第3章 圆 综合训练 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第3章 圆 综合训练 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 任何三角形有且只有一个内切圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的外心是三条角平分线的交点 2、以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（） A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定 3、如图，在中，．若以点C为圆心， 长为半径的圆与交于点D，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4、如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5、如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6、如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切， 连接 OC 与半圆相交于点 D，则 CD 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 2.5 7、如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆， 若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 8、如图，点A的坐标为（－3，－2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q， 在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　） A. （0，－2） B. （0，－3） C. （－3，0）或（0，－2） D. （－3，0） 二、填空题 9、已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线的距离为6cm，则直线与⊙O的位置关系是_____． 10、如图，为的外接圆，，，则半径长为_____． 11、圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____． 12、已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________． 13、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为______． 14、如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画，再以边为直径画， 则的长_______的长．（填“”“”或“”） 15、如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且， 则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 16、如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，， 点M为线段的中点，连接的最大值为 _____． 三、解答题 17、如图，的弦相交于点E，．求证：． 18、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm． （1）求作此残片所在圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求残片所在圆的面积． 19、已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D． （1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由； （2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长． 20、如图，点M在∠BAC的AB边上，用直尺与圆规分别按下列要求作图： （1）在图①中作⊙O，使⊙O经过点A，M，且圆心O在AC上； （2）在图②中作⊙O，使⊙O与AC相切，且与AB相切于点M．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 21、如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 22、如图，在的内接四边形中，，点在上． （1） ； （2）求的度数． 23、如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D， 过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 24、如图，在中，，在上取一点D，以为直径作， 与相交于点E，作线段的垂直平分线交于点N，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为1，求线段的长． 25、 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P， OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 26、如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点， C是上一点，且，，． （1）求圆心M的坐标； （2）求四边形的面积； （3）如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长． 27、如图，内接于，为的中点，在上，连接． （1）如图，若，垂足为，直线分别交，于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （2）如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接， 写出，，之间数量关系，并说明理由． 第3章 圆 综合训练 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 任何三角形有且只有一个内切圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的外心是三条角平分线的交点 【答案】B 解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A错误； 任何三角形有且只有一个内切圆，B正确； 能够互相重合的弧是等弧，C错误； 三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，D错误； 故选：B 2、以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（） A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定 【答案】C 解：如图：⊙O直径BC所对应的圆周角为直角，因为∠A是锐角，所以顶点A在⊙O外， 故选：C． 3、如图，在中，．若以点C为圆心， 长为半径的圆与交于点D，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 解：如图所示：连接CD， ∵在中， 即的度数是 故选：B． 4、如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解：∵是半圆的直径，∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴， ∴； 故选D． 5、如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：A． 6、如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切， 连接 OC 与半圆相交于点 D，则 CD 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 2.5 【答案】A 解：如图，设切线AC与半圆的切点为E，连接 根据题意，得，， ∵AB=10，AC=8，BC=6 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 和中 ;∴ ∴ ∴ ; 故选：A． 7、如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆， 若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 解：∴ ． 8、如图，点A的坐标为（－3，－2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q， 在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　） A. （0，－2） B. （0，－3） C. （－3，0）或（0，－2） D. （－3，0） 【答案】D 解：连接AQ，AP. 根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ； 要使PQ最小，只需AP最小， 根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短， ∴P点的坐标是(−3,0). 故选D. 二、填空题 9、已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线的距离为6cm，则直线与⊙O的位置关系是_____． 【答案】相离． 解：根据圆心到直线的距离是6大于圆的半径5，则直线和圆相离． 故答案为：相离． 10、如图，为的外接圆，，，则半径长为_____． 【答案】2 解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴半径长为2， 故答案为：2． 11、圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面积为_____． 【答案】12π 解：∵底面圆的半径为2cm， ∴底面周长为4πcm， ∴侧面展开扇形的弧长为4πcm， 设扇形的半径为r， ∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°， ∴＝4π，解得：r＝6， ∴侧面积为×4π×6＝12πcm， 故答案为12πcm． 12、已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________． 【答案】## 解：如图，为等边三角形，为的外心， 过点， 故答案为： 13、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为______． 【答案】 解：作于点，连接，则， ，， ， ， 中，， ， 在中， ，即，解得， ． 故答案为：． 14、如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画，再以边为直径画， 则的长_______的长．（填“”“”或“”） 【答案】 解：四边形是正方形， ，， 设， ， 为直径， ， 弧的长弧的长， 故答案为：． 15、如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且， 则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 【答案】 解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆． ，， 是等腰直角三角形，， 在中，所对圆周角均等于，， 则所有符合条件的点P形成的区域为矩形中空白部分， 矩形中空白部分的面积为， ，，，， ， 故答案为：． 16、如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，， 点M为线段的中点，连接的最大值为 _____． 【答案】## 解：∵C为坐标平面内一点，， ∴点C的运动轨迹是在半径为2的上， 如图，取，连接， ∵点M为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴最大值时，取最大值，此时D、B、C三点共线， 此时在中，， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 三、解答题 17、如图，的弦相交于点E，．求证：． 证明：连接， ∵，∴， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴≌，∴． 18、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm． （1）求作此残片所在圆（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求残片所在圆的面积． 解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图． （2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x−8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2＝122＋（x−8）2， 解得：x＝13． 即：圆的半径为13cm． 所以圆的面积为：×132＝169（cm2）． 19、已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D． （1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由； （2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长． 解：（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线． （2）连接OB，OC． ∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°， ∵OD⊥BC， ∴BD＝CD＝，∠BOD＝∠BOC＝60°， ∴OD＝. 20、如图，点M在∠BAC的AB边上，用直尺与圆规分别按下列要求作图： （1）在图①中作⊙O，使⊙O经过点A，M，且圆心O在AC上； （2）在图②中作⊙O，使⊙O与AC相切，且与AB相切于点M．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 解：【1】如图所示，⊙O即为所求． 【2】如图所示，⊙O即为所求． 21、如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【1】证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； 【2】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 22、如图，在的内接四边形中，，点在上． （1） ； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【1】 解：在的内接四边形中，， ， 故答案为：； 【2】 解：如图，连接， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 23、如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D， 过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【1】 证明：连接， ，， ，，，， ，，是的切线； 【2】 解：连接， 为的直径，， 又，且， ， 在中，， 根据勾股定理得：， 又， 即， ． 24、如图，在中，，在上取一点D，以为直径作， 与相交于点E，作线段的垂直平分线交于点N，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为1，求线段的长． 【1】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中垂线，∴，∴， ∵，，∴， ∴， ∴，即， ∵是半径，∴是的切线． 【2】解：如图：连接， ∵是的中垂线，∴， 设， 在中，， 在中，， ∴，即，解得． 25、 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P， OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1）直线AF与⊙O相切．理由见解析 （2）6 （3）18﹣6π． 【1】 直线AF与⊙O相切． 理由如下：连接OC， ∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°， ∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF， ∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA， 又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线； 【2】 ∵△AOF≌△COF，∴∠AOF＝∠COF， ∵OA＝OC，∴E为AC中点，即， ∵∠，∴， ∴∠AOF＝30°， ∴，∴； 【3】 ∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6， ∵∠OCP＝90°，∴， ∴S△OCP＝， ∴阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形AOC＝． 26、如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点， C是上一点，且，，． （1）求圆心M的坐标； （2）求四边形的面积； （3）如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）四边形ABCD的面积为 （3） 【1】连接，设半径为r， ∵，，∴，∴ ∵在中，， ∴，，∴圆心M的坐标为； 【2】连接交于点N， ∵，∴垂直平分， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∵M、N分别是和中点，∴， ∵为的直径∴，∴， ∴，答：四边形的面积为32． 【3】连接， ∵， ∴， 又, ,且， ∴， ∴，则是等腰直角三角形，， 作于点T，则，， ∴． 27、如图，内接于，为的中点，在上，连接． （1）如图，若，垂足为，直线分别交，于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （2）如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接， 写出，，之间数量关系，并说明理由． 【1】证明：连接、， ∵为优弧的中点， ∴，∴， 又， ∴、都在的垂直平分线上， ∴是垂直平分线，即； （）证明：如图，连接， ∵，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又， ∴； 【2】解：，理由， 在上截取，连接、． ∵ ，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴ ∴，即， 在和中， ，∴，∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $