精品解析：四川省什邡中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

北附教育集团2026~2027上期初三年级数学学科练习1 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程是一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．方程含两个未知数，不符合题意； B．方程分母含未知数，是分式方程，不符合题意； C．方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，是整式方程，符合题意； D．整理方程，得，化简为，是一元一次方程，不符合题意． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的最小值是4 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∵，∴抛物线开口向下，A错误； ∵抛物线的顶点式为，∴对称轴为直线，B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，C正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为，∴函数有最大值4，无最小值，D错误． 7. 若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像开口方向、对称轴、与坐标轴交点，逐一判断4个结论． 【详解】解：由图像可知：抛物线开口向下，； 对称轴在轴右侧，，，所以； 抛物线与轴交于正半轴，． ①，则，故①错误． ②对称轴，， 不等式两边乘，不等号变向：， 移项得，故②错误． ③是时对应的函数值． 观察图像：抛物线右侧与轴交于，对称轴在0到1之间，所以对应的点在轴下方，即时，，故③正确． ④抛物线与轴有2个交点，说明一元二次方程有两个不相等实数根，判别式， ，故④正确． 综上，③④正确，一共2个． 9. 已知二次函数（为常数）的图象只经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，根据开口方向和图象只经过二、三、四象限的要求，得到两个不等关系：顶点纵坐标大于0保证存在的点，经过第二象限，函数与y轴交点纵坐标小于等于0保证时，y恒小于等于0，不经过第一象限，解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， ∵图象只经过第二、三、四象限， ∴，解得 . 10. 定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】±2 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12. 抛物线与轴的交点个数是________个． 【答案】 【解析】 【分析】求抛物线与轴的交点个数，可令得到一元二次方程，通过一元二次方程根的判别式判断实根的个数，实根个数即为交点个数． 【详解】解：∵ 抛物线与轴交点的纵坐标为， ∴ 令，得方程 ， 其中，，，计算得根的判别式 ， ∵ ， ∴ 该方程有两个不相等的实数根 ∴ 抛物线与轴的交点个数是． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入一元二次方程中，即可求出的值． 【详解】解：将代入一元二次方程中，得到： ， 所以． 14. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，若平均每次降价的百分率为x，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知商品原价、两次降价后的售价和平均每次降价百分率，根据降价的价格关系列方程即可． 【详解】解：∵第一次降价后，商品价格为元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上降价， ∴第二次降价后的价格为（元）， ∴方程为． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 三、解答题（7个小题，共90分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， 可得：或 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 可得：或， 方程的解为，； 【小问3详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问4详解】 解：， 移项可得：， 提取公因式可得：， 化简可得：， 可得：或， 方程的解为，． 17. 已知关于x的一元二次方程， （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）当方程有一个根是0时，求m的值和另一个根． 【答案】（1）的取值范围是且． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式，求解即可得到m的取值范围； （2）将代入方程求得m的值，再代入原方程求解另一个根即可． 【小问1详解】 解： ∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：，解得：， ∴的取值范围是且． 【小问2详解】 解：∵方程有一个根是0， ∴将代入原方程，得， 解得； 将代入原方程，得， 解得，． ∴的值为，方程的另一个根为． 18. 已知抛物线经过点、、． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求这条抛物线的顶点坐标，并在坐标系中画出函数的大致图象． 【答案】（1） （2）抛物线的顶点坐标为，画图象如下： 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式的交点式，即可求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，即可写出顶点坐标，通过列表，描点，连线，即可画出函数图象． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 函数图象略． 19. 已知二次函数（m是常数，且）． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）当m的值为1时，将这个二次函数图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求出这个新的二次函数的解析式，并求出新的二次函数在的范围内函数的值的范围． 【答案】（1） 直线 （2） 新二次函数解析式为，在范围内函数值的范围是 【解析】 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行求解即可； （2）代入得原函数解析式，根据平移规律得新解析式，结合开口方向与对称轴，在给定区间内求最值得到取值范围.  【小问1详解】 解：由题意，二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，原函数解析式为， 配方得； 图象向右平移3个单位长度后，新函数解析式为 ，即； ∴新函数开口向上，对称轴为直线， ∵，且， ∴ 当时，取最小值； 当时，； 当时，； ∵， ∴当时，取最大值； 综上所述，时，函数值的范围是. 20. 某超市销售一款进价为40元/千克的水果，按50元/千克出售时，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天销售量可增加10千克．设该水果每千克降价x元． （1）用含x的代数式表示：降价后每千克水果的利润为________元，平均每天销售量为________千克；（直接填空） （2）在进价不变的情况下，为了让利于顾客，求单价降低多少元时，平均每天销售利润为750元？ 【答案】（1）； （2）单价降低5元时，平均每天销售利润为750元 【解析】 【分析】（1）用降价后的售价减去进价得到每千克利润，用原销量加上降价新增销量得到每日销售量； （2）据“总利润单件利润销售量”列出一元二次方程，解方程后再舍去不符合实际意义的数值即可． 【小问1详解】 解：∵原来售价50元，降价x元后售价为元，进价40元， ∴每千克利润为（元）； ∵单价每降1元，销量增加10千克，原来每天100千克， ∴降价后平均每天销售量为千克； 【小问2详解】 解：根据题意列方程得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：单价降低5元时，平均每天销售利润为750元． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【小问1详解】 解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； 【小问2详解】 解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 22. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点，使周长有最小值，求周长的最小值及点的坐标； （3）抛物线在第四象限上是否存在一点，使得的面积取得最大值？若有，请求出最大值，并求出此时点的坐标；若无，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）周长的最小值为，点的坐标为； （3）的面积的最大值为，此时的坐标为． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解； 由知抛物线解析式为，求出，，则有，，由点与点关于抛物线的对称轴对称，则对称轴上的点满足，所以的周长为，要使周长最小，即最小，即当，，三点共线时，最小值为，所以周长的最小值为，再通过待定系数法求出直线的解析式为，然后时代入即可求解； 过作轴，交于点，设，则，所以，然后通过的面积为，再由二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由知抛物线解析式为， 令，得， 解得，， ∵， ∴， 令，得， ∴， ∴，， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴上的点满足， ∴的周长为，如图，连接， 要使周长最小，即最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，最小，最小值为，如图， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴点的坐标为， 综上可得：周长的最小值为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过作轴，交于点， 由上可得，抛物线解析式为，直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为，此时的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北附教育集团2026~2027上期初三年级数学学科练习1 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的最小值是4 7. 若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知二次函数（为常数）的图象只经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 12. 抛物线与轴的交点个数是________个． 13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____． 14. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，若平均每次降价的百分率为x，则可列方程为________． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 三、解答题（7个小题，共90分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于x的一元二次方程， （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）当方程有一个根是0时，求m的值和另一个根． 18. 已知抛物线经过点、、． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求这条抛物线的顶点坐标，并在坐标系中画出函数的大致图象． 19. 已知二次函数（m是常数，且）． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）当m的值为1时，将这个二次函数图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求出这个新的二次函数的解析式，并求出新的二次函数在的范围内函数的值的范围． 20. 某超市销售一款进价为40元/千克的水果，按50元/千克出售时，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天销售量可增加10千克．设该水果每千克降价x元． （1）用含x的代数式表示：降价后每千克水果的利润为________元，平均每天销售量为________千克；（直接填空） （2）在进价不变的情况下，为了让利于顾客，求单价降低多少元时，平均每天销售利润为750元？ 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 22. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点，使周长有最小值，求周长的最小值及点的坐标； （3）抛物线在第四象限上是否存在一点，使得的面积取得最大值？若有，请求出最大值，并求出此时点的坐标；若无，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $