专题05 圆（期中真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦圆的三大高频考点，汇编安徽淮南、阜阳等地期中真题，基础题与综合题梯度分布，融入文化传承情境。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|7|圆的概念、垂径定理、圆周角|结合石拱桥（赵州桥）考垂径定理应用| |多选|1|四点共圆证明|注重逻辑推理| |填空|3|弦长计算、圆周角度数|动态几何（矩形动点对称）| |解答|5|垂径定理应用、圆周角综合|跨情境综合（实物图几何化）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆 考点01圆的有关概念 考点02垂直于弦的直径 考点03圆周角 D考点01圆的有关概念 1.B 2.B 3.D 4.【答案】证明：连AC,取AC的中点O,连接OB、OD, .∠B=∠D=90°， 0BAC,0D号AC.即0B-0A-0C0D. 1 2 ∴.A、B、C、D四点在同一圆上. 【分析】 根据圆的定义进行判断即可，圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.连 AC,取AC的中点O,连接OB、OD,利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD,即可推出 A、B、C、D四点在同一个圆上. 【详解】 略 【点睛】 本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC,取AC的中点O,连接OB、OD,构 造直角三角形 D考点02垂直于弦的直径 1.D 2.D 3.B 4.【答案】10 【分析】 连接OC,根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论， 【详解】 解：连接OC, 119 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD⊥AB,垂足为D,CD=4,OD=3, .0C=0.:AB=20C-10 故答案为：10. 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 5.【答案】(1)AD=BD (2)19.4m 【分析】 本题考查垂径定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键： (1)根据垂径定理即可得出结论： (2)利用垂径定理和勾股定理进行求解即可. 【详解】 解：(1)，OC⊥AB, ∴.AD=BD (2)设主桥拱半径为R, °AB=26CD=5 BD=2AB=3×26=13,0D=0C-CD=R-5 在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB=BD+OD2, 即R2=13+R-5P解得R=19.4 答：这座石拱桥主桥拱半径为19.4m. 6.【答案】(1) 证明：如图，连接OB、OC, 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A ∴.在△AOB和△AOC, AO=AO BO=CO∴.△AOB≌△AOCSSS, AB=Ac .∠BAO=∠CAO' AB=AC' ∴.AO⊥BC (2)AB的长为40 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理， (1)证得△AOB≌△AOC,得到∠BAO=∠CAO,根据等腰三角形三线合一的性质即可证得： (2)由(1)得A01BC,故AD1BC,根据垂径定理得BD=CD=BC=24,由勾股定理得 3 OD=7,再由勾股定理可得AB的长， 1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：如图，延长AO交BC于点D, y 由(1)得AO⊥BC, 3/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·AD⊥BC 又OB=0C,BC=48, :.BD=CD=-BC=24. 2 “⊙0的半径为25， 0A=0B=0C=25 在Rt△BD0中，OD=阿□' AD=0A+0D=25+7=32 在Rt△ABD中，AB= 即AB的长为40. 》 考点3圆周角 1.D 2.A 3.【答案】(1) 证明：，'CD是⊙O的直径，BE⊥CD, ∴.CE=BC .∠AOD=∠BOC' ..AD=BC .'.AD=CE' (2) ∴.AD=CE 证明：如图，连接AE 4/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B .∠ACE=∠ABE,∠CAG=∠ABE. ∴.∠ACE=∠CAG …CE‖AG :AB是⊙0的直径， ∴.∠AEB=90° :CD是O0的直径，BELCD ∴.∠DFE=90,BF=EF,BC=CE' AE‖CD' :四边形AECC为平行四边形， ∴.AG=CE ∴.AG=BC (3)0G的长为1 【分析】 题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用 这些知识点是解题关键。 (1)根据垂径定理得出 CE=BC'再由弧、弦之间的关系求解即可： (2)连接AE,根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形AECG为平行四边形，再由其性质即可 证明： (3)设OG=x,则OF=OG+FG=x+2,再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解 5/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即可 (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 3)小问详解： 解：设OG=x,则OF=OG+FG=x+2. .OA=OB,BF=EF' OF为△ABE的中位线， .∴.AE=2OF=2X+4 :四边形AECG为平行四边形， .∴.CG=AE=2X+4' ∴.OB=OC=OG+CG=3x+4` .BE=4▣' :.BF=1BE=2. 在Rt△OBF中，由勾股定理得OF+BF=OB2, 即x+2+23x+4石只，整理得2X+5x-7=0 解得X=1,X=子（不合冠克，合去）， 即0G的长为1. 4.【答案】116口°t度 【分析】 本题考查了圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形，熟练掌握以上知识点是解题的关键。 连接OC,根据∠COD=2∠CBD求出∠COD,进而求出∠ODC,然后根据圆内接四边形对角互 补解题即可， 619 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 解：如图，连接OC, B D ,∠CBD=26▣°， ∠C0D=2∠CBD=52□' “0C=0D :∠0DC=∠0CD=180□-52☐=64口， 2 ,圆内接四边形对角互补， ÷∠A=180☐-∠0DC=180口-64口=116□： 故答案为：116口°. 5.【答案】(1)4V▣ (2) 证明：如图2，连接AC, D 图2 .AN⊥BD, ∠DNF=90口， ∠DFN+∠D=90□ .AB⊥CD 719 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CEA=90▣ ∠C+∠EAC=90□ .∠EAC=∠D,∠DFN=∠AFC' ·∠C=∠AFC AF=AC' .AB⊥CD CE=EF' 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，正确作出辅助 线是解题的关键。 (1)连接OD,由垂径定理得到CD=2DM,由勾股定理求出DM的长即可得到答案； (2)连接AC,可证明∠DFN+∠D=90口°，∠C+∠EAC=90口°.则可证明∠C=∠AFC, 得到AF=AC,再由三线合一定理即可证明结论. (1)小问详解： 解：如图1，连接OD 图1 .OM⊥CD CD=2DM,∠OMD=90□ 在Rt△DOM中，由勾股定理得DM=g ∴.CD=2DM=4V▣ 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)小问详解： 略 919 专题05 圆 3大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆周角 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（　　） A. 直径 B. 半径 C. 周长 D. 面积 【答案】B 【详解】 解：画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径． 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆的半径的定义，理解半径的定义是解本题的关键． 2．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据半圆的定义即可判断． 【详解】 半圆是直径所对的弧，但是不含直径， 故选B． 【点睛】 此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义． 3．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（     ） A.  B.  C. 7 D. 8 【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】 解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 4．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）（多选）如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【答案】证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD， ∵∠B=∠D=90°， ∴OB=AC，OD=AC．即OB=OA=OC=OD， ∴ A、B、C、D四点在同一圆上． 【分析】 根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上． 【详解】 略 【点睛】 本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，构造直角三角形. 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）下列说法正确的有（     ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【分析】 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据直径的含义对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断． 【详解】 解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 2．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（       ） A.  B. 4 C.  D. 5 【答案】D 【分析】 连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 【点睛】 本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键． 3．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（       ） A.  B.  C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 作于M，延长交于N，连接，，由垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】 解：作于，延长交于，连接，，设， ∵、是两条平行弦 ∴ ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径长是， 故选：B． 【点睛】 本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理进行解题． 4．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是　　．= 【答案】10 【分析】 连接OC，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论． 【详解】 解：连接OC， ∵CD⊥AB，垂足为D，CD=4，OD=3， AB=2OC=10 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 5．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． （1）直接判断与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】（1）     （2）19.4m      【分析】 本题考查垂径定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键： （1）根据垂径定理即可得出结论； （2）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴ （2）设主桥拱半径为R， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 答：这座石拱桥主桥拱半径为． 6．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，经过A，B，C三点，，连接． （1）求证：； （2），的半径为25，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， ∴在和， ∴， ， ∵， ；     （2）的长为40      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理． （1）证得，得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得； （2）由（1）得，故，根据垂径定理得，由勾股定理得，再由勾股定理可得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，延长交于点D， 由（1）得， ∴， 又∵，， ∴， ∵的半径为25， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即的长为40． 考点03 圆周角 1．（2026·安徽阜阳·联考）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（2026·安徽阜阳·联考）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，求得，由点F的运动轨迹是在以为直径，半径为的圆上，连接交于点O，则点在上运动，连接，当三点共线时，求出有最大值为，即可求出答案． 【详解】 解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点， ∴， ∴， ∵， ∴点F的运动轨迹是在以为直径，半径为的圆上，连接交于点O，则点在上运动，连接， ∵， 所以当三点共线时，有最大值为， ∴的最大面积是． 3．（2026·安徽阜阳·联考）如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径，， ． ， ， ， ．     （2） 证明：如图，连接． ． ， ∴． 是的直径， ． 是的直径，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ．     （3）的长为1      【分析】 题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设，则． ， 为的中位线， ． 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 在Rt中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为1． 4．（2026·安徽阜阳·联考）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】t度 【分析】 本题考查了圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据求出，进而求出，然后根据圆内接四边形对角互补解题即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵圆内接四边形对角互补， ∴． 故答案为： ． 5．（2026·安徽阜阳·联考）如图，已知的半径为3，弦垂直于弦，垂足为． （1）若于点，求弦的长； （2）过点作于点，交于点，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2，连接， ， ∴， ∴． ， ∴ ∴． ， ∴， ∴． ， ∴．      【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明，．则可证明，得到，再由三线合一定理即可证明结论． (1) 小问详解： 解：如图1，连接． ∴． 在中，由勾股定理得， ； (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆 3大高频考点概览 考点01圆的有关概念 考点02垂直于弦的直径 考点03圆周角 》 考点01圆的有关概念 1.(25-26学年九上·安徽准南实验中学等学校期中)画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的() A.直径 B.半径 C.周长 D.面积 2.(25-26学年九上·安徽准南实验中学等学校·期中)下列由实线组成的图形中，为半圆的是( ) A B 3.(25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB=5,BC=12,P是 BC边上一动点（点P不与点B,C重合），连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最 小值为( ) D M A.只▣ B. 13 C.7 D.8 1/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(25-26学年九上·安徽准南实验中学等学校·期中)（多选）如图所示，在四边形ABCD, ∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上. D 》 考点02垂直于弦的直径 1.（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中)下列说法正确的有( ) A.长度相等的两条弧是等孤弧 B.平分弦的直径一定垂直于这条弦 C.过圆心的线段是直径 D.圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 2.(25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中)已知⊙0的半径为7，AB是⊙0的弦，点P在弦AB上. 若PA=4,PB=6,则OP=( ) A.▣ B.4 C.V▣ D.5 3.(25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中)如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，且AB=4, CD=6,AB,CD之间的距离为5，则⊙O的直径是( A B D A.V▣ B.2V▣ C.8 D.10 4.(25-26学年九上·安徽准南准南西部地区·期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，CDLAB, 垂足为D,己知CD=4,OD=3,求AB的长是· 215 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 5.(25-26学年九上·安徽准南东部地区期中)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋 代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的 几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m,设AB所在圆的 圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D,拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m,连接OB. 0 图1 图2 (1)直接判断AD与BD的数量关系： (2)求这座石拱桥主桥拱的半径. 6.(25-26学年九上·安徽准南准南西部地区·期中)如图，⊙O经过A,B,C三点，AB=AC,连接 AO. (1)求证：AO⊥BC (2)BC=48,⊙O的半径为25，求AB的长. D考点03圆周角 1.(2026安徽阜阳·联考)如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD,若∠BOD=84口°，则 ∠ACO的度数为() 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.42☐° B.44▣ C.46▣° D.48▣ 2.(2026安徽阜阳联考)如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连 接AP,CP,将线段CP绕点P顺时针旋转90☐'后得到线段PQ,连接AQ.若AB=1,则△APQ的 最大面积是( ) C B A.迈 c.3-▣ D. ▣ 3.(2026安徽阜阳·联考)如图，在⊙O中，AB,CD是直径，弦BE⊥CD,垂足为F,点G在CD 上，且∠CAG=∠ABE,连接AD,BC,CE. E B D (1)求证：AD=CE: (2)求证：AG=BC: (3)若FG=2,BE=4▣，求0G的长. 4.(2026安徽阜阳·联考)如图，已知四边形ABDC是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径， ∠CBD=26,则∠A的度数为 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 5.(2026安徽阜阳·联考)如图，已知⊙O的半径为3，弦AB垂直于弦CD,垂足为E. (1)若OM⊥CD于点M,OM=1,求弦CD的长： (2)过点A作AN⊥BD于点N,交CD于点F,求证：CE=EF. 5/5