学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷·拔高卷（新教材人教版，九上第25～28章：一元二次方程+二次函数+反比例函数+旋转）

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D C B A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.20 12.-2<x<8 13.5m 14.-4 15.（-6,2020)(2,2028) 或 16. 6V7 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(6分) 【详解】(1)解： (x-3)2-25=0 (x-3)2=25 x-3=±5 x=8x2=- 2(3分) (2)解：x2-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 x-2=0或x-3=0 x=2x2=3 …(6分) 18.(6分) 【详解】(1)解：令y=0,则2x2-4x-6=0, 1/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =3x2=-1 解得 六二次函数'=2r-4x-6 图象与x轴的公共点坐标为 ,0)（10）,…(3分) (2)解：由题意得y=x-5-2=写-2x+3, .b=-2,c=3;…(6分) 19.(6分) 【详解】(1)解：将 B(m,6)代入y=x-4得，6=m-4 .m=-2 4B-2,-6) 将B(-2-6)代入Jy= 得，6= -2 .k=12 小反比例函数的解析式为少- y=x-4 2 得， 12 联立y=x-4和y= y=- 解得x=-2或6 将x=6代入y=12 得，y 122 6 :4(6,2) …(4分) (2)解：：直线4B:y=x-4与反比例函数y=x的图象交于A(6,2)、B(-2,6)两点， 由图象得，当-2<x<0或x>6时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式-4>的解集为-2<x<0或x>6.(6分) 20.(6分) 【详解】(1)解：如图所示，△AB'C即为所求. 2/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B -5-4-3- 5 X A(-3,2),B'(4,1),C'(-1,-1) A(-3,2),B'(-4,1),C"(-1,-1) …(3分) A(3-2),B(4,-1),C1,1) (2)解：由图可得， △ABC与△A"B"C”关于y轴对称， :△4BC”各点分别为， A(-3,-2),B(-4,-1),C"(-1,1) 又△ABC各点分别为， A(-3,2),B(4,1),C"(-1,-1) 则可得△ABC和△A"BC”各点的纵坐标相反， .△AB'C和△A"B"C"关于x轴对称.…(6分) 21.(8分) 【详解】(1)解：如图，过点A作AE⊥DC于点E, A→ B D E C.·AB∥CD∠BCD=90° .∠B=90° AE⊥DC, ∴四边形ABCE是矩形. ∴.AE=BC=8cm,CE=AB=10cm,∠AED=90° :DE=VAD2-AE=V102-82=6(cm) :CD=DB+EC=6+10=16(cm)(2分) 3/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)存在某一时刻，使得以A,P,卫为顶点的△AP2的面积为36cm2:理由如下： :AB=10cm,BC=8cm,点P的速度是4cm/s, :点P到达点B的时间为0：4=句)，点P到达点C的时间为0+8+4=)。 :CD=l6cm,点2的速度是2cm/s, ∴点O到达点D的时间为 6÷2=8(s) D当点P在AB上，即0s1时，划图，连接A0,P0, PB D 则AP=4t,△APQ的高是BC=8cm, s.nPC-4x8=36lem）, 9 解得=4，符合题意. 5 ②当点P在BG上，即，<≤2时，如图， B D CBP=(41-10)cm cQ=2icm P=BC-BP=8-(4t-10)=(18-4t)cm 则 S.APe=S四边形ABco-S。ABm-S,.are 3x00+20k8-×10x4-10）-3X4138-40x21 =36 整理得212-151+27=0， 4/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9 解得=3,4=2，符合题意。 9 9 综上所述，当t的值为4或3或2时，△AP0的面积为36cm2.…(8分) 22.(新情境)(8分 【详解】(1)解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为6,2.6)， 则可设抛物线的解析式为 y=a(x-6)}2+2.6 将点41,0.6)代入解析式得：06=a1-6+2.6 2 解得：a=25, 5y关于x的周数表达式为y=层-6+26，(4分) 2)解：由题意可得：当y=21时，则有21=名(x-6+26, 解得： x=8.5,x2=3.5 当y-06时，则有06=云x-6+26, x=11,x2=1 解得： 花枪在下落过程中，即x>6, 当y=2.1时，x=8.5: 当y=0.6时，x=11: .d的取值范围为8.5≤d≤11.…(8分) 23.(新考法)(10分) 【详解】(1)解：解方程2(x-)小=x- 得x=21-4 方程①的解为非正数， .21-4≤0，解得1≤2， 5/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 方程②是关于y的一元二次方程， ∴t-1≠0，即t≠1， 综上，1的取值范围是1≤2且1≠1；…(2分) (2)t-p=2, p=1-2; .21-9=6. .9=21-6: 将P=1-2,9=21-6代入方程②， t-1)y2+2(t-2)y+t-3=0 整理得 因式分解得1-)y+1-3]y+1)=0. 3-t …方程的根为乃=-1，少= t-1 方程②的根为负整数， h=-1 已是负整数， 3-t .3= -1为负整数， 2 化简得乃=-1+ t-1 ”为整数，‘为整数， .1-1是2的约数，即t-1=±山，2， .t≤2且t≠1， 当1=1 4=1 时，1=2，此时，为正整数，不符合思意，舍去： =-3 当-1=-时，1=0，此时 为负整数，符合题意，P=-2 当t-1=2时，t=3,不符合1≤2，舍去： 6/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当1=-2时.1=-1， ,此时 为负整数，符合题意，D=-3 3=-2 综上，整数P的值为-3或-2.…(6分) (3)P'ss 成立，证明如下： t为正整数，且满足1≤2，t≠1， 1=2, 将1=2代入方程@.得+2四1+9=0， :片+为=-2p 将1+%=-2P代入已知等式+乃1-乃)+2p(-+p)=g+6。 左边(-2p0-)+2p0y-⅓+p) =-2p(y-y2)+2p(y-y2)+2p2 =2p2 2p2=g+6 即9=2p2-6 ·方程②有两个实数根， △=(2p)2-4×1×(1+q）≥0 判别式 p221+9 化简得 将9=2p2- 代入上式，得P≥1+2p2-6 移项整理得Ds5 故ps5 立.…(10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：点A(-4,0四在直线y=x+5上， 7/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 将x=-4代入得a=-4+5=1, .点A的坐标为(4，)： 设反比创函数为少=《 将点44，)代入得1= -4 解得k=-4,…(2分) 小反比例函数的表达式为少=-4 y=x+5 2)解：联立p= 整理得x2+5x+4=0, 解得=4名。-1 将x=-1代入y=x+5得y=4, ·点B的坐标为（一1,4）： 连接OA,OB,作AE⊥x轴，BF⊥y轴， 在△OAE,△OBF中， 由勾股定理求得OA=OB=VP+4平=V7 8/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 取AB中点 MA=MB, 则OM是AB的垂直平分线， 由图知，若△ABD为等腰三角形， 当DA=DB时， 则D在AB的垂直平分线上， .D是OM与反比例函数的交点， M-55) 设0M解析式为y=a,代入(2'2)得： 5 k=-1, OM解析式为y=-x, y=-x x=2,龙2=-2 解得： ,D在第四象限， ∴.D点横坐标为2，将x=2代入y=-x, 得y=-2, ,D(2,-2) 设4D解析式为'=+b,代入 D(2,-2)A(-4,1) 2k+b=-2 -4k+b=1, 9/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 k=- 2 b=-1, 1 ÷AD解析式为)=2-1， 令y=0,0=- 解得x=-2, .C(-2,0) 由于A、B在第二象限，D在第四象限，若AB=AD或AB=BD,则需以A或B为圆心、AB为半径的圆与 反比例函数在第四象限有交点，经分析无解，故只有DA=DB成立， (-2,0) 故 …(6分) (3)解：分两种情况讨论旋转方向： 顺时针旋转90°： 设点Pm,0),点B(-l,4), 过P作HG∥y轴，BH⊥HG,QG⊥HG, .∠H=∠G=90°. 由题意∠BPQ=90°，BP=PQ 则∠BPH+OPG=90°，∠BPH+∠PBH=90° ∠QPG=LPBH, △BHP≌aPGQ(AAS) :BH=PG,HP=GO, 则BH=PG=-1-m, HP=GO=4 10/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 Q(4+m,1+m) 4 :Q在y=一上，代入得： (4+m)1+m)=-4 整理得m2+5m+8=0, 判别式△=25-32=-7<0，无实数解： H B G 逆时针旋转90°： 设点Pm,0),点B(-L,4), 过P作HG∥y轴，BH⊥HG,QG⊥HG, .∠H=∠G=90° 由题意∠BPQ=90°，BP=Pg 则∠BPH+∠QPG=90°，∠BPH+∠PBH=90°， .∠QPG=∠PBH ,△BHP≌aPGQ(AAS) .BH PG,HP=GO. H=PG=m-（-1)=m+1 则 11/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 HP=GO=4 9(m-4,-m-1)） :Q在=上，代入： (m-4)(-m-1)=-4 整理得m2-3m-8=0, 3±√41 解得 2 .m>4, 3+V41 m= 2.…(10分) B A G 25.(新考法)(12分) 【详解】(1)解：①当n=0时，点 (0,0) 0,0) 相关函数顶点坐标为 则相关函数为： y=-x2 故答案为：少=一 ；…(2分) ②二次函数y=r-2r+a 1,0) 顶点坐标为 12/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -1,0) ,相关函数的顶点坐标为 二新函数的表达式为'=-ax+ 将点42)代入上式并解行a=子：(4分 5W272 由中点公式得：n=3.4=-2 2 4 0,- 2 即 24: …(6分) (e,f) 设相关函数顶点为： e 由中点公式得： ，4=0,f-m2」 2 2n, 解得：e 4f=+2n 则相关函数顶点为： r+2 则制关函的衣达式为：少-2+++2 可知开口向上，对称轴为直线x=只 4, 如图： 13/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 n ①当和+3≤-即n≤-3时， 3 3 20+3+ 函数在x=”+3时，取得最小值，即24+ +n2+2n=3 2(n+3)}2+n2+2n=3 2n2+12n+18+n2+2n=3 3n2+14n+15=0 △=142-4×3×15=196-180=16 n=-14±16--14±4-7±2 2×3 6 3 ,=一一上=-3、2=3一=3（舍去) 3 故n=-3； 2当n-12号即n21时， 3 3 2(n-l)2+n2+2n=3 2n2-4n+2+n2+2n=3 14/15 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3n2-2n-1=0 △=(-2)}-4×3×(-1）=4+12=16 n=-(-2)±i62t4 2×3 6 6=,%=2-4-1 解得：%、2+ 63(舍去)， 故n=l: ③当4”+3>-月3m 3 4且4n-1<- 4即-3<n<1时， 函数在顶点处取得最小值，即m2+2n=3, n2+2n-3=0 △=22-4×1×(-3)=4+12=16 n=-2±16.-2±4 2×1 2 解得：%=241（合去），八=243（合去）： 2 2 综上所述，n=-3或n=1.…(12分) 15/15 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1．（热考）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（热考）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线，则 C．最大值为 D．时，随增大而增大 4．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（     ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（跨学科）蓄电池的电压为定值．研究发现，使用某款蓄电池时，用电器的电流随电阻的变化而变化．它们之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（   ） A．蓄电池的电压是 B．当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小 C．如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不超过 D．如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小 7．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（新考法）在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 10．（热考）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 12．如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 13．（热考）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 15．（新考法）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 16．如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（6分）用适当方法解方程： (1)； (2)． 18．（6分）解决下列问题： (1)求二次函数的图象与轴的公共点坐标； (2)已知抛物线的顶点为，求，的值． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 20．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中的． (1)画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； (2)若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 21．（8分）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 22．（新情境）（8分）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 23．（新考法）（10分）已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． (1)求t的取值范围； (2)若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； (3)若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 24．（10分）如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接 并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； (3)点 P 为 x 轴上一动点，连接 ，将线段 绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 25．（新考法）（12分）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 日 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1[A][B][C][D] 2.[A][BJ[C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A[BJ[C][D] 5.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7-A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11 12 13. 14 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9小题，72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) B 20.(6分) 432 -5-4-3-2-19 5 B 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) A之 B B D 22.(8分) 地面 (图1) (图2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) YA B D 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 4432 -3-2-10 12345x -2 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1．（热考）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 2．（热考）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， ． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线，则 C．最大值为 D．时，随增大而增大 【答案】C 【详解】解：对于A，由题知二次项系数为，开口向下，故A错误； 对于B，对称轴为直线，故B错误； 对于C，二次函数开口向下，最大值为，故C正确； 对于D，时，随增大而减小，故D错误． 4．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每次降息的百分率为x，经过一次降息是，经过两次降息，是， ∴可得：． 5．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：由旋转可知，，， ． 6．（跨学科）蓄电池的电压为定值．研究发现，使用某款蓄电池时，用电器的电流随电阻的变化而变化．它们之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（   ） A．蓄电池的电压是 B．当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小 C．如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不超过 D．如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小 【答案】C 【详解】解：由欧姆定律可知，， ∴， 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，即蓄电池的电压是，故A说法正确，不符合题意； ∴， ∴当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小，故B说法正确，不符合题意； 当时，，解得， ∴如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不低于，故C说法错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小，故D说法正确，不符合题意． 7．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 8．（新考法）在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 10．（热考）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则选项B错误； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且， ∴，则选项D错误． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 【答案】20 【详解】解：， ∴当时，s取到最大值，即飞机着陆后滑行20秒才能停下来， 12．如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 【答案】 【详解】解：由图形可得当时，二次函数图像在一次函数图像下方，即， 所以，使成立的的取值范围是． 13．（热考）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 【答案】 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【答案】 【详解】解：由题意，，， ， ， 移项得，， ， ， ， ，且， ， ， ， 又，， ， ． 15．（新考法）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 【答案】或 【详解】解：∵点满足，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点为“-优点”满足， ∵点C在抛物线上， ∴可设， ∵点C是“2026-优点”， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， 故点C的坐标为或． 检验：对于点，有； 对于点，有． 两点均满足题意． 16．如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接，，如图， 菱形的边长为12， ， E是边的中点， ，， ． ， ， 是的中点， ． ， 为等边三角形， ，． 线段绕着点E逆时针旋转得到， ，． 为等边三角形， ，． 在和中， ， ． ，， ∴， ∴， ． 连接， ． 当点，点E，点三点共线时，的值最小，且最小值为． 过点E作交的延长线于点M， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 的最小值为． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（6分）用适当方法解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ，……（3分） （2）解： 或 ，……（6分） 18．（6分）解决下列问题： (1)求二次函数的图象与轴的公共点坐标； (2)已知抛物线的顶点为，求，的值． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 二次函数的图象与轴的公共点坐标为，；……（3分） （2）解：由题意得， ；……（6分） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴；……（4分） （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或．……（6分） 20．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中的． (1)画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； (2)若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 【详解】(1)解：如图所示，即为所求． ……（3分） （2）解：由图可得，， ∵与关于轴对称， ∴各点分别为，， 又∵各点分别为，， 则可得和各点的纵坐标相反， ∴和关于x轴对称．……（6分） 21．（8分）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ，， ． ， 四边形是矩形． ，，． ． ……（2分） (2)存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为；理由如下∶ ，，点P的速度是， 点P到达点B的时间为，点P到达点C的时间为， ，点Q的速度是， 点Q到达点D的时间为． 当点P在上，即时，如图，连接，， 则，的高是， ， 解得，符合题意． 当点P在上，即时，如图， ，， 则． ， 整理得， 解得，，符合题意． 综上所述，当t的值为或3或时，的面积为．……（8分） 22．（新情境）（8分）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为；……（4分） （2）解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为．……（8分） 23．（新考法）（10分）已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． (1)求t的取值范围； (2)若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； (3)若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 【详解】（1）解：解方程得， ∵方程①的解为非正数， ∴，解得， ∵方程②是关于的一元二次方程， ∴，即， 综上，的取值范围是且；……（2分） （2）∵， ∴； ∵， ∴； 将，代入方程②， 整理得， 因式分解得， ∴方程的根为，， ∵方程②的根为负整数，已是负整数， ∴为负整数， 化简得. ∵为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∵且， ∴当时，，此时，为正整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，为负整数，符合题意，； 当时，，不符合，舍去； 当时，，此时，为负整数，符合题意，； 综上，整数的值为或．……（6分） (3)成立，证明如下： ∵为正整数，且满足，， ∴， 将代入方程②，得， ∴， 将代入已知等式， 左边 ， ∴，即. ∵方程②有两个实数根， ∴判别式， 化简得， 将代入上式，得， 移项整理得， 故成立．……（10分） 24．（10分）如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接 并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； (3)点 P 为 x 轴上一动点，连接 ，将线段 绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将代入得， ∴点的坐标为； 设反比例函数为， 将点代入得， 解得，……（2分） ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立 整理得， 解得，， 将代入得， ∴点的坐标为； 连接，作轴，轴， 在中， 由勾股定理求得， 取中点即，， 则是的垂直平分线， 由图知，若为等腰三角形， 当时， 则在的垂直平分线上， ∴是与反比例函数的交点， 设解析式为，代入得： ， ， ∴解析式为， 联立 解得：， ∵在第四象限， ∴点横坐标为，将代入， 得， ∴， 设解析式为，代入，， ， ， ∴解析式为， 令， 解得， ∴； 由于A、B在第二象限，D在第四象限，若或，则需以A或B为圆心、为半径的圆与反比例函数在第四象限有交点，经分析无解，故只有成立， 故；……（6分） （3）解：分两种情况讨论旋转方向： 顺时针旋转∶ 设点，点， 过作轴，， ∴， 由题意， 则， ∴， ∴， ∴， 则， ， ∴， ∵在上，代入得： ， 整理得， 判别式，无实数解； 逆时针旋转： 设点，点， 过作轴，， ∴， 由题意， 则， ∴， ∴， ∴， 则， ， ∴， ∵在上，代入得： ， 整理得， 解得， ∵， ∴．……（10分） 25．（新考法）（12分）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 【详解】（1）解：①当时，点，相关函数顶点坐标为 则相关函数为：， 故答案为：；……（2分） ②∵二次函数的顶点坐标为， ∴相关函数的顶点坐标为， ∴新函数的表达式为， 将点代入上式并解得；……（4分） （2）解：函数和函数的顶点坐标分别为，， 由中点公式得：， 即；……（6分） （3）的顶点为：， 设相关函数顶点为：， 由中点公式得：， 解得：， 则相关函数顶点为：， 则相关函数的表达式为：； 可知开口向上，对称轴为直线， 如图： ①当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ③当且即时， 函数在顶点处取得最小值，即， ， ， 解得：（舍去），（舍去）； 综上所述，或．……（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1．（热考）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（热考）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线，则 C．最大值为 D．时，随增大而增大 4．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（     ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（跨学科）蓄电池的电压为定值．研究发现，使用某款蓄电池时，用电器的电流随电阻的变化而变化．它们之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（   ） A．蓄电池的电压是 B．当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小 C．如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不超过 D．如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小 7．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（新考法）在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 10．（热考）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 12．如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 13．（热考）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 15．（新考法）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 16．如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（6分）用适当方法解方程： (1)； (2)． 18．（6分）解决下列问题： (1)求二次函数的图象与轴的公共点坐标； (2)已知抛物线的顶点为，求，的值． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 20．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中的． (1)画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； (2)若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 21．（8分）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 22．（新情境）（8分）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 23．（新考法）（10分）已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． (1)求t的取值范围； (2)若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； (3)若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 24．（10分）如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接 并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； (3)点 P 为 x 轴上一动点，连接 ，将线段 绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 25．（新考法）（12分）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂[][V][/] 保持卡面洁洁.不要折為、不要弄破。 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 12 13. 14. 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9小题，72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(6分) K4321 -5-4-3-2-19 B 234 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！：！ 21.(8分) A B A D C D 22.(8分) D 地面 (图1) (图2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) VA B B C 0 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 弘山 2 -3-2-10 12345x