山西省阳泉市第十五中学校2026-2027学年九年级上学期数学期中模拟卷3

2026—2027学年第一学期九年级期中模拟考试 数　学 （人教版　测试范围：第二十五章 一元二次方程 · 第二十六章 二次函数 · 第二十七章 反比例函数） 全卷共 23 小题，满分 100 分，建议用时 100 分钟 姓名：__________　　班级：__________　　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请把姓名、班级、考号填写在试卷规定的位置上。 2．选择题只有一个选项符合题意，把所选项前的字母填在题后的括号内。 3．解答题要写出必要的演算步骤或推理过程，只写结果不得分。 4．求出函数解析式或解方程后，把结果代回原式检验一遍，能挡掉大半的计算失误。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．（ 为常数）　　B．　　 C．　 　D． 2．用配方法解方程 ，配方正确的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．某河道整治工程中，第一个月清除淤泥 2 万立方米，第三个月清除淤泥 3.38 万立方米，且每月清淤量的月平均增长率相同。设月平均增长率为 ，则所列方程正确的是（　　） A．　　B．　　 C．　　D． 4．关于 的方程 有两个实数根 、，且 ，则 的取值范围是（　　） A． 或 　　B．　　C．　　D． 5．将抛物线 平移，使平移后的抛物线经过点 、，则下列平移方式正确的是（　　） A．向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 6．已知反比例函数 的图象经过点 ，则下列各点中也在该图象上的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．如图，直线 与抛物线 在同一平面直角坐标系中交于两点。下列结论正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与 轴的交点是 和 C．当 时， 随 的增大而增大 D．直线与抛物线只有一个公共点 8．如图，点 是反比例函数 （）的图象上一点， 轴，垂足为 ，连接 。若 的面积为 3，则 的值为（　　） A．6　　B．　　C．3　　D． 9．已知二次函数 ，当 时， 的最大值为 4，则 的值为（　　） A．　　B．0　　C．1　　D．4 10．已知点 、 在反比例函数 的图象上，且 ，则下列判断正确的是（　　） A．　　B．　　C．、 的大小与 、 的取值有关　　D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．已知 是关于 的方程 的一个根，则 ＿＿。 12．已知 、 是方程 的两个实数根，且 ，则 ＿＿。 13．抛物线 的顶点坐标是＿＿；当 ＿＿时， 随 的增大而增大。 14．已知点 在反比例函数 的图象上，则代数式 的值为＿＿。 15．已知抛物线 与 轴交于 、 两点，则线段 的长为＿＿。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 55 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）解下列方程： （1）（用公式法）； （2）。 17．（6分）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根为 、。 （1）若 ，求 的值； （2）当 时，求 的值。 18．（6分）已知抛物线的顶点为 ，且经过点 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）把（1）中的解析式化为一般形式，并写出 随 的增大而减小时 的取值范围。 19．（7分）已知二次函数 。 （1）求该抛物线与 轴交点的坐标； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线的草图； （3）结合图象，直接写出当 时 的取值范围。 20．（7分）【杠杆平衡】如图，撬棒可绕支点 转动，左端所挂重物对撬棒的阻力为 ，其力臂为 ；右端施加竖直向下的动力 ，其力臂为 。根据杠杆平衡条件，阻力与阻力臂的乘积等于动力与动力臂的乘积。已知 与 的乘积为 600 牛·米，且 （）。 （1）求 关于 的函数解析式； （2）当动力臂 米时，求动力 的大小； （3）若某人最多能施加 240 牛的动力，要撬动该重物，动力臂 至少应为多少米？ 21．（7分）某网店销售一种商品，每件进价 40 元。当售价为每件 60 元时，每天可售出 100 件。经调查：售价每上涨 1 元，每天少售出 2 件；售价每降低 1 元，每天多售出 4 件。店主拟定了两种调价方案： 方案一：在 60 元/件的基础上每件涨价 元（）； 方案二：在 60 元/件的基础上每件降价 元（）。 （1）分别写出方案一的日利润 （元）与 、方案二的日利润 （元）与 之间的函数关系式； （2）不限售价时，分别求两种方案的最大日利润； （3）若要求售价不超过每件 65 元，应选哪种方案？此时最大日利润是多少？ 22．（8分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点，点 ，点 在点 的右侧（横坐标大于 1），连接 、。已知 的面积为 3。 （1）求 的值及点 的坐标； （2）求一次函数的解析式； （3）结合图象，直接写出 时 的取值范围。 23．（8分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，连接 、。 （1）求 、 的值及点 的坐标； （2）点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标及周长的最小值； （3）在 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．B　2．A　3．C　4．B　5．C　6．A　7．B　8．D　9．B　10．D 1．【答案】B　【考点】A 中 可能为 ，不一定是；C 含两个未知数；D 整理得 ，是一元一次方程；B 的二次项系数 ，一定是一元二次方程。易错点：判断定义先看二次项系数是否可能为 。 2．【答案】A　【考点】移项得 ，两边加上 ，得 ，解得 ，。知识点：配方法。 3．【答案】C　【考点】第三个月在第一个月的基础上经两次增长，为 万立方米，故 （解得 ）。常考点：增长率问题只取首末两月，切勿写成三项求和。 4．【答案】B　【考点】，方程总有两个不相等的实数根；由根与系数的关系，，得 。难点：两根异号只需看两根之积的符号。 5．【答案】C　【考点】设平移后为 ，代入 、 两点解得 ，，即 ，由 向右平移 1 个单位、再向上平移 1 个单位得到。常考点：平移的逆向运用。 6．【答案】A　【考点】把 代入得 ；横、纵坐标之积等于 的点才在图象上，只有 满足。知识点：图象上点的坐标特征。 7．【答案】B　【考点】对称轴 ，A 错；令 得 或 ，B 对；，对称轴左侧 随 增大而减小，C 错；联立消去 得 ， 或 ，有两个公共点，D 错。重点：图象与系数的关系。 8．【答案】D　【考点】设 ，则 ，得 ；又 ，所以 。易错点： 的几何意义要带符号，面积取 。重点： 的几何意义。 9．【答案】B　【考点】对称轴 在区间 内，最大值在顶点处取得：，得 。若误把 代入会得 （选项 C 是陷阱）。易错点：限定区间上的最值，先看顶点横坐标是否落在区间内。 10．【答案】D　【考点】，图象在第二、四象限： 时点 在第二象限，； 时点 在第四象限，，故恒有 。易错点：每一支上的增减性不能跨支使用，跨支比较先看象限定符号。 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．【答案】。　【考点】把 代入：，得 。此时方程为 ，另一根为 。知识点：方程的根的定义。 12．【答案】。　【考点】由 及 ，得 ，，，故 。此时 ，符合题意。重点：根与系数的关系。 13．【答案】顶点坐标为 ；当 时， 随 的增大而增大。　【考点】，顶点 ；，对称轴右侧 随 增大而增大。知识点：配方法与增减性。 14．【答案】。　【考点】由题意 ，整体代入得 。重点：双曲线上点的横、纵坐标之积等于 ，用整体代换求值。 15．【答案】。　【考点】，故 ，与 的取值无关。难点：判别式的整体化简（含参变形后为定值）。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 55 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）【考点】知识点：公式法与因式分解法解一元二次方程；易错点：（2）两边不能直接约去 ，否则丢根 。 （1），，，。 ，即 ，。 （2）移项得 ，即 。 所以 或 ，，。 17．（6分）【考点】重点：根与系数的关系；易错点： 是两根之间的线性关系，要整体消元，求出 后需检验两根确实满足关系。 （1），方程总有两个不相等的实数根。 由根与系数的关系：，。 把 代入 ，得 ，即 ，。 代入 ：，整理得 ，解得 ，。 经检验： 时两根为 、； 时两根为 、，均满足 。 （2）当 时，方程为 ，，。 。 18．（6分）【考点】重点：待定系数法（顶点式）；知识点：顶点式与一般式互化、增减性。 （1）设 ，把 代入：，得 。 所以 。 （2）一般形式：。 ，在对称轴 左侧 随 的增大而减小，即当 时。 19．（7分）【考点】常考点：抛物线与 x 轴的交点、图象法解不等式；易错点：草图要过顶点及与坐标轴的交点，开口向上。 （1）令 ：，解得 ，， 交点坐标为 和 。 （2）配方得 ，顶点 ，与 轴交于 ，结合（1）中两个交点描点，用平滑曲线连接（草图略）。 （3）由图象：当 时， 或 。 20．（7分）【考点】常考点：反比例函数的实际应用；易错点：要结合自变量的实际意义确定取值范围。 （1）由 ，得 （）。 （2）当 时，（牛）。 （3）由 ，得 ，即 。 所以动力臂至少为 2.5 米。 21．（7分）【考点】常考点：销售利润问题；重点：二次函数最值与方案比较；易错点：限定售价范围后，最值必须在范围内取。 （1）方案一：每件利润 元，日销量 件， ； 方案二：每件利润 元，日销量 件， 。 （2），当 时最大，最大日利润 2450 元（此时售价 75 元/件）； 的对称轴为直线 ，在 上 随 的增大而减小， 故 时最大，最大日利润 2000 元。 （3）方案一售价 ，得 ； 在 上随 增大而增大， 故 时最大，（元）； 方案二售价不超过 60 元，恒满足要求，最大日利润 2000 元。 因为 ，应选方案一，此时最大日利润 2250 元。 22．（8分）【考点】难点：由三角形面积逆向确定点 的坐标；常考点：一次函数与反比例函数的综合、图象法解不等式。 （1）把 代入 ，得 。 设 （），则 。 ； 当 时 ，故 ，即 。 整理得 ，解得 或 （舍去），。 所以 。 （2）把 、 代入 ：，，解得 ，。 所以 。 （3）由图象：当 或 时，。 23．（8分）【考点】难点：压轴综合——轴对称求最短路径与等积变形；常考点：待定系数法、抛物线的性质。 （1）把 、 代入：，，解得 ，。 抛物线为 ，令 ，得 。 （2）对称轴为直线 ； 关于对称轴的对称点是 ， 所以 ，当 落在线段 上（ 为 与对称轴的交点）时取等号。 直线 过 、，解析式为 ；令 得 ，所以 。 ，， 周长的最小值为 。 （3）存在。，所以 。 设 ，以 为底（在 轴上），点 到 轴的距离为 3： ，得 ， 或 。 所以点 的坐标为 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $