2026-2027苏科版学年九年级上学期数学期中考试模拟卷1

2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试模拟卷1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A、 只含一个未知数，最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意，选项A错误； 选项B、只含一个未知数，最高次数为3，不属于一元二次方程，选项B错误； 选项C、只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程，符合题意，选项C正确； 选项D、含有两个未知数，不符合一元二次方程的概念，选项D错误． 2．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的次数为，不是反比例函数； B、符合反比例函数的特征，是反比例函数； C、不符合反比例函数的特征，不是反比例函数； D、的分母不是单个自变量，不是反比例函数． 3．下列说法正确的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆是弧，弧也是半圆 【答案】B 【分析】根据圆相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过圆心且两端都在圆上的线段是直径，故原说法不正确，不符合题意； B．圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，故原说法正确，符合题意； C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确，不符合题意； D．半圆是弧，但弧包含优弧、劣弧、半圆，弧不一定是半圆，故原说法不正确，不符合题意； 4．年月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践．在小镇的产业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术突破，营业收入从年的亿元快速增长至年的亿元，设该企业营业收入从年到年的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设年平均增长率为，再根据年营业收入为亿元列方程即可． 【详解】解：年营业收入为亿元，年平均增长率为， 年营业收入为亿元， 年营业收入为亿元， 根据年营业收入为亿元，列方程得． 5．对于函数，下列说法错误的是（     ） A．这个函数的图象位于第一、三象限 B．这个函数的图象是轴对称图形 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质进行分析即可得出答案． 【详解】解：∵函数中，其图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A正确，C错误，D正确； ∵反比例函数图象是轴对称图形，关于对称， ∴B正确， 故答案为C． 6．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 先根据垂径定理，可得，再利用勾股定理，可得的长，根据线段之间的数量关系，即可得的长． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：． 7．函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一次函数：①当时，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．对于反比例函数，若，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小；若，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 【详解】解：①若， 则反比例函数的图象在第一、三象限；一次函数的图象经过第一、二、四象限； ②若， 则反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限； 只有A选项图象满足题意． 8．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 9．若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】已知方程的一个根，将根代入原方程即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程，得 整理得 解得． 10．若是关于x的方程的解，则______． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是关于的方程的解， 把代入方程得， 整理得 ， ． 11．若点在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横纵坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴将，代入，得． 12．老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 【答案】20 【分析】设，把代入求出函数解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 即把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是． 13．如图，是的直径，点C在圆上，，则________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵是的直径，点C在圆上， ∴， ∵， ∴． 14．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以首先判断方程类型为一元二次方程，即二次项系数不为0，可得第一个关于k的限制条件．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式，代入对应系数建立不等式，求解得到第二个关于k的限制条件．取两个限制条件的公共解集，即为k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，首先它必须是一元二次方程，即； 其次， 即， 解得． 综上且． 15．若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得，，， ∴． 16．已知点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象性质，结合给定纵坐标的大小关系，判断各点位置后比较横坐标大小即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点在第二象限，可得； ∵ ， ∴ 点、都在第四象限，可得，， ∵ 第四象限内随增大而增大，且， ∴ ； 综上可得，． 17．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 18．如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数解析式，代入、横坐标写出两点坐标；再利用、坐标求出直线的解析式，算出点的横坐标；最后结合三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：、在反比例函数图象上，横坐标为，横坐标为， ，， 设直线解析式为，则 ， 解得，， 直线：， 令，则， ， ，， ， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限 ， ． 三、解答题 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若4是这个方程的一个根，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：无论k取何值时，这个方程总有实数根． 【答案】(1)的值为5，方程的另一根为1 (2) 证明： ， 对于任意实数，原方程一定有实数根． 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根． （2）根据根的判别式进行论证即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得：． 设方程的另一根为，根据方程根与系数的关系则 ． ∴， 即的值为5，方程的另一根为1． （2）略 21．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点在这个图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ， ； （2）解：∵点在这个图象上， ， 即． 22．如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】如图： 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O 【详解】略 23．如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接． ，． 又， ．     是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，由圆的半径相等得，由等边对等角，直径对的圆周角是和两角互余，证得即可解答． 【详解】略． 24．某超市销售一款进价为40元/千克的水果，按50元/千克出售时，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天销售量可增加10千克．设该水果每千克降价x元． (1)用含x的代数式表示：降价后每千克水果的利润为________元，平均每天销售量为________千克；（直接填空） (2)在进价不变的情况下，为了让利于顾客，求单价降低多少元时，平均每天销售利润为750元？ 【答案】(1)； (2)单价降低5元时，平均每天销售利润为750元 【分析】（1）用降价后的售价减去进价得到每千克利润，用原销量加上降价新增销量得到每日销售量； （2）据“总利润单件利润销售量”列出一元二次方程，解方程后再舍去不符合实际意义的数值即可． 【详解】（1）解：∵原来售价50元，降价x元后售价为元，进价40元， ∴每千克利润为（元）； ∵单价每降1元，销量增加10千克，原来每天100千克， ∴降价后平均每天销售量为千克； （2）解：根据题意列方程得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：单价降低5元时，平均每天销售利润为750元． 25．如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 【答案】，的度数是 【详解】解：连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据圆周角定理可得， ∵线段是的直径，弦， ∴， ∵的度数等于， ∴的度数为． 26．某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】(1)线段的解析式为；反比例函数为 (2)18 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【详解】（1）解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． （2）解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 27．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 28．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把代入求，得到反比例函数的解析式，把代入反比例函数的解析式，确定点B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）先确定将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为，与反比例函数的表达式联立，转化为一元二次方程，根据图象有且只有一个公共点，利用根的判别式等于零，求的值即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ，解得， 故反比例函数的解析式为； 把代入，得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． （2）解：根据图象，得不等式的解集为． （3）解：根据题意，将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为， 根据题意，得， 整理，得， 根据题意，两个函数的图象有且只有一个公共点， ， 或， 解得或， ，且，， 故n的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试模拟卷1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新苏科版九年级上册前3章 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆是弧，弧也是半圆 4．年月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践．在小镇的产业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术突破，营业收入从年的亿元快速增长至年的亿元，设该企业营业收入从年到年的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．对于函数，下列说法错误的是（     ） A．这个函数的图象位于第一、三象限 B．这个函数的图象是轴对称图形 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 6．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． （第6题） （第8题） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．若是方程的一个根，则的值为______． 10．若是关于x的方程的解，则______． 11．若点在反比例函数的图象上，则的值为________． 12．老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 13．如图，是的直径，点C在圆上，，则________． （第12题） （第13题） 14．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 15．若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 16．已知点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是______．（用“<”连接） 17．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 18．如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． （第17题） （第18题） 三、大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若4是这个方程的一个根，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：无论k取何值时，这个方程总有实数根． 21．已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点在这个图象上，求的值． 22．如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 23．如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 24．某超市销售一款进价为40元/千克的水果，按50元/千克出售时，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天销售量可增加10千克．设该水果每千克降价x元． (1)用含x的代数式表示：降价后每千克水果的利润为________元，平均每天销售量为________千克；（直接填空） (2)在进价不变的情况下，为了让利于顾客，求单价降低多少元时，平均每天销售利润为750元？ 25．如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 26．某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 27．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 28．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $