3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2(第一课时) 双曲线的简单几何性质 前情回顾 双曲线的两种标准方程： 焦点在轴上 焦点在轴上 双曲线的定义 平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹，即) 标准方程 焦点坐标 轨迹 的关系 ，之间大小关系不确定 学 习 目 标 1 2 3 了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质. 理解离心率对双曲线开口大小的影响，会求离心率. 能运用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程. 我们一起来探究“双曲线的简单几何性质”吧！ 读教材 阅读课本P121-P124，5分钟后完成下列问题： 1.写出双曲线的范围、顶点，长轴，短轴和渐近线等几何性质？ 2.双曲线的离心率对双曲线的影响，离心率公式是什么？ 新课引入 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 的哪些性质？如何研究这些性质？ 椭圆的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率 探讨双曲线的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率？ 接下来我们以焦点在轴上的双曲线研究双曲线的性质？ 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 2 双曲线的离心率 3 题型训练 新知探究1 问题1 观察双曲线 的图象，分布边界是怎样的？ 1.范围：的范围：或的范围： 这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. ，于是，双曲线上点 都适合不等式，∈R，即，∈R. 所以，或；∈R 新知探究1 问题2 双曲线的形状具有怎样的对称性，观察双曲线是关于什么对称的？ 2.对称性：坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. O 设是双曲线 上的任一点，则关于轴的对称点为 结合双曲线方程可知，在双曲线上 ∴双曲线关于轴对称，同理可得双曲线关于轴、原点对称 新知探究1 问题3 观察双曲线的图象，写出顶点坐标？ 令，得，因此双曲线和轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.令得， 这个方程没有实数解，双曲线与轴没有公共点， 但我们也把两点画在轴上. 3.顶点：双曲线与轴有两个交点，叫做双曲线的顶点. 双曲线的实轴：线段； 双曲线的虚轴：线段虚轴长为叫作虚半轴长。 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 新知探究1 问题4 利用信息技术画出双曲线出线和两条直线 你能发现什么？ 4.渐近线：一般地，双曲线的两支向外延伸时， 与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 可以发现，点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于 经过两点 轴的平行线，经过两点作轴的平行线，四条直线围成一个矩形. 概念 双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图示 标准方程 范围 𝑥≤−𝑎或𝑥≥𝑎,𝑦∈𝐑 𝑦≤−𝑎或𝑦≥𝑎,𝑥∈𝐑 对称性 对称轴： 　对称中心：_____ 顶点坐标 渐近线方程 ) 轴、轴 原点 练习巩固 练习1 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是. 求双曲线的标准方程和渐近线方程？ 解：由题意得：设等轴双曲线方程为，一个焦点是 ， 所以， 双曲线方程为. 渐近线方程为：. 练习巩固 练习2 双曲线的渐近线方程是，虚轴长是4，求双曲线的标准方程？ 解：由题意得 若双曲线方程的焦点在上，则方程为 若双曲线方程的焦点在轴上，则方程为 练习巩固 练习3 求双曲线的实半轴长和虚轴长、焦点坐标、渐近线方程？ 解：将双曲线的方程化为标准方程为. 由此可知，实半轴长虚轴长焦点在轴上， 焦点坐标是； 渐近线方程为 练习巩固 练习4 (多选)下列双曲线中，以直线 为渐近线的是( ) A. B.C.D. 解：由得 ， 因此以为渐近线的双曲线方程为 ， 即 . 结合选项，当时，方程为 ； 当时，方程为 . 故选AD. AD 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 2 双曲线的离心率 3 题型训练 新知探究1 思考 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线 的什么几何特征？ 4.离心率：把半焦距与实半轴长的 叫作双曲线的离心率． 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小. 离心率越大，张口越大.， 所以. 所以当的值越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也越大. 概念 双曲线的离心率 双曲线的离心率： 把半焦距与长半轴长的 叫作双曲线的离心率． 因为，所以． 当的值越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也越大. 注：因为， 所以. 练习巩固 练习1 求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程？ (1)(3). 解：将双曲线的方程化为标准方程为. 由此可知，实轴长2虚轴长坐标为 焦点在轴上，焦点坐标是； ，渐近线方程为 练习巩固 练习1 求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程？ (1)(3). 解：将双曲线的方程化为标准方程为. 由此可知，实轴长2虚轴长坐标为， 焦点在轴上，焦点坐标是； ，渐近线方程为 练习巩固 练习1 求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程？ (1)(3). 解：将双曲线的方程化为标准方程为. 由此可知，实轴长2虚轴长焦点在轴上， 焦点坐标是； ，渐近线方程为 练习巩固 练习1 求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点的坐标，离心率，渐近线方程？ (1)(3). 解：将双曲线的方程化为标准方程为. 由此可知，实轴长2虚轴长焦点在轴上， 焦点坐标是； ，渐近线方程为 练习巩固 练习2 求符合下列条件的双曲线的标准方程. (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，； (2)焦点在轴上，，. 解： (1)由题意得：，2，所以， 且焦点在轴上，所以双曲线的. (2)由题意得：，，所以， 焦点在轴上，所以双曲线的. 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的简单几何性质 2 双曲线的离心率 3 题型训练 双曲线的简单几何性质 题型1 题型探究 例1 已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的倍， 则下列说法正确的是（ 　） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的焦距为 D. 双曲线的离心率为 解：由题意可知，1，， 实轴长为，虚轴长为2，焦距为 ；离心率. 双曲线的简单几何性质 题型1 题型探究 例2 若双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则 该双曲线的离心率为( ) A. B.2 C.2或 D.或 解：因为双曲线的两条渐近线夹角为 ，则渐近线的倾斜角为 , 或 , ，所以渐近线的斜率为或 . 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为 ，或 . 当时 ，当时 . 所以该双曲线离心率为 或2. 双曲线的简单几何性质 题型1 题型探究 例3 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为， 则该双曲线的渐近线方程为 _____________⁠. 解：双曲线的焦点到渐近线的距离为 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为 双曲线的焦点到 渐近线的距离为 . 双曲线的简单几何性质 题型1 题型探究 例4 已知双曲线（，）的左、右焦点为， 点在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率的范围？ 解：由双曲线的定义可得：=2 且， ，， 因为. 由几何性质求双曲线标准方程 题型2 题型探究 例5 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与双曲线具有相同的渐近线，且过点； (2)过点，且与双曲线的离心率相等. 解：(1)设双曲线方程为.将点在双曲线上得： 由几何性质求双曲线标准方程 题型2 题型探究 例5 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与双曲线具有相同的渐近线，且过点； (2)过点，且与双曲线的离心率相等. 解：(2)当所求双曲线的焦点在轴上时，可设其方程为， 将点代入方程解得，故所求双曲线的标准方程为 当所求双曲线的焦点在轴上时，可设其方程为， 将点代入方程解得(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为. 课堂小结 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图示 标准方程 范围 𝑥≤−𝑎或𝑥≥𝑎,𝑦∈𝐑 𝑦≤−𝑎或𝑦≥𝑎,𝑥∈𝐑 对称性 对称轴： 　对称中心：_____ 顶点坐标 渐近线方程 ) 轴、轴 原点 课堂小结 双曲线的离心率： 把半焦距与长半轴长的 叫作双曲线的离心率． 因为，所以． 当的值越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也越大. 注：因为， 所以. 感谢聆听! Lavf58.76.100 $