3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，系统讲解范围、对称性、顶点、渐近线及离心率，通过类比椭圆性质的导入方式，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生从已有椭圆知识迁移到双曲线探究。 其亮点在于以类比和表格梳理构建知识体系，培养学生抽象能力（数学眼光），例题结合圆与渐近线相切等情境训练逻辑推理（数学思维），规范解题步骤强化数学语言表达。助力学生形成知识网络，提升探究能力，教师可直接使用分层例题与练习，提高教学效率。

双曲线的简单几何性质 第三章　3.2.2　第1课时 学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质.(重点) 2.理解并会求双曲线的渐近线方程；明白离心率的定义及意义，会求离心率.(难点) 在数学的浩瀚宇宙中，椭圆的几何性质犹如璀璨星辰，我们曾从图形、方程范围等多个维度对其进行探索，领略了数学之美与规律.而双曲线作为圆锥曲线家族的重要成员，与椭圆有着千丝万缕的联系和独特差异.今天就让我们沿着类比研究的路径，再次开启对双曲线几何性质的探秘之旅吧！ 导语 3 内容索引 01 02 05 03 由双曲线的简单几何性质求标准方程 求双曲线的离心率 随堂演练 双曲线的简单几何性质 04 课时对点练 01 双曲线的简单几何性质 问题 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线-=1 (a>0，b>0)的几何性质. 提示　1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程-=1可得= 1+≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈ R，即x2≥a2，y∈R. 所以x≤-a，或x≥a；y∈R. 2.对称性 双曲线-=1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴 是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 3.顶点 (1)双曲线-=1(a>0，b>0)与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点. 顶点是A1(-a，0)，A2(a，0)，只有两个. (2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a， a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴， 它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长. (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 方程为x2-y2=m(m≠0). 4.渐近线 双曲线-=1(a>0，b>0)在第一象限内的方程为y=(x>0)， 它与y=x的位置关系：在y=x的下方. 它与y=x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图所示. (1)双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x. (2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图. 5.离心率 (1)定义：e=. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到== =，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线 所夹的双曲线区域越狭窄. 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ___________________ ___________________ 图形     性 质 范围 ；y∈R x∈R；____________ 对称性 对称轴：　　　　；对称中心：_____ -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 坐标轴 原点 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 性 质 顶点坐标 ___________________ ___________________ 渐近线 ________ ________ 离心率 e= ，e∈ ，其中c= a，b，c 间的关系 c2= (c>a>0，c>b>0) A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) y=±x y=±x (1，+∞) a2+b2 (1)B1(0，-b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点. (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2-y2=m(m≠0). 注意点 13 　(课本例3)求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 例1 把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程-=1. 由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3； c===5， 焦点坐标是(0，-5)，(0，5)； 离心率e==；渐近线方程为y=±x. 解： 14 　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 例1 将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1，即-=1， 所以a=3，b=2，c=. 因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)， 实轴长2a=6，虚轴长2b=4， 离心率e==， 渐近线方程为y=±x=±x. 解： 15 若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程. 延伸探究 把方程nx2-my2=mn(m>0，n>0)化为标准方程为-=1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a=， 虚半轴长b=，顶点坐标为(-，0)，(，0)，c=， 焦点坐标为(，0)，(-，0)， 离心率e===， 所以渐近线方程为y=±x， 即y=±x. 解： 17 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 反思感悟 18 02 由双曲线的简单几何性质求标准方程 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)； 例2 解： 设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0). ∵e=， ∴e2===1+=，∴=. 由题意得解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 20 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (2)中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线； 例2 解： 设双曲线方程为-=1(a>0)，半焦距为c，∴c2=2a2. 在直线3x-4y+12=0中，令y=0，得x=-4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4，0)，∴c=4，∴a2=c2=×16=8，∴所求双曲线的标准方程为-=1. 21 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (3)过点P(4，6)且与双曲线x2-=1有相同的渐近线. 例2 解： 设与双曲线x2-=1有相同渐近线的双曲线方程为x2-=λ(λ≠0)， 代入点P(4，6)，得16-=λ，解得λ=4，∴x2-=4， ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 22 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). ②渐近线方程为Ax±By=0的双曲线方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0). 反思感悟 23 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； 跟踪训练1 解： 设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 由题意知2b=8， e==， 从而b=4，c=a， 代入c2=a2+b2， 得a2=9， 故双曲线的标准方程为-=1. 24 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (2)过点(2，0)，与双曲线-=1的离心率相等. 跟踪训练1 解： 当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为-=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ=， 故所求双曲线的标准方程为-y2=1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为-=k(k>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得k=-<0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为-y2=1. 25 03 求双曲线的离心率 　　　已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. 例3 √ 27 解析： 由双曲线-=1(a>0，b>0)， 可得其一条渐近线的方程为y=x， 即bx-ay=0， 又由圆C：x2+y2-10y+21=0， 可得圆心为C(0，5)， 半径r=2， 则圆心到渐近线的距离为d==，则=2， 可得e==. 28 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e=得解. (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解. 反思感悟 29 　如图，已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，且与C交于A，B两点.若=，·=0，则双曲线C的离心率为 A. B. C. D. 跟踪训练2 √ 30 解析： 由题意知AF1⊥AF2，3|AF2|=|F2B|，且A，B都在双曲线的右支上. 设|AF2|=x，则|AF1|=x+2a，|F2B|=3x， |F1B|=3x+2a，|AB|=4x， 在Rt△F1AB中，|F1B|2=|AB|2+|AF1|2，即(3x+2a)2=(4x)2+(x+2a)2，得x=a， 则|AF2|=a，|AF1|=3a. 在Rt△AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2， 即4c2=(3a)2+a2，得e==. 所以双曲线C的离心率为. 31 课堂小结 1.知识清单： (1)双曲线的简单几何性质. (2)由双曲线的简单几何性质求标准方程. (3)求双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 32 04 随堂演练 1 2 3 4 1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于 A.6 B.8 C.9 D.10 √ 解析： 由已知得左焦点的坐标为(-5，0)， 右顶点的坐标为(3，0)， 所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2.若双曲线-y2=1的实轴长为4，则m的值为 A.± B. C.± D. √ 解析： 因为双曲线-y2=1的实轴长为4，所以2=4，解得m=±. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.等轴双曲线C的一个焦点为(-2，0)，则它的实轴长为 A. B.2 C.4 D.2 √ 解析： 由题意，设等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0)， 注意到双曲线的焦点在x轴上，则λ>0， 双曲线方程可化为-=1， 由焦点(-2，0)可知，λ+λ=4，则λ=2， 于是实半轴长为=，于是实轴长为2. 1 2 3 4 4.双曲线-=1与双曲线-=1(-4<k<12)的 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 √ 1 2 3 4 解析： 双曲线-=1的实轴长为4，虚轴长为4，双曲线-=1(-4<k<12) 的实轴长为2，虚轴长为2， 显然两条双曲线的实轴长与虚轴长不相等，所以A，B均不正确； 双曲线-=1与双曲线-=1(-4<k<12)的离心率分别为和， 不相等，所以C不正确； 双曲线-=1与双曲线-=1(-4<k<12)的焦距都为8，所以D正确. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B AD D B +1 题号 9 11 12 13 答案 -=1 B AC 2 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由两顶点间的距离是6，得2a=6，即a=3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12，即c=6， 于是有b2=c2-a2=62-32=27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)， 即-=1(λ≠0)，由题意得a=3. 13 14 15 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当λ>0时，=9，λ=36， 双曲线方程为-=1； 当λ<0时，=9，λ=-81， 双曲线方程为-=1. 故所求双曲线的标准方程为 -=1或-=1. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)∵双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，∴=tan =，即b=a， ∴c===2a， ∴双曲线C的离心率e===2. (2)如图，F为双曲线的右焦点，直线CD是双曲线的一 条渐近线y=x，即bx-ay=0， 作AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，FE⊥CD于E， 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |AC|=d1，|BD|=d2，所以四边形ACDB是梯形. 因为F是AB的中点，所以|EF|==3， 又F(c，0)，所以由点到直线的距离公式可得， |EF|==b， ∴b=3，∴a=， 则双曲线C的标准方程为-=1. 14. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为双曲线的离心率为，可得e==，解得a=2， 所以双曲线的标准方程为-x2=1，可得其渐近线的方程为y=±2x， 不妨设P(m，2m)，Q(n，-2n)， 则M， 因为M在C上，所以-=1，可得mn=-1， 设直线OP的倾斜角为θ，则tan θ=2， 15. 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可得sin∠POQ=sin(π-2θ)=sin 2θ=2sin θcos θ ===， 所以S△OPQ=|OP||OQ|sin∠POQ=×××=2|mn|=2. 15. 13 14 15 1.已知双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，则实数m的值为 A. B. C.3 D.9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 由题意双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，所以m>0，=，解得m=. 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1. √ 3.若双曲线-=1的离心率为，则其渐近线方程为 A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析： ∵e=， ∴=，即=3， ∴b2=2a2，∴双曲线方程为-=1， ∴渐近线方程为y=±x. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=4∶6∶5，则该双曲线的离心率为 A.2 B. C. D.5 解析： 设|PF1|=4m，|PF2|=6m，|F1F2|=5m，m>0，则e===. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是 A.C的方程为-=1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线方程为y=±x，可得c=5，焦点在x轴上，所以=，因为c=5，所以b=4，a=3，所以C的方程为-=1，A正确； 离心率为e=，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d==4，C不正确； |PF|的最小值为c-a=2，D正确. 6.已知双曲线C：x2-2y2=λ(λ≠0)，则其离心率为 A. B. C. D.或 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 当λ>0时，原方程化为-=1， 此时a2=λ，b2=，c2=a2+b2=， 由e2==，可得e=； 当λ<0时，原方程化为-=1， 此时a2=-，b2=-λ，c2=a2+b2=-， e2==3，可得e=. ∴其离心率为或. 13 14 15 7.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的标准方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为圆C：x2+y2+6x+5=0的标准方程为(x+3)2+y2=4，所以圆心为C(-3，0)，半径r=2，所以c=3， 又双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0， 由题意知==2， 所以b=2， 又a2+b2=9，所以b2=4，a2=5， 则双曲线的标准方程为-=1. 8.如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，则该双曲线的离心率为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 +1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 连接BE，BF(图略)，由题意得|BE|=2c，则|EF|=c， 在正六边形ABCDEF中，易知∠BEF=60°， ∠BFE=90°，所以在Rt△BFE中，|BF|=c， 又|BF|-|EF|=c-c=2a，即(-1)c=2a， 所以e===+1. 9.已知F是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一个焦点，C的离心率为，M，N是C上关于原点对称的两点，|FM|-|FN|=6.则双曲线C的标准方程为 　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 根据双曲线的对称性，不妨设左焦点为F，右焦点为F'，点M在双曲线右支上，点N在双曲线左支上，如图，线段FF'和MN互相平分， 所以四边形FNF'M是平行四边形，|FN|=|MF'|， 所以|FM|-|FN|=|MF|-|MF'|=6，则2a=6，又=，得a=3， c=5，b2=c2-a2=16， 所以双曲线C的标准方程是-=1. 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由两顶点间的距离是6，得2a=6，即a=3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12，即c=6， 于是有b2=c2-a2=62-32=27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. 解： 13 14 15 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)渐近线方程为2x±3y=0，且两顶点间的距离是6. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)， 即-=1(λ≠0)，由题意得a=3. 当λ>0时，=9，λ=36， 双曲线方程为-=1； 当λ<0时，=9，λ=-81， 解： 13 14 15 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)渐近线方程为2x±3y=0，且两顶点间的距离是6. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 双曲线方程为-=1. 故所求双曲线的标准方程为 -=1或-=1. 解： 13 14 15 11.已知双曲线-=1(a>0，b>0)与椭圆+=1有相同的焦点F1，F2，点P为双曲线与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线的渐近线方程是 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6，又|PF1|=2|PF2|，解得|PF1|=4，|PF2|=2. 由双曲线定义知2a=|PF1|-|PF2|=2，∴a=1. 由椭圆方程知c==2，∴b==， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 12.(多选)已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，则下列说法正确的是 A.若双曲线C上一点P满足|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2的周长为28 B.双曲线C的渐近线方程为3x±4y=0 C.若从双曲线C的左、右支上各任取一点，则这两点的最短距离为6 D.双曲线C的离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意知F1(-5，0)，F2(5，0). 对于A，|PF1|=2|PF2|，||PF1|-|PF2||=2a=6， 故|PF1|=12，|PF2|=6，又|F1F2|=10， 则△PF1F2的周长为12+6+10=28，故A正确； 对于B，双曲线C：-=1的渐近线方程为4x±3y=0，故B错误； 对于C，从双曲线C的左、右支上各任取一点，则这两点的最短距离为2a=6，故C正确； 对于D，双曲线C的离心率e1=，椭圆+=1的离心率e2=，故D错误. 13.过双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，直线l与另一条渐近线相交于点B，若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由对称性，不妨设F(0，c)，另一个焦点为F'， 设l与渐近线y=x垂直，垂足为点A，与渐近线y=-x交于点B， 如图，因为A是线段FB的中点，且l与y=x垂直， 所以|OF|=|OB|，因此△OFB是等腰三角形，因此∠AOF=∠AOB， 则由对称性可知，∠AOF=∠BOF'，又∠AOF+∠AOB+∠BOF'=π， 所以∠AOB=， 因此由对称性可知x轴平分∠AOB，所以渐近线y=x的斜率=tan=，所以=， 则双曲线的离心率为e====2. 14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，过双曲 线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6. (1)求双曲线C的离心率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为， ∴=tan =，即b=a， ∴c===2a， ∴双曲线C的离心率e===2. 解： 14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，过双曲 线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6. (2)求双曲线C的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 如图，F为双曲线的右焦点，直线CD是双曲线的一条 渐近线y=x，即bx-ay=0， 作AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，FE⊥CD于E， |AC|=d1，|BD|=d2，所以四边形ACDB是梯形. 14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，过双曲 线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6. (2)求双曲线C的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解： 因为F是AB的中点，所以|EF|==3， 又F(c，0)，所以由点到直线的距离公式可得，|EF|==b， ∴b=3，∴a=， 则双曲线C的标准方程为-=1. 15.已知双曲线C：-x2=1(a>0)的离心率为，过双曲线上一点M(x0，y0) 作直线l，分别与双曲线的两条渐近线交于点P，Q，且M为PQ的中点，O为坐标原点，求△OPQ的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 因为双曲线的离心率为，可得e==，解得a=2， 所以双曲线的标准方程为-x2=1，可得其渐近线的方程为y=±2x， 不妨设P(m，2m)，Q(n，-2n)， 则M， 解： 15.已知双曲线C：-x2=1(a>0)的离心率为，过双曲线上一点M(x0，y0) 作直线l，分别与双曲线的两条渐近线交于点P，Q，且M为PQ的中点，O为坐标原点，求△OPQ的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为M在C上，所以-=1，可得mn=-1， 设直线OP的倾斜角为θ，则tan θ=2， 可得sin∠POQ=sin(π-2θ)=sin 2θ=2sin θcos θ ===， 所以S△OPQ=|OP||OQ|sin∠POQ=×××=2|mn|=2. 解： THANKS 本课结束 $