2026—2027学年人教版九年级上册数学期中练习卷

2026—2027学年人教版九年级上学期数学期中练习卷 姓名：____________　　班级：____________　　考号：____________ 注意事项： 1. 本试卷共23题，满分120分，考试时间120分钟。 2. 答卷前，请将姓名、班级、考号填写在试卷规定的位置。 3. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式：抛物线 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（−，），对称轴为直线 x＝−。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1．一元二次方程2x²＋5＝7x的二次项系数和常数项分别为（　） A．2，5　　B．2，−5　　C．−2，5　　D．−2，−5 2．用配方法解方程x²−8x＋15＝0时，方程可变形为（　） A．(x−4)²＝1　　B．(x−4)²＝−1　　C．(x＋4)²＝1　　D．(x＋4)²＝−1 3．“立身以立学为先，立学以读书为本”，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约300人次，第三个月进馆约363人次。若进馆人次的月增长率相同，设月增长率为x，依题意可列方程为（　） A．300(1＋x)²＝363　　B．300(1＋x)＋300(1＋x)²＝363　　C．300(1＋x＋x²)＝363　　D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)²＝363 4．若关于x的一元二次方程x²＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 5．若点A(−4，y₁)，B(−2，y₂)，C(5，y₃)在反比例函数y＝的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　） A．y₃＜y₁＜y₂　　B．y₃＜y₂＜y₁　　C．y₂＜y₁＜y₃　　D．y₁＜y₂＜y₃ 6．把抛物线y＝3(x＋2)²−1的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　） A．y＝3(x−1)²−3　　B．y＝3(x−1)²＋1　　C．y＝3(x＋5)²−3　　D．y＝3(x＋5)²＋1 7．面积为6的矩形，一边长为x，另一边长为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（　） A．　　B．　　C．　　D． 图1 8．已知二次函数y＝x²−2x−2024的图象上有两点A(a，−1)和B(b，−1)，则a²＋2b−2的值为（　） A．2025　　B．2026　　C．2027　　D．2028 9．设函数y＝a(x−h)²＋k（a，h，k是常数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，下列说法正确的是（　） A．若h＝2，则a＜0　　B．若h＝4，则a＞0　　C．若h＝5，则a＜0　　D．若h＝6，则a＞0 10．如图2，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝2 cm，动点P以1 cm/s的速度自点A出发沿折线A−B−C−D方向运动至点D停止，动点Q以2 cm/s的速度自点A出发沿AD方向运动至点D停止。若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，记△PAQ的面积为s cm²，且s与t之间的函数关系的图象如图3所示，则图象中m的值为（　） A．2　　B．2.5　　C．3　　D．4 图2 图3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．二次函数y＝2(x＋3)²−1的图象的对称轴是直线________ 12．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t−2t²。在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是________m 13．关于x的一元二次方程(a＋1)x²−2x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是________ 14．若反比例函数y＝的图象经过点(2，−3)，则k＝________ 15．如图4，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点C。若点A(1，0)、D(0，3)，则k＝________ 图4 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分） 用适当的方法解方程： （1）x²−4x−5＝0； （2）3x²＋5x＋2＝0． 17．（9分） 关于x的方程x²−3x＋a＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若x₁，x₂是方程的两根，且(x₁−1)(x₂−1)＝−2，求a的值． 18．（9分） 如图5为二次函数y＝−x²＋2x＋3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程−x²＋2x＋3＝0的解为x₁＝________，x₂＝________； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为________； （3）方程−x²＋2x＋3＝t有实数根，则t的取值范围是________； （4）当−1＜x＜3时，直接写出y的取值范围是________． 图5 19．（10分） 如图6，一次函数y＝kx＋3的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且A(2，4)． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出kx＋3≤时，x的取值范围． 图6 20．（10分） 某商场以每件40元的价格购进一批商品，当售价为每件60元时，每月可售出100件。经市场调查发现：售价每降低1元，月销量增加25件。设售价降低x元（0≤x≤20）。 （1）用含x的代数式表示每月的销量和每月的销售利润； （2）当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．（9分） 如图7，抛物线y＝x²−4x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求点A，B，C，D的坐标； （2）求△BCD的面积． 图7 22．（9分） 如图8，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(2，4)，B(−4，−2)两点，与y轴交于点C，连接OA，OB． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出ax＋b＞时，x的取值范围． 图8 23．（9分） 如图9，抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，求PH的最大值； （3）在（2）的条件下，当PH最大时，求△PBC的面积． 图9 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分） 1．A　【难度：基础】【解析】将2x²＋5＝7x移项，得2x²−7x＋5＝0，其二次项系数为2，常数项为5。故选A。 2．A　【难度：基础】【解析】x²−8x＋15＝0，移项得x²−8x＝−15，配方：x²−8x＋16＝−15＋16，即(x−4)²＝1。故选A。 3．A　【难度：基础】【解析】第一个月300人次，第二个月为300(1＋x)人次，第三个月为300(1＋x)²人次，故300(1＋x)²＝363。故选A。 4．A　【难度：基础】【解析】方程x²＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝4−4k＞0，解得k＜1。四个选项中只有0满足k＜1。故选A。 5．C　【难度：基础】【解析】把三个点的横坐标分别代入y＝：y₁＝＝−2，y₂＝＝−4，y₃＝＝。因为−4＜−2＜，所以y₂＜y₁＜y₃。故选C。 6．A　【难度：基础】【解析】抛物线y＝3(x＋2)²−1向右平移3个单位，得y＝3(x＋2−3)²−1＝3(x−1)²−1；再向下平移2个单位，得y＝3(x−1)²−3。故选A。 7．A　【难度：基础】【解析】矩形的面积为6，一边长x，另一边长y，则xy＝6，即y＝。当x＞0时，图象是位于第一象限的一支双曲线，y随x的增大而减小。故选A。 8．A　【难度：基础】【解析】由y＝−1，得x²−2x−2024＝−1，即x²−2x−2023＝0，a、b是它的两根，故a＋b＝2。又a²−2a−2023＝0，则a²＝2a＋2023。∴a²＋2b−2＝2a＋2023＋2b−2＝2(a＋b)＋2021＝2×2＋2021＝2025。故选A。 9．C　【难度：中档】【解析】把两点坐标代入得1＝a(1−h)²＋k，6＝a(6−h)²＋k。两式相减，得5＝a[(6−h)²−(1−h)²]＝a(35−10h)＝5a(7−2h)，故a＝。当h＝5时，a＝＝−＜0。故选C。 10．C　【难度：难题】【解析】点Q的速度为2 cm/s，AD＝2 cm，故Q在t＝1时到达D；点P的速度为1 cm/s，AB＝3 cm，BC＝2 cm，故P在t＝3时到B、t＝5时到C、t＝8时到D。分四段求△PAQ的面积：0≤t≤1时，s＝·t·2t＝t²；1≤t≤3时，s＝·t·2＝t；3≤t≤5时，s＝·2·3＝3；5≤t≤8时，s＝·2·(8−t)＝8−t。故s的最大值为3，图象中m＝3。故选C。 二、填空题（每小题3分） 11．x＝−3　【难度：基础】【解析】二次函数y＝a(x−h)²＋k的对称轴为直线x＝h。y＝2(x＋3)²−1中h＝−3，故对称轴为直线x＝−3。 12．450　【难度：基础】【解析】y＝60t−2t²＝−2(t²−30t)＝−2(t−15)²＋450，当t＝15时，y最大＝450。故滑行的最大距离是450 m。 13．a≤0且a≠−1　【难度：基础】【解析】方程是一元二次方程，须a＋1≠0，即a≠−1；有实数根，须Δ＝(−2)²−4(a＋1)·1≥0，即4−4a−4≥0，解得a≤0。故a的取值范围是a≤0且a≠−1。 14．−5　【难度：基础】【解析】把点(2，−3)代入y＝，得＝−3，即k−1＝−6，解得k＝−5。 15．12　【难度：中档】【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H。∵四边形ABCD是正方形，∠BAD＝90°，AB＝AD。由同角的余角相等得∠BAE＝∠ADO，又∠BEA＝∠AOD＝90°，AB＝AD，∴△ABE≌△DAO（AAS）。∴BE＝AO＝1，AE＝DO＝3，故B(4，1)。在Rt△BCH中，BC＝AB＝√10，BH＝OE−OG＝1，由HL得Rt△BCH≌Rt△ABE，故CH＝AE＝3，CG＝CH＋HG＝3＋1＝4，且G的横坐标为3，所以C(3，4)。把C(3，4)代入y＝，得k＝3×4＝12。 三、解答题 16．解：（1）x²−4x−5＝0，(x−5)(x＋1)＝0，解得x₁＝5，x₂＝−1。（5分） （2）3x²＋5x＋2＝0，(3x＋2)(x＋1)＝0，解得x₁＝−，x₂＝−1。（10分） 17．解：（1）∵方程x²−3x＋a＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(−3)²−4a＝9−4a＞0，解得a＜。（4分） （2）由根与系数的关系，x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝a。∵(x₁−1)(x₂−1)＝−2，即x₁x₂−(x₁＋x₂)＋1＝−2，∴a−3＋1＝−2，解得a＝0。检验：a＝0时，方程x²−3x＝0有两相异实根0和3，符合题意。（9分） 18．解：（1）由图象与x轴交于点(−1，0)和(3，0)，得方程−x²＋2x＋3＝0的解为x₁＝−1，x₂＝3。（2分） （2）图象在x轴上方的部分对应的x范围为−1＜x＜3。（4分） （3）方程−x²＋2x＋3＝t有实数根，即−x²＋2x＋3−t＝0的判别式Δ≥0：Δ＝4−4(−1)(3−t)＝16−4t≥0，解得t≤4。（6分） （4）抛物线的顶点为(1，4)，开口向下，当−1＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4。（9分） 19．解：（1）把A(2，4)代入y＝kx＋3，得4＝2k＋3，k＝，∴一次函数的表达式为y＝x＋3。（2分）把A(2，4)代入y＝，得4＝，m＝8，∴反比例函数的表达式为y＝。（4分） （2）由x＋3＝，得x(x＋3)＝8，即x²＋6x−16＝0，解得x₁＝2，x₂＝−8。当x＝−8时，y＝＝−1，故点B的坐标为(−8，−1)。（7分） （3）观察图象，kx＋3≤时，x的取值范围为x≤−8或0＜x≤2。（10分） 20．解：（1）售价降低x元后，每件的售价为(60−x)元，每件的利润为(60−x)−40＝20−x元，每月的销量为(100＋25x)件。（2分） 每月的销售利润为(20−x)(100＋25x)＝−25x²＋400x＋2000元。（5分） （2）由（1），利润W＝−25x²＋400x＋2000＝−25(x−8)²＋3600。∵0≤x≤20，且−25＜0，当x＝8时，W最大＝3600。此时售价为60−8＝52元。（9分） 答：当售价定为52元时，月销售利润最大，最大利润为3600元。（10分） 21．解：（1）令y＝0，得x²−4x＋3＝0，解得x＝1或3。∵点A在点B的左侧，∴A(1，0)，B(3，0)。令x＝0，得y＝3，故C(0，3)。y＝x²−4x＋3＝(x−2)²−1，故顶点D(2，−1)。（5分） （2）由B(3，0)、C(0，3)，得直线BC的解析式为y＝−x＋3。过点D作DH⊥x轴交BC于点H，则H(2，1)，铅垂高DH＝1−(−1)＝2，水平宽为B、C两点横坐标之差的绝对值3。∴S△BCD＝×水平宽×铅垂高＝×3×2＝3。（9分） 22．解：（1）把A(2，4)、B(−4，−2)代入y＝ax＋b，得4＝2a＋b，−2＝−4a＋b，解得a＝1，b＝2。∴一次函数的表达式为y＝x＋2。（3分） （2）令x＝0，得y＝2，故C(0，2)。S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝·OC·2＋·OC·4＝×2×2＋×2×4＝2＋4＝6。（6分） （3）观察图象，当ax＋b＞时，x的取值范围为−4＜x＜0或x＞2。（9分） 23．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x−3)。把C(0，3)代入，得3＝a×1×(−3)，解得a＝−1。∴抛物线的解析式为y＝−(x＋1)(x−3)＝−x²＋2x＋3。（3分） （2）由B(3，0)、C(0，3)，可得直线BC的解析式为y＝−x＋3。设P(x，−x²＋2x＋3)（0＜x＜3），则H(x，−x＋3)。∴PH＝(−x²＋2x＋3)−(−x＋3)＝−x²＋3x＝−(x−)²＋。∵0＜x＜3，当x＝时，PH取得最大值。（6分） （3）当x＝时，P(，)。S△PBC＝×水平宽×铅直高＝×(3−0)×＝。∴△PBC的面积为。（9分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $