ 规避技巧：0除以任何不为0的数都得0，和被除数相等，规律适用于被除数不为0的情况。 【第三部分】考点讲练 考点一：基本计算（位数匹配） 考查重点：掌握除数是小数的基本转化方法，能正确计算被除数和除数小数位数相同的除法。 【典例精讲】 题目：列竖式计算： 【变式训练】 题目：列竖式计算： 考点二：被除数小数位数不足的计算 考查重点：掌握被除数位数不够时补0的方法，能正确处理补0的小数除法。 【典例精讲】 题目：列竖式计算： 【变式训练】 题目：列竖式计算： 考点三：商与被除数的大小关系 考查重点：能不用计算，快速判断商与被除数的大小关系。 【典例精讲】 题目：在○里填上"＞""＜"或"＝"。 ○ ○ ○ ○ 【变式训练】 题目：判断：一个数除以小数，商一定大于被除数。（　） 考点四：验算与实际应用 考查重点：能正确验算小数除法，运用一个数除以小数解决生活中的实际问题。 【典例精讲】 题目：计算并验算： 【变式训练】 题目：苹果每千克7.5元，妈妈买苹果一共花了22.5元，妈妈买了多少千克苹果？ 【第四部分】专项提升练习 1．竖式计算。（带Δ的得数保留两位小数，带※的要验算） 21÷0.75＝         Δ0.36÷1.1≈          ※2.55÷2.5＝ 2．竖式计算，带※的要验算。 44.1÷0.63＝       ※51.85÷0.17＝          3.38÷15≈（结果保留两位小数） 3．用竖式计算，带*的要验算。 *        （保留两位小数） *        （保留一位小数） 4．列竖式计算。（带★要验算） 3.08×2.4＝        ★13.5÷0.45＝       7.6÷1.1≈（保留一位小数） 5．用竖式计算。 （1）12.6÷0.28    （2）7.65÷0.85     （3）5.46÷4.2     （4）10÷3（商用循环小数表示） 6．用竖式计算。（带★的得数保留两位小数） 3.6×2.05＝           5.04÷0.36＝           ★2.7÷3.9≈ 7．用竖式计算。（带★的得数保留一位小数） 7.8×1.06＝    2.08÷3.2＝ ★34.56÷1.7≈    ★0.55×0.37≈ 8．列竖式计算，并用乘法验算。 98.4÷1.23＝        1.3÷0.026＝      0.96÷6.4＝ 9．用竖式计算。 1.08×0.26＝    3.25×4＝  5.63÷6.1≈（保留两位小数） 10．竖式计算。 1.5×2.74＝        7.38÷3.6＝     3.46×0.25≈（保留两位小数） 11．列竖式计算。（带☆的保留两位小数） （1）4.26×1.5            （2）8.976÷0.88 （3）☆0.35×0.27            （4）☆5.75÷15 12．用竖式计算。（得数保留两位小数） 0.32×5.05      0.742÷3.8      1.5÷0.045 13．列竖式计算。（带☆的要验算，带★的得数用循环小数表示） 4.05×2.4＝            ☆0.702÷0.27＝                ★15.3÷11＝ 14．计算下面各题，带☆的要验算。 21.4×0.75＝        0.84÷3.5≈    （得数保留一位小数）     ☆10.8÷4.5＝ 15．用竖式计算。                  （精确到十分位）        （保留三位小数） 16．用竖式计算。 3.02×5.5＝    400×0.26＝    82.3÷27＝   （保留两位小数）    2.29÷1.1＝     （商用循环小数表示） 17．竖式计算。（除不尽保留两位小数）          18．用竖式计算。 76÷25＝    264÷4.8＝      17.4÷15＝      26.18÷1.7＝ 19．列竖式计算。 0.58×2.4＝     14.6÷3.4≈  （得数保留一位小数）      27.8÷2.5＝ 20．竖式计算。（带*的要验算，带△的商用循环小数表示） ①4.75×3.7≈     （得数保留一位小数）    ②*15÷0.25＝    ③△78.6÷11＝ 21．列竖式计算。（带※的要验算） （1）                          （2）※ （3）（用循环小数表示商）         （4）（得数保留两位小数） 22．列竖式计算。（带★的要验算） （1）36.4÷0.56＝        （2）得数保留两位小数2.5÷11≈            ★（3）6.12÷1.7＝ 23．竖式计算。 3.08×4.5＝        2.8×1.9＝ 15.6÷2.4＝        0.84÷28＝ 24．用竖式计算。 32.8×2.5＝    27.59÷3.1＝    25.48÷2.6＝ 42.8×1.5＝    40.75÷2.5＝    60.8÷32＝ 25．用竖式计算。 4.8×2.1＝         6.3×1.3＝          0.25×44＝ 52.7×0.8＝        32.5÷2.5＝         80.34÷1.3＝ 26．用竖式计算。 2.08×82＝        5.67÷2.6≈   （得数保留两位小数）     4.692÷1.2＝ 4.2×2.5＝         7.59÷2.3＝          42.12÷2.7＝ 27．用竖式计算。 2.34×0.15≈（得数保留两位小数）      4.59÷1.5＝        1.52÷0.37＝（商用循环小数表示） 1.08×2.5＝                        34.5÷15＝        3.08×0.54≈（得数保留一位小数） 28．列竖式计算，除不尽的商保留一位小数。                   29．列竖式计算，商保留一位小数。                            30．列竖式计算，商保留两位小数。                            第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $