山西省阳泉市第十五中学校2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟卷

2026—2027学年第一学期九年级期中模拟考试 数　学 （人教版　测试范围：第二十五章 一元二次方程 · 第二十六章 二次函数 · 第二十七章 反比例函数） 全卷共 23 小题，满分 100 分，建议用时 100 分钟 姓名：__________　　班级：__________　　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把姓名、班级、考号填写在试卷规定的位置上。 2．选择题只有一个选项符合题意，把所选项前的字母填在题后的括号内。 3．解答题要写出必要的演算步骤或推理过程，只写结果不得分。 4．解方程或求出函数解析式后，把结果代回原式检验一遍，能挡掉大半的计算失误。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列方程中，一定是关于 的一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．方程 的解是（　　） A．　　B．　　C．，　　D．， 3．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A．　　B． 且 　　C．　　D． 且 4．若 x1、x2 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（　　） A．13　　B．19　　C．　　D．29 5．对于二次函数 ，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小 C．这个函数的最小值是 3 D．当 时， 随 的增大而减小 6．将抛物线 平移，得到抛物线 ，则平移的方式是（　　） A．先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 B．先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 C．先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 D．先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 7．如图，抛物线 （）的对称轴是直线 ，它与 轴的一个交点是 ，且与 轴交于正半轴。下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．当 时， 随 的增大而增大 8．已知点 、、 都在反比例函数 的图象上，则 、、 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．如图，点 是反比例函数 的图象在第二象限一支上的一点，过点 作 轴于点 ，连接 。若 的面积为 3，则 的值是（　　） A．6　　B．　　C．3　　D． 10．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于 、 两点，则不等式 的解集是（　　） A． 或 　　B． 或 　　C．　　D． 或 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．方程 的解是 ____________（结果保留根号）。 12．某校“图书漂流站”2024 年的图书借阅量是 1200 册，2026 年增加到 1728 册。若这两年的年平均增长率相同，设为 ，则可列方程 ____________，这个年平均增长率是 ________。 13．已知抛物线 的顶点坐标是 ，则 ________， ________。 14．已知反比例函数 的图象经过点 ，则 ________；若点 也在这个函数的图象上，则 ________。 15．如图是二次函数 （）图象的一部分，它与 轴的一个交点是 ，对称轴是直线 。则方程 的另一个根是 ________；不等式 的解集是 ________。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 55 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）解下列一元二次方程： （1）（用配方法）； （2）（用公式法）。 17．（6分）已知关于 的一元二次方程 。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）若 x1、x2 是方程的两个实数根，且 ，求 的值。 18．（6分）如图，某校要用一段总长为 30 m 的栅栏，借助一面长 16 m 的墙围成一个矩形种植园 ，其中边 落在墙上，并在园内用同样的栅栏隔出一道与 平行的隔墙 ，栅栏恰好用完。若种植园的面积是 63 m2，求 的长。 19．（7分）已知抛物线经过点 、 和 。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当 时，求函数值 的取值范围。 20．（7分）某文创店购进一批国风笔记本，每本进价 12 元。试销发现：当每本售价为 20 元时，每天可售出 60 本；每本售价每上涨 1 元，每天的销量就减少 5 本。设每本售价上涨 元（ 为非负整数），每天销售这种笔记本的利润为 元。 （1）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围； （2）每本售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该店希望每天获得 495 元的利润，且尽可能让利于顾客，那么每本售价应定为多少元？ 21．（7分）如图，某公园要建一座抛物线形拱门。以拱门底部所在的直线为 轴、拱门的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度 为 6 m，拱门的最高点离地面 4.5 m。 （1）求这座拱门对应的二次函数解析式； （2）一辆宽 2 m、车顶离地面 3.5 m 的观光车要从拱门正中间通过，请通过计算判断它能否顺利通过。 22．（8分）如图，抛物线 与 轴交于点 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 。点 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ， 与直线 交于点 。 （1）写出 、、 三点的坐标； （2）求线段 长度的最大值及此时点 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 （不与点 重合），使 的面积等于 的面积？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 23．（8分）如图，反比例函数 （）的图象与一次函数 的图象交于点 、 两点，一次函数的图象与 轴交于点 ， 为坐标原点。 （1）求 、 的值及点 的坐标； （2）求 的面积； （3）在 轴上是否存在一点 ，使得 的值最小？若存在，求出点 的坐标及 的最小值；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．D　2．C　3．B　4．B　5．D　6．A　7．B　8．B　9．B　10．A 逐题解析： 1．【答案】D　【考点】一元二次方程必须同时满足：整式方程、只含一个未知数、整理后未知数的最高次数为 2，且二次项系数不为 0。A 中 可能等于 0，不一定是；B 整理后为 ，是一元一次方程；C 是分式方程，不是整式方程；D 整理得 ，是一元二次方程。 2．【答案】C　【考点】两边含公因式 ，不能直接约去（约去会丢掉 这个根）。移项后提公因式：，即 ，所以 ，。易错点：用因式分解法时两边同除以含未知数的整式而丢根。 3．【答案】B　【考点】有两个不相等的实数根，需 ：，得 ；同时方程必须是一元二次方程，故 ，即 。易错点：只解 而漏掉二次项系数不为 0 的限制。 4．【答案】B　【考点】，方程有两个实数根，可用根与系数的关系。，。。常考点：把对称式化成和与积的形式。 5．【答案】D　【考点】，图象开口向下，A 错；对称轴是直线 ，在对称轴左侧（） 随 增大而增大，B 错；开口向下函数有最大值 3（在 处取得），C 错；在对称轴右侧（） 随 增大而减小，D 正确。常考点：二次函数图象性质辨析。 6．【答案】A　【考点】先化顶点式：，顶点为 ；，顶点为 。顶点由 移到 ，横坐标减 2（向左平移 2），纵坐标减 2（向下平移 2）。常考点：平移规律“左加右减、上加下减”。 7．【答案】B　【考点】由对称轴 得 ，所以 ，B 正确。图象与 轴有两个交点，，A 错； 是 时的函数值，即顶点的纵坐标，由图知顶点在 轴上方，故 ，C 错；开口向下、对称轴右侧 随 增大而减小，D 错。常考点：由图象判断系数与代数式的符号，是选择压轴常客。 8．【答案】B　【考点】，图象在第一、三象限，在每个象限内 随 增大而减小。、 在第三象限（），，所以 且二者都小于 0； 在第一象限，。故 。易错点：说增减性必须限定“在每个象限内”，不同象限的点不能直接比。 9．【答案】B　【考点】设 ，则 ，得 。点 在第二象限，，，所以 ，。常考点： 的几何意义（直角三角形面积为 ）；易错点：漏掉符号判断。 10．【答案】A　【考点】解 得 ， 或 ，即两个交点的横坐标。 表示直线在双曲线下方。本题的双曲线只取第一象限的一支（），由图象可知当 或 时直线在双曲线下方。故选 A。易错点：漏掉 的限制，把解集错误地写成连续区间或写成 或 。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．【答案】，　【考点】用配方法：，，，，所以 ，。也可代公式：。常考点：一元二次方程的解法与配方法。 12．【答案】；　【考点】平均增长率问题用 ：，，，取 ，（负值不合题意舍去）。易错点：把“两年共增长”写成 ；解出负增长率不舍去。 13．【答案】；　【考点】顶点式 ，展开得 ，所以 ，。也可由对称轴 得 ，再把顶点 代入求 。常考点：顶点式与一般式的互化。 14．【答案】；　【考点】把 代入得 ；把 代入 ，得 ，所以 。常考点：反比例函数解析式与点坐标的互求。 15．【答案】； 或 　【考点】抛物线与 轴的两个交点关于对称轴对称。 关于直线 的对称点是 ，所以另一个根为 1。由图象知抛物线开口向上，在 轴上方对应 或 。常考点：抛物线与一元二次方程、不等式的互化。 三、解答题（共 55 分） 16．（6分）【考点】重点：一元二次方程四种解法的规范书写（配方按“移项—配方—开方”，公式法必须先算 ）。 （1），两边加 1 得 ，即 ， 所以 ，，。 （2），，，， 所以 ，，。 17．（6分）【考点】重点：判别式与根与系数的关系综合。难点/易错点：由韦达定理求出的 必须代回 检验。 （1）。 由 得 ，所以 。 （2）由根与系数的关系，，。 ， 由 得 ，解得 或 。 检验： 不满足 ，舍去；所以 。 18．（6分）【考点】常考点：一元二次方程的面积应用。易错点：解出两个根后必须用“墙长 16 m”检验并舍去不合题意的根。 设 （单位：m）。栅栏由 、、 三段竖边和底边 组成， 所以 （单位：m）。 由面积得 ，整理得 ， 解得 ，。 检验：当 时，，超出墙长，不符合题意，舍去； 当 时，，符合题意。 答： 的长为 7 m。 19．（7分）【考点】重点：待定系数法求解析式（交点式）+ 顶点式互化。易错点：第（3）问必须比较区间两端的函数值，不能只看顶点。 （1）抛物线与 轴交于 、，设 。 代入 ：，得 。 所以 。 （2），开口向下；，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 （3） 在 内，此时 取最大值 ； 时 ， 时 ，所以 的最小值是 。 因此 。 20．（7分）【考点】重点：二次函数的最大利润应用。易错点：必须写出 的取值范围；第（3）问要在两个解中按“让利”取舍。 （1）每本利润为 元，日销售量为 本， 所以 。 由 且 ， 为非负整数，得 且 为整数。 （2）。因为 在取值范围内，所以当 时 最大，为 500。 此时每本售价为 （元）。 答：每本售价定为 22 元时每天利润最大，最大利润是 500 元。 （3）由 得 ，解得 或 。 尽可能让利于顾客，即售价尽量低，取 ，此时售价为 （元）。 答：每本售价应定为 21 元。 21．（7分）【考点】常考点：抛物线形建筑的建模与判断。解法要点：建立坐标系求解析式，再比较关键点的函数值与实际高度。 （1）由题意，抛物线的顶点为 ，且经过 （）。 设 ，代入 ：，得 。 所以 （）。 （2）观光车宽 2 m 且从正中间通过，车两侧对应的横坐标为 和 。 当 时，（m）。 因为 ，车顶处的拱门高度大于车顶高度，所以能顺利通过。 22．（8分）【考点】难点：二次函数综合（动点线段最值 + 存在性问题）。第（3）问需先由面积条件转化为 ，再分类讨论并排除与点 重合的情况。 （1）令 ：，即 ，解得 或 ， 所以 ，；令 ，得 ，所以 。 （2）直线 经过 、，解析式为 。 设 （），则 ， 。 所以当 时 最大，最大值为 ，此时 。 （3）存在。，，。 设 ，则 ，所以 。 当 时，，即 ，得 （为点 ，舍去）或 ，所以 ； 当 时，，即 ，解得 ， 所以 或 。 综上，存在这样的点 ，坐标为 或 或 。 23．（8分）【考点】难点（压轴）：反比例函数与一次函数综合 —— 交点、面积的割补、以及利用轴对称求线段和的最小值（最短路径模型）。易错点：面积的割补要选对公共底边；轴对称点别找错坐标轴。 （1）把 代入 ，得 ； 把 代入 ，得 ，所以 。 解 ，得 ， 或 。 当 时 ，所以 。 （2）令 中 ，得 ，所以 。 。 （3）存在。作点 关于 轴的对称点 ， 连接 交 轴于点 ，由“两点之间线段最短”可知此时 最小。 直线 经过 、，设 ，则 ，， 解得 ，，即 。 令 ，得 ，所以 。 。 答：存在点 ， 的最小值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $