3.2.2第1课时 双曲线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解双曲线的简单几何性质. 直观想象 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义. 逻辑推理数学运算 复习回顾 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 新课引入 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质? 如何研究这些性质? x F1 F2 y O M(x,y) F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 椭圆的简单几何性质：①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率 本节，我们将类比椭圆研究双曲线性质 探索新知 探究：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线的具体边界（范围）是怎样的？ 双曲线上点的横坐标的范围是，或, 纵坐标的范围是 x y 追问：你可以从代数角度给予说明吗？ 由方程，可知 ∴，或. 说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. -a a O 同理可得： 探索新知 F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) 双曲线既是轴对称图形， 又是中心对称图形. 关于x轴、y轴和坐标原点都对称.. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心. 问题：观察图象，说出双曲线具有怎样的对称性？. 探索新知 F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) 问题：类比椭圆，如何利用方程说明双曲线的对称性？. 方程不变，点在双曲线上 ①P(x,y) P1(-x,y) y轴 ②P(x,y) P2(x,-y) x轴 方程不变，点在双曲线上 ③P(x,y) P3(-x,-y) 原点 方程不变，点在双曲线上 综上,双曲线关于x轴、y轴以及原点都是对称的. 探索新知 思考：你认为双曲线上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 解：在双曲线的标准方程中， 令，得. 因此，是双曲线与轴的两个交点. 令，得.这个方程无实数解， 说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把，画在轴上. 叫做双曲线的实轴，长为；叫做虚轴，长为， 叫做实半轴，叫做虚半轴. 顶点：，， 探索新知 问题：你认为哪个图画的双曲线更精确？ F1 F2 x O y 探索新知 探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线.在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于 探索新知 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线【即】逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 探索新知 特别的，在双曲线方程中，实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 问题：你能知道等轴双曲线有什么性质吗？ 方程变为，此时双曲线实轴和虚轴长都等于. 这时，四条直线，围成正方形， 渐近线方程：，互相垂直，且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 探索新知 x y 利用渐近线画双曲线草图： ⑴ 画出双曲线的渐近线； ⑵ 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲线的大致图象； ⑶ 利用双曲线的对称性画出完整双曲线. 问题：怎样利用双曲线的渐近线画图象？ 探索新知 思考：如何直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程 中，把1改为0，得 或 探索新知 探究：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率. e的范围： ∵c>a>0 ∴e >1 问题：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征呢？ “形” 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，张口越大。 “数” 探索新知 思考：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张ロ”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？ 因此，双曲线渐近线的斜率 可以用来刻画双曲线的“张口”大小． 由等式 c2＝a2＋b2，得 因此 e 逐渐增大时， 逐渐增大，即双曲线的渐近线 的斜率的绝对值逐渐增大，此时双曲线的“张口”逐渐增大，反之也成立． 渐近线的方程为 探索新知 类比得出焦点在y轴上时双曲线的性质： 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 或 或 关于坐标轴和原点都对称 性质 双曲线 关于坐标轴和原点都对称 探索新知 √ × √ × √ 探索新知 例1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程 ∴实半轴长a=4，虚半轴长b=3； 焦点坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)； 离心率 渐近线方程： 探索新知 变式1、求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 探索新知 例2、（1）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 探索新知 探索新知 常见双曲线方程的设法 探索新知 变式2、求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2); 解:(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程解得λ=-32. 探索新知 变式2、求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2); 探索新知 探索新知 A 课堂小结 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1.双曲线有哪些几何性质？ 2.渐近线如何描述双曲线的“张口”程度？ 3.怎样根据性质求出双曲线方程？ 课堂检测 A 课堂检测 √ 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2， 课堂检测 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是 A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 √ 解析　令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， 课堂检测 课后作业 课本第124页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： Lavf57.62.100 EVCapture4.2.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn 1.思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　 　) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝eq \r(2).(　 　) (3)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　) (4)双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　) 2.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　) A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)－eq \f(x2,9)＝1 C.eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,100)－eq \f(x2,36)＝1 (1)如果两条渐近线的方程为y=±x,那么双曲线方程可设为=λ (λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0). (2)与双曲线=1或=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为=λ或=λ(λ≠0). (3)与双曲线=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为=1(-b2<k<a2). (2)与双曲线=1具有相同的渐近线,且过点M(3,-2); 因此所求双曲线的标准方程为=1. (2)与双曲线=1具有相同的渐近线,且过点M(3,-2); 解：(2)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0). 由点M(3,-2)在双曲线上,得=λ,解得λ=-2. 故所求双曲线的标准方程为=1. 变式3.以双曲线C： 的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线 的渐近线上，则双曲线C的离心率为( ) A. B. C. D. 解析：由题意可得点 在直线 上，所以 ， ，双曲线C的离心率 ，故选A. 2、已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 解析　由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝. ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A. 4.已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的离心率为______. 解析：双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ， 所以有 ，故双曲线 ， 所以双曲线的离心率为 . $