学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（山西专用，范围：新教材北师大版九上第1～4章）

11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题7分，19-20每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题13分。 17.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（7分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（11分） 24．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图所示的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为 2．（新考法）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【答案】C 【分析】通过逐步验证配方法解方程的每一步变形，确定出错环节． 【详解】小明：方程两边同时除以2， 得，正确； 小丽：移项变形得，正确； 小红：左边配方应为，小红写为，错误． 3．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以A不符合题意； 选项B，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以B不符合题意； 选项C，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以C不符合题意． 选项D，对角线相等的平行四边形是矩形，D符合题意； 故选：D． 5．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， A、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； B、， ，故本选项不符合题意． C、， ，故本选项不符合题意； D、 ，故本选项不符合题意； 6．（新情境）古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为. 7．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．先变短，后变长 B．先变长，后变短 C．一直变短 D．一直变长 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：A． 8．关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数，一元二次方程有实数根即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， ， ∴且． 9．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵F为中点， ∴（等腰三角形三线合一的性质），即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又由折叠的性质得：， ， 在中，由三角形的内角和定理得：， 故选：B． 【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键． 10．如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． 【详解】解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 12．若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 13．设是方程的两个实数根，则的值为_____ 【答案】 【分析】利用方程根的定义对所求式子变形降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，整理得， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 14．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 15．如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为________． 【答案】7 【分析】设的延长线交的延长线于点H，作于点M，由，得，由，，推导出，可证明四边形是矩形，因为，，，所以，，，再证明∽，得，则，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的延长线交的延长线于点H，作于点M，则， ， ， ∵，， ， 四边形是矩形， ，，点E在边上，， ，，， ， ∽， ， ， ，且， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④． 【详解】解：四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， ， ，即，结论①正确； 平分，， ， ， ， ， ， ， ，结论②正确； ， ， ， ， 即，结论③错误； 如图，过点作于点，连接， 平分，，， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值， 由垂线段最短得：当时，取得最小值， 此时在中，， 即的最小值是，结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题7分，19-20每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题13分。 17．解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解求解一元二次方程即可得出答案． （2）用公式法求解一元二次方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 提取公因式：， ∴或， 解得，． （2）解：， ∴判别式， ∴， ∴，． 18．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 【答案】(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）位似图形对应顶点连线交于位似中心，直线与交点即为位似中心； （2）按照位似放大倍数延长得到对应点； （3）先求对应边长得到位似比为，根据位似图形面积比等于位似比的平方，得到面积比值为． 【详解】（1）解：如图， 与交于点， 位似中心是点； （2）略 （3）解：，，，， ，， ， ． 19．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 【答案】(1) 画出这个几何体的主视图和左视图，如图所示： (2)2 【分析】本题考查三视图的画法，解题关键是根据三视图的定义和画法解答． （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑主视图和左视图的情况，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，要保持主视图、俯视图和左视图都不变，则最多可以添加2个小立方块． 故答案为：2． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 【答案】(1) 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 21．（新考法）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】(1) 如图，光源O、线段即为所求； (2)B (3)灯杆高度为5.4m 【分析】（1）连接，并延长交于点O，再连接，过点E作，交于点K； （2）小明从点A出发，影子越来越短，到路灯下方达到最短，之后越来越长，可知B符合题意； （3）先说明，即可得出 ，再代入数值可得然后根据求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 22．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． 23．如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的分类讨论是解题的关键． （1）当时，先计算各点移动的距离得到相关线段长度，再用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积． （2）点在上时，先表示出、、、的长度，分“”和“”两种相似情况，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】（1）解：当时, ，，， ，， 矩形面积：， ， ， ， ； （2）解：点在上， ，即， 此时，，，， 情况1：当时， ， ， 即， 解得， 情况2：当时， ， ，即 解得， 综上，或时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似． 24．按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 【答案】(1)①；② (2)， (3)或 【分析】（1）证明，即可得结论； （2）证明，即可得结论； （3）分两种情形解直角三角形求出，再利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于， 在和中， ，， ，，， ∴， ， ∴， ， ∴，， ， ∴， ． （3）如图中，作于，连接，则， 在中， ∵，， ， ， ， ， ∵， ， ， 在中，， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， ． 如图，连接，作于， 同理可得，， ， ， ∴， ． 综上所述，点、之间的距离是或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×J[][/] 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13. 15, 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题7分，19-20每题8分，21-22题每题9分， 23题11分，24题13分。 17.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) A A 19.(8分) 2 3 4 13 俯视图 主视图 左视图 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) B .C D C D B 图① 图② 图③ 22.(9分) D B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) A D B F 24.(13分) D D M E M D B B 图(1)》 图(2) 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 3 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B D A B A C B 0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.162 13.2025 14.3.6 15.7 16.①②④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题7分，19-20每题8分，21-22题每题9分，23题 11分，24题13分。 17. 4x(x-3)-(x-3)=0 【详解】(1)解： （x-3)(4x-1)=0 提取公因式： ∴，x-3=0或4x-1=0 解得x=3,=4.(3分) (2)解：2x2-5x+1=0 ∴判别式4=b-4ac=(←5)-4×2×1=17>0 (4分) 5±√175±17 2×2 4, 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5+V17 5-17 X,= 4, 4 (7分) 18 【详解】(1)解：如图， VA B 与交于点， A C, P C AA BB 位似中心是点；(2分) (2)如图， y A BI o (4分) P:O C ●.● C(3,0)(5分) (3)解：A(-,0),B(0,1,A(-12）BL4) AB=[0-(]+1-0=2,4B=V1-（-1]+(4-2}=22 48=2,6分) A S49=2=4 SABC (7分) 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19. 【答案】(1) 画出这个几何体的主视图和左视图，如图所示： (4分) 主视图 左视图 (2)2(8分) 20. 【答案】(1) 证明：-元=次方程为r-(2++分-2=0，其中a1b=-(2k+,c=2-2,2分》 △=b2-4ac =-[2+-4传-2 =4k2+4k+1-2k2+8 =2k2+4k+9 =2(k+102+7 2k+102≥0 2(k+1)2+7≥7>0 0,即△>0,4分) ,无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根： (2) (2)解：由根与系数的关系得5+5=26+1，-2,5分) 2 +为=2x5+5 3/10 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21=-2小5 整理得k2-2k=0. (6分) k=0k2=2 解 ,无论k取何值方程均有两个实数根， ∴.k的值为0或2(8分) 21, 【详解】(1)如图，光源O、线段EK即为所求： 正确找到光源得2分，画出竹竿影子得1分。 (2)解：B:(5分) 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； (3)解：如图所示，设BD=xm,AB=hm, 由题意得，∠GFE=∠FDC=∠B=90°，∠G=∠G,∠CFD=∠AFB, .△CDF∽△ABF,△EFG∽△ABG ⑦分) CD DF EF GF AB BF'AB BG ..CD=EF, DF GF BF BG' DF 4m,FG =6m,BF BD+DF =(x+4)m BG=BD+DF+GF=BD+4+6=(x+10)m 4 6 x+4x+10 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得x=8, BD=8m, .BF=8+4=12m CD DF :AB BF' .1.84 .h12 解得h=5.4m, ∴灯杆高度为5.4m.9分) 22 【答案】(1)证明：'NM⊥BC,NP⊥MN,P9⊥BC, 四边形POMN为矩形，(2分)】 .PN II BC, :四边形P'QMN'是正方形， P'N'IBC,MN⊥BC, .PN∥P'N', P'N'BN' PNBN· MN⊥BC,MN'⊥BC, ..MNI M'N' MN'BN' MN BN, 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 PN'MN' PN MN' :在正方形P'OMN'中，PN'=MN', ∴.PN=MNJ :四边形POMN为正方形：(4分) (2)解：作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E, B DM C S.ABC =1.5m2 ZBAC=90 2BAC=1.5, .AC=1.5m, .AB=2m, BC=V22+1.52=2.5(m) BC:4D=1.5 AD=2x1.56 2.5=5(m), (6分) 6 设PN=m,则P0=DE=m,AE=;x(m), PN∥BC, .APN△ABC, 6 x AEPN,即625， (8分) AD BC 5 30 解得x= 37, 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 30 即PN的长为37m.1(9分) 23. 【详解】(1)解：当t=1时， AE=2×1=2,BF=4×1=4,CG=2×1=2 ..EB=AB-AE=12-2=10 FC=BC-BF=8-4=4 2分) 矩形ABCD面积：12×8=96， 1 SEBr=)×EB×BF=,×10×4=20, 2 2 2xFCxCG-1 S.FCG= ×4x2=4 S.6=)x(AD-AE)×(CD-CG)=,×(8-2)x(2-2)=30. 1 2 2 .S=96-20-4-30=42:(5分) (2)解：点F在BC上， ∴.4t≤8t≤2 ,即 ,(6分) 此时EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,CG=2t, 情况1：当aEBF~aFCG时， △EBF∽△FCG, EB BF FC CG 12-21-4 即8-42t' 2 解得=3， (8分) 情况2：当AEBF∽aGCF时， △EBF∽AGCF EB BF 12-2t 4t CGFC,即21=8-4 3 解得=2,1(10分) 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 3 综上，13或=2时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似.(11分) 24 【详解】(1)解：如图，设OA交BD于K, B.∠AOB=∠COD=45 ∴.∠COA=∠DOB 在aCOA和△DOB中， OA=OB ∠COA=∠DOB OC=OD .△COA≌aDOB(SAS) ,(2分) AC=DB,∠CAO=∠DB0,(3分) :∠MKA=∠BKO .180°-∠MAK-∠AMK=180°-∠KBO-∠BOK, .∠AMK=∠BOK=45 (4分) (2)解：如图，设OA交BD于K, 在AOAB和△OCD中， ∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°， ∴∠COA=∠DOB,CD=2OD,AB=2OB, 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :0C=CD2-0D2=V(20D'-0D=30D, OA=AB2 -OB2=(20B)-OB2=30B 0C=0A ·ODOB' ,.∴ACOAAODB ,(6分) AC_CO :BD OD =5 ∠MAK=∠OBK, .∠AKM=∠BKO. .180°-∠MAK-∠AMK=180°-∠KBO-∠BOK, .∠AMK=∠BOK=90 .(8分) (3)如图中，作CH⊥BD于H,连接AD,则∠CHE=90°， 在Rt△DCE中， :∠DCE=90°，∠CDE=30°. ∴.∠CEH=60°， :∠CHE=90°， ∠HCE=30°， .CE=1, :.EH=1EC= 2 2, CH=CEP-EH --9 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 R△BCH中，BH=VBc2-Gm ∴BE=BH-EH=4, :∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠D=30° :.∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE.AC=V3BCDC=V3CE AC_DC-5. ·∠BCE=∠ACD,BCEC .△DCA∽△ECB AD_CD=3 ·BEEC .AD=3BE=43 (10分) 如图，连接AD,作CH⊥DE于H, E 1 同理可得M},H= 2, 91 ∴.BE=-+-=5 2'2 ·△DCA∽△ECB, AD_CD=3 ·BEEC .AD=3BE=53 (12分) 综上所述，点A、 D之间的距离是4W5或5W5 .(13分) 10110………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图所示的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．（新考法）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 3．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 5．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．（新情境）古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 7．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．先变短，后变长 B．先变长，后变短 C．一直变短 D．一直变长 8．关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 9．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 12．若，则_______． 13．设是方程的两个实数根，则的值为_____ 14．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 15．如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为________． 16．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题7分，19-20每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题13分。 17．解方程： (1)． (2) 18．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 19．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 21．（新考法）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 22．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 23．如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 24．按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．如图所示的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．（新考法）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 3．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 5．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．（新情境）古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 7．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．先变短，后变长 B．先变长，后变短 C．一直变短 D．一直变长 8．关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 9．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 12．若，则_______． 13．设是方程的两个实数根，则的值为_____ 14．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 15．如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为________． 16．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题7分，19-20每题8分，21-22题每题9分，23题11分，24题13分。 17．解方程： (1)． (2) 18．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 19．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 21．（新考法）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3) 【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 22．如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 23．如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 24．按要求解答下列问题： (1)【操作发现】如图（1），在和中，，，，连接，交于点． ①与之间的数量关系为 ； ②的度数为 ； (2)【类比探究】如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点．请计算的值及的度数； (3)【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，且、、在同一直线上，，，求点、之间的距离． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $