专题03 一元二次方程的高阶实际应用与综合探究（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版九年级上学期

专题03 一元二次方程的高阶实际应用与综合探究 考点01 经济类实际问题中的方程建模 考点02 几何图形中的方程建模与动态探究 考点03 一元二次方程与代数、几何的综合推理 考点01 经济类实际问题中的方程建模 1．水果商店经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率 (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ (3)为了响应脱贫致富攻坚战，商场决定每卖出1千克捐赠m元给贫困山区学生，设每千克涨价x元后，若要保证当时，每天盈利随着x的增加而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)每千克应涨价5元； (3) 【分析】（1）由题意设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，进而即可求得每次下降的百分率； （2）根据题意设每千克应涨价y元，根据总盈余=每千克盈余×数量列方程，即可求解； （3）由题意设扣除捐赠后的每天盈利为S元，进而根据，结合函数开口向下，对称轴在的右侧得出的取值范围． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，则， 解得：， ∵， ∴， 答：每次下降的百分率为； （2）设每千克应涨价y元，则 解得：， ∵， ∴， 答：每千克应涨价5元； （3）设扣除捐赠后的每天盈利为S元， ， ∵当时，S随x的增大而增大， ∴，解得， ∴m的取值范围为：． 2．某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，要求多培育的品种数量不少于5个且不能超过30个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季？ (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是多少？应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)应多培育10个品种的月季 (2)应多培育5个品种的月季时幼苗总量取最小值，最小值是5225株；应多培育25个品种的月季时幼苗总量取最大值，最大值是5625株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为x，根据幼苗总量的等量关系列一元二次方程求解并结合限制条件即可解答； （2）设多培育的品种数为x，幼苗总量为y，构建幼苗总量的二次函数，再根据二次函数的性质以及限制条件求最值即可． 【详解】（1）解：设应多培育x个品种的月季，且， 由题意可得：， 解得：，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育x个品种的月季时，幼苗总量为y． 由题意可得： ， ∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y取最小值，最小值为5225； 当时，y取最大值，最大值为5625． 答：应多培育5个品种的月季时幼苗总量取最小值，最小值是5225株；应多培育25个品种的月季时幼苗总量取最大值，最大值是5625株． 3．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价不低于进价时，月销售量（条）与销售单价（元）是一次函数关系： (1)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (2)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于3700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【答案】(1)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元 (2)当销售单价定为60元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）由题意得：该网店每月获得的利润为，再根据二次函数的性质求最值即可解答； （2）由题意得：解得：，再结合（1）的函数解析式可得当时，符合该网店要求，最后根据让消费者得到最大的实惠确定x的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：该网店每月获得的利润为：           ∵，， ∴当时，W有最大值4500． ∴元. 答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元． （2）解：由题意得： 解得：， ∵的抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴当时，符合该网店要求， ∵为了让消费者得到最大实惠， ∴. 答：当销售单价定为60元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 4．根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元 【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为； （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可． 任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可． 【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为： ． （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时， ， 将代入得：， 解得：，， 为了保证净收入又能吸引顾客，应取， ∴把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元． 任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为： （元）， 每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为： ， ∵，且x为整数， ∴当或时，获得利润最大， ∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为： （元）． 考点02 几何图形中的方程建模与动态探究 5．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，小明利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． (1)若， ①当围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； ②求矩形菜园面积的最大值； (2)当矩形菜园的面积是1250平方米时，直接写出a的最小值． 【答案】(1)①所利用旧墙的长为10米；②矩形菜园面积的最大值为800平方米 (2)a的最小值为50 【分析】（1）①设米，因为另三边一共用了100米木栏，所以米，而米，已知矩形菜园的面积为450平方米，根据矩形面积公式，可列出方程，求解该方程得到x的值，再根据求出的长，同时要结合对结果进行检验； ②设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，因为二次项系数，所以该函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，又因为，即，而函数在上单调递增，所以当时，S取得最大值； （2）设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，已知矩形菜园的面积是1250平方米，可列出方程，求解该方程得到x的值，因为，所以a要大于等于x的最大值，从而得到a的最小值． 【详解】（1）解：①设米，则米， 由题意得，，解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 即的长为10米． ②设米，则米， ∴， 当时，则时，S的最大值为1250平方米， 当时，则当时，S随x的增大而增大， ∴当时，S的最大值为（平方米）， 综上所述，当时，S的最大值为800平方米． （2）解：设米，则米， ∴，整理得：， 解得：， ∵， ∴，即a的最小值为50． 6．综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 【答案】(1)的长为 (2) 不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到； (3)或（）． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，黄金分割，正确的列出方程是解题的关键： （1）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程进行求解即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，求出的值，进而求出的长，根据，进行判断即可； （3）根据黄金分割，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； （2）略 （3）由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 7．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    (1)两动点经过几秒时，使得； (2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 【答案】(1)两动点经过秒时，使得； (2)两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【分析】（1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． 【详解】（1）解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； （2）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ①当时，过点Q作于点H．    则， 所以， 整理得， 解得，； ②当时，． 则， 整理得． 解得（舍去），； ③当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 8．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 考点03 一元二次方程与代数、几何的综合推理 9．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 【分析】（1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解. 【详解】解：(1)∵x2－7x＋12＝0， ∴(x－3)(x－4)＝0， ∴＝3或＝4， 则AB＝3，BC＝4， (2)由题意得， ∴，(舍去)， 则t＝4时，AP＝． (3)存在点P，使△CDP是等腰三角形． ①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ． ②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4． ∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，      ∴t＝ ＝9.5(秒)． ③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q， ，， ∴PC＝2PQ＝，     ∴(秒)， 可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值； (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3)这个“差根方程”为 【分析】首先设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足，进行平方得到，根据勾股定理有，然后求出，，最后，由韦达定理得出结论． 【详解】（1）解：，解得，，所以是差根方程；，解得，，所以不是差根方程；，解得，，所以是差根方程． （2），解得，因为该方程是差根方程，所以，解得． （3）设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足， ， ． 在中，， ， ， ， 或（舍去） 根据韦达定理得，，， ，， 这个“差根方程”为． 11．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和 ，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 【答案】(1)六 (2)12 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“六倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 当点P在的内部时，则 由条件可知． 12．阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根． 学习任务： (1)方程的根是：，_____，_____； (2)求方程的根； (3)如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长． 【答案】(1)， (2)，； (3)的长为． 【分析】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根． （1）首先提出，然后因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【详解】（1）解：提公因式得， 继续分解得， ∴或或， ∴，，， 故答案为：，； （2）解：， 方程的两边平方，得，即， 因式分解得， ∴或， ∴，， 经检验，，都是原方程的解． 所以方程的解是，； （3）解：因为四边形是矩形， 所以，， 设，则， 因为，，， ， 两边平方并整理，得， 解得或8（不合题意，舍去）， 经检验，是方程的解． 答：的长为． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的高阶实际应用与综合探究 考点01 经济类实际问题中的方程建模 考点02 几何图形中的方程建模与动态探究 考点03 一元二次方程与代数、几何的综合推理 考点01 经济类实际问题中的方程建模 1．水果商店经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同 (1)求每次下降的百分率 (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ (3)为了响应脱贫致富攻坚战，商场决定每卖出1千克捐赠m元给贫困山区学生，设每千克涨价x元后，若要保证当时，每天盈利随着x的增加而增大，求m的取值范围． 2．某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，要求多培育的品种数量不少于5个且不能超过30个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季？ (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是多少？应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是多少？ 3．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价不低于进价时，月销售量（条）与销售单价（元）是一次函数关系： (1)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (2)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于3700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 4．根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 考点02 几何图形中的方程建模与动态探究 5．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，小明利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． (1)若， ①当围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； ②求矩形菜园面积的最大值； (2)当矩形菜园的面积是1250平方米时，直接写出a的最小值． 6．综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 7．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    (1)两动点经过几秒时，使得； (2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 8．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 考点03 一元二次方程与代数、几何的综合推理 9．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值； (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 11．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和 ，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 12．阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根． 学习任务： (1)方程的根是：，_____，_____； (2)求方程的根； (3)如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $