专题二·期中综合复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练选择恰当方法解一元二次方程，灵活运用判别式讨论根的情况并求参数 · 深化根与系数关系的应用，能在含参方程、代数式求值中整体代换 · 掌握反比例函数与一次函数、几何图形综合题的解法，理解k的几何意义 · 能综合运用垂径定理、圆周角定理解决圆的证明与计算，掌握切线的判定与性质 · 会处理点与圆的最值、正多边形和圆、弧长扇形圆锥等综合压轴计算 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的解法与判别式 四种解法：直接开平方、配方、公式x=、因式分解，按结构择优 判别式Δ=b2-4ac的符号决定实根个数，也是讨论参数取值范围的依据 抛物线与x轴交点个数即对应一元二次方程实根个数，常转化为Δ的问题 含参方程讨论根的情况时，务必先保证二次项系数a≠0 概念辨析例题：若关于x的方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围 答案：k<1且k≠0 解析：由题意k≠0且Δ=4-4k>0，解得k<1，综合得k<1且k≠0 ☆ 2.根与系数的关系及方程应用 韦达定理：x1+x2=-，x1x2=，使用前须Δ≥0 求与两根有关的代数式，先变形为两根和与两根积的组合再整体代入 已知方程的一个根求另一根及参数：代入根或用韦达定理 增长率问题a(1+x)2=b、营销利润问题围绕等量关系列方程并验根 概念辨析例题：方程2x2-4x+1=0的两根为x1、x2，求x12+x22 答案：x12+x22=3 解析：x1+x2=2，x1x2=，原式=(x1+x2)2-2x1x2=4-1=3 ☆ 3.反比例函数的综合应用 y=（k≠0）：k的符号决定象限，|k|=图象上点向坐标轴作垂线围成矩形面积 由增减性、象限分布求参数，注意在每个象限内讨论 与一次函数交点：联立两解析式，交点坐标同时满足两者 与几何图形结合时，用坐标表示线段与面积，注意自变量实际范围 概念辨析例题：反比例函数y=的图象上一点P到两坐标轴的垂线与坐标轴围成面积为3，求k 答案：k=3或k=-3 解析：矩形面积=|k|=3，故k=±3，需结合图象所在象限确定符号 ☆ 4.圆的综合：性质、位置关系与计算 垂径定理+勾股：遇弦作弦心距，构造半径、半弦、弦心距的直角三角形 圆周角=同弧圆心角一半；直径所对圆周角为90°；圆内接四边形对角互补 切线：连半径得垂直；证切线即证半径垂直于直线；切线长定理 弧长l=，扇形S=，圆锥侧面积=πRl，侧面展开扇形弧长=底面周长 概念辨析例题：圆锥底面半径为3，母线长为5，求它的侧面积与侧面展开图圆心角 答案：侧面积15π，圆心角216° 解析：S=π×3×5=15π；底面周长6π=，解得n=216 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 判别式 Δ=b2-4ac 先保证a≠0再用Δ 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 使用前先验Δ≥0 反比例k 矩形面积=|k| 在每个象限内谈增减 垂径定理 垂直弦的直径平分弦及弧 作弦心距用勾股 切线 切线⊥过切点半径 证切线连半径证垂直 弧长扇形圆锥 l=，S侧=πRl 母线R与底面半径r分清 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-5题） · 按方程结构择优：可直接开方就不开方，能因式分解优先 · 公式法是通用法，用前先算Δ · 配方法注意先把二次项系数化为1再配方 1．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）的所有的根的乘积__________． 【答案】2 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解高次方程和一元二次方程，先把看成整体，原方程视为一元二次方程，求出所有解，再求它们的乘积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴， ∴所有的根的乘积为：， 故答案为：2． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 【答案】 ② 2或0/0或2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，运用因式分解思想，关键是通过提取公因式或平方差公式分解方程，易错点为因式分解时符号或公式应用错误； （1）提取公因式分解方程求解；（2）利用平方差公式分解方程求解． 【详解】（1）解： 或 ，． （2） 或 ，． 4．（24-25九年级上·江苏·阶段检测） 解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：，     直接开方得：，     解得：，； （2）解：， 移项得：， 因式分解：， ，     或， 解得：，． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程没有实数根； (2)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【详解】（1）解：，，． ， 原方程没有实数根； （2）解：原方程化为， 或， 解得，． 【考点2】根的判别式（第6-11题） · 由Δ符号判根，由根的情况反列不等式 · 含参问题先化一般形式再算Δ · 抛物线与x轴交点个数即方程实根个数 6．（25-26九年级下·江苏常州·期中）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用根的判别式得到的范围，再结合二次函数图像性质得到时对应的函数值，即可求出的完整取值范围． 【详解】解：∵二次函数（为常数）有不动点， 令，则，即， ∵二次函数有两个不相等的不动点， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 令，该抛物线开口向上，对称轴为， ∵方程的两个根都小于， ∴当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围是． 7．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)； 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）略； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【答案】(1) 证明：∵是关于的一元二次方程， ∴， ， 方程必有的实数根； (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：当时，方程有两个相等的非零实数根， ， 方程即， 解得． 10．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出实数的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为； （2）∵，是关于的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴， ∴或， 由（1）可知方程有实数根，， ∴应舍去， 即：． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程． 11．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个负实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)见解答 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根． （1）根据方程的系数，结合根的判别式，可求出，进而可证出该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法，可求出方程的两根，结合该方程有一个负实数根，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，． ∵该方程有一个负实数根， ∴， ∴． 【考点3】根与系数的关系及方程应用（第12-18题） · 熟记两根和与两根积，整体代换求代数式 · 已知一根求另一根与参数，代入或用韦达 · 增长率、营销问题找准等量关系并验根 12．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这时容器内剩下的纯药液是28L．假设每次倒出的液体是xL，则其中第二次倒出的纯药液是 ____________________L，列方程为_____． 【答案】 【知识点】列代数式、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用；先表示第一次剩下的纯药液为，再表示第二次倒出的纯药液，再结合最后剩下的纯药液列方程即可． 【详解】解：第一次剩下：， 第二次倒出的纯药液是：； 由题意得，， 整理得：， 故答案为：，． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）若、是方程的两根，则____________． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数关系定理解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， 则， 故答案为：2． 16．（25-26八年级下·北京·期末）设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 17．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； (2) 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 【考点4】反比例函数的概念、图象与性质（第19-21题） · 由k符号定象限，由象限或增减性反求k · 比较函数值要注意是否在同一分支上 · 用待定系数法代入一点求k 19．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·江西上饶·期末）下列式子中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式，据此依次判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； C、变形为，是正比例函数，不符合题意， 故选：B． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【考点5】反比例函数综合与实际应用（第22-29题） · 与一次函数交点联立求解，坐标即公共解 · k的几何意义：矩形、三角形面积与|k|挂钩 · 实际问题注意自变量取值范围与图象信息 22．（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 23．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算、写出直角坐标系中点的坐标、等腰三角形的性质和判定 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 24．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ， 当时，， 即当时，P的值为， 故选：C． 25．（2024·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． 26．（2024·广东河源·一模）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当时，，则当时，R的值是 _______． 【答案】10 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数．利用待定系数法求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I与R的函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：10． 27．（2025·江苏苏州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______．    【答案】3 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为：3． 28．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为， ，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1） 我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 【答案】（1）24，16；（2）存在，，； ， 【知识点】解一元二次方程——配方法、根据矩形的性质求面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍矩形”，结合图像取近似数，即可作答． 联立方程组，求出，再求出，即可作答． 本题考查了一次函数与反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的“2倍矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：（1）依题意，∵一个矩形的周长是12，面积是8， 则 ∴它的“2倍矩形”的周长为24，面积为16； 故答案为：24，16； （2）观察图像，两个函数有交点， 则长为3，宽为2的矩形存在“2倍矩形”， ∵， ∴结合图像，则它的长和宽分别约为和， 故答案为：存在，，； 依题意， 整理得 ∴， ∴ 解得或， ∵ ∴（舍去）， ∴宽为， 即． 29．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【知识点】实际问题与反比例函数、由反比例函数值求自变量、用描点法画函数图象、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 【考点6】圆的基本性质（第30-42题） · 遇弦作弦心距，垂径定理+勾股求线段 · 圆周角与圆心角相互转化，注意同弧等弧 · 圆内接四边形对角互补，见直径构造直角 30．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．垂直于弦的直径平分弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆内接四边形的对角相等 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值、圆的基本概念辨析、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了等弧，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系及圆内接四边形的性质，根据以上知识点逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、长度相等的弧其弧度不一定相等，所以不能称等弧，该选项命题不是真命题； 、垂直于弦的直径平分弦，选项命题是真命题； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项命题不是真命题； 、圆内接四边形的对角互补，该选项命题不是真命题； 故选：． 31．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故选D． 32．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，四边形内接于．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质是解题的关键；因此此题可根据圆周角的性质直接进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 33．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，将两个正方形如图放置（，，共线，，，共线），若，，点在线段上， 以为半径作，点，点都在上， 则的长是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了圆的基本概念，勾股定理，正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．连接，，易知，设，则，， 在和中，由勾股定理分别表示出，， 结合列方程可求得的长，在中，再次运用勾股定理可得的长． 【详解】解：如图，连接，， 是的半径， 点在上， ， 四边形，是正方形， ，，， 设，则，， 在和中，，， ，， ， ， 解得，即， 在中，， 故选：B． 34．（22-23九年级上·江苏常州·阶段检测）下列命题是真命题的是（    ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧 【答案】D 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算、判断命题真假、圆的基本概念辨析、有关切线的概念辨析 【分析】本题考查了判断真假命题，圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义，根据圆周角的定义，不共线三点确定圆，切线的定义，等弧的定义逐项分析即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】、圆周角是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角，原选项不正确，不符合题意； 、不共线的三点确定一个圆，原选项不正确，不符合题意； 、圆的切线垂直于过切点的半径，原选项不正确，不符合题意； 、半径相等的半圆是等弧，原选项正确，符合题意； 故选：． 35．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）在半径为2的中，弦的长度为2，点C为上异于A、B两点的一个动点，则____． 【答案】或 【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度 【分析】根据题意得到，是等边三角形，进而得到，由点所在位置进行分类讨论，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质，分别计算，即可求解， 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是：根据点所在位置进行分类讨论． 【详解】解： 根据题意得：， ∴是等边三角形， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：或 36．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，的直径，是的弦，于点E，，则的长为______．    【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理．先求出再利用勾股定理即可得得出，最后用垂径定理即可得出． 【详解】解：如图，    连接， 的直径， ， ∵， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 37．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【答案】 【知识点】圆周角定理、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，则由圆周角定理得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示： ∵扇形的圆心角为 ∴圆心角， 根据圆周角定理得：， 当点在扇形内部延长线上时，则； 当点在扇形内部线段上时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 38．（23-24九年级上·吉林·期中）已知中最长的弦长为，则的半径为_______________． 【答案】5 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为, 中最长的弦，即直径的长为. 故答案为：5． 39．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明： ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【知识点】圆的基本概念辨析、证明四边形是菱形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查圆的基本知识，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，    ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 同理， ∴． 40．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于E，若，求的度数． 【答案】 【知识点】等边对等角、圆的基本概念辨析、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，进而根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得的度数，从而利用三角形的外角的性质，由求解即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 【知识点】确定圆心(尺规作图)、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接，，由圆周角定理得，则可得，即花坛的半径长为． 【详解】解：（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）连接，， ， ， ， 花坛的半径长为． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆的知识，以及圆周角定理．利用圆周角与圆心角的关系作出辅助线是解题的关键． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形． 【考点7】与圆有关的位置关系（第43-53题） · 证切线：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径 · 切线长定理与勾股联用求线段 · 点与圆最值、外接圆问题转化为圆心距与半径关系 43．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，是的切线，B为切点，与交于点D，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，根据得到，根据是的切线得到，即可得到，结合等腰三角形性质求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 44．（23-24九年级上·河北唐山·期末）若的半径为5，圆心的坐标为，则平面直角坐标系的原点与的位置关系是（    ） A．在内 B．在外 C．在上 D．无法确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：， ∴原点在上， 故选C． 45．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、点与圆上一点的最值问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查求圆外一点到圆上一点的最值，根据，得到点在以为直径的上，利用一箭穿心模型，得到三点共线时，的值最小，为，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上， 连接，则：，，    当三点共线时，的值最小， 连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故选A． 46．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧所在圆的圆心是解题关键．根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧所在的圆和全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解解：如图所示： 根据题意：，点为翻转过后的弧所在圆的圆心， 则有， 又∵，是的切线， ∴． 故选：B． 47．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、用勾股定理解三角形 【分析】作于E，找到两个临界状态，一个是恰好与相切时，此时点D是切点，得到半径为，另一个是经过点A时，则，建立方程求解即可． 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意分情况讨论是解题的关键． 48．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则______．    【答案】 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、含30度角的直角三角形、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】由三角形外心的性质结合可得出，再根据圆周角定理可得出，从而可求出，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点O为的外心， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 49．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知的半径为2，P是外一点，，点A、B在上，且满足，则线段的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、切线性质等知识，得到点B为的中垂线与的交点，以及取最大值和最小值时的临界点是解答的关键．先根据中垂线的性质得到点B为的中垂线与的交点，再结合图形，当点A在的延长线上时，有最大值，当的中垂线与相切于点B时，最小，进而结合勾股定理和正方形的判定与性质、圆的切线性质分别求得的最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴点B在的中垂线上， ∵点A、B在上， ∴点B为的中垂线与的交点， 如图，当点A在的延长线上时，存在点B，此时有最大值，最大值为； 如图，当的中垂线与相切于点B时，最小，设中垂线交于C，连接，，过O作于D， 则，又， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，, ∴， 解得，则， 综上，线段的取值范围是， 故答案为：． 50．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】 解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又 是大圆的弦，， ，， ． 【知识点】利用垂径定理求值、应用切线长定理求证 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】略 51．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，连接并延长交于点E． (1)尺规作图：作的切线，交的延长线于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)问：是等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1) 如图所示，即为所求． (2)是等腰三角形． 理由如下， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、切线的性质定理、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图，复杂作图，切线的性质，等腰三角形的判定． （1）连接，作，交的延长线于点，由此得到答案； （2）利用切线的性质求得，由半径相等推出，再利用等角的余角相等即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 52．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 【答案】(1) ①平面直角坐标系如图所示： ②解：圆心点，如图所示； (2)，上，90° 【知识点】利用垂径定理求值、判断三角形外接圆的圆心位置、坐标与图形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意建立平面直角坐标系即可；作两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心． （2）利用勾股定理、点与圆的位置关系、先判断，即可判断； 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：的半径， 点到圆心的距离半径， 点在上． ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，上，． 53．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材 2中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行． 【答案】(1) (2) 解：根据题意，得 危险高度，安全最低高度为， ∵， 当时，， 解得，； ∴匾额的最大长度为， ， 牌匾悬挂能成功挂上； (3) 解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N， ， ∵，设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点， 连接，则，， ∴， ∴， 方案的设计宽度为长度缩短为，宽仍然为， 故牌匾悬挂能成功． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、垂径定理的实际应用、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将A、B、C坐标代入即可得出解析式； （2）根据题意，得出危险高度，安全最低高度，计算出安全的宽度，与方案牌匾长比较，计算判断即可． （3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得，，设出圆的半径，本别表示出、、利用垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，； 水面宽，拱顶离水面， 顶点的坐标为，且抛物线经过点， 设该抛物线的函数解析式为d代入得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）略 （3）略 【考点8】正多边形和圆（第54-57题） · 构造半径、边心距、边长一半的直角三角形 · 内角、中心角、边长用直角三角形计算 · 不规则阴影面积用割补转化 54．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形面积的计算，解决此题的关键把正六边形分成六个全等的等边三角形；根据正六边形的性质把六边形分成6个等边三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图所示；正六边形，其中心为G，连接点G与各顶点，过G作于F， 由正六边形的性质可知：正六边形分成6个全等的等边三角形， ∵， ∴， 根据勾股定理可知：， ∴ ∴， 故选：C． 55．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 56．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在半径为的中作一个正六边形．则此正六边形的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的性质等知识，根据正六边形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可，掌握正六边形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， 在中，，， ， ∴ ， 故选：B． 57．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，得到，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质以及正多边形与圆，根据对称性将阴影部分的面积转化为，根据勾股定理求出圆的半径，再由扇形面积、弓形面积的计算方法进行计算即可．掌握正方形的性质，勾股定理以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形是的内接正方形，， ∴，， ∴是的直径，， ∴的半径为， 又∵圆和正方形都是轴对称图形， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【考点9】弧长、扇形与圆锥（第58-60题） · 弧长、扇形面积公式直接代入 · 圆锥侧面展开：扇形弧长=底面圆周长 · 母线、底面半径、高构成直角三角形 58．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）若圆锥底面圆的半径2，母线长是5，则该圆锥侧面的面积为______． 【答案】10π 【知识点】 圆的周长、求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 根据“圆锥的侧面积底面周长母线长”进行计算即可． 【详解】解：底面半径为5，则底面周长，侧面积= ． 故答案为． 59．（23-24九年级下·广东云浮·期中）若圆锥底面圆的半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角度数为____________． 【答案】/120度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角． 利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，根据弧长公式的计算即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长， 圆锥的侧面扇形的弧长为， ， 解得：， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为． 故答案为：． 60．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 💯 课后巩固 【作业1】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的周长为，正六边形内接于．则 的面积为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．先求解半径，再根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 【作业2】．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：根据圆周角定理可得：   故选：B． 【作业3】．（24-25九年级上·广西柳州·期末）已知的半径为3，，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内． 由的半径为，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案． 【详解】解：∵的半径为， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在圆内， 故选：C． 【作业4】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 【作业5】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、公式法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，①当时，方程有根，但判别式可能等于0；②由有两个不等实根得出，从而原方程判别式大于0；③当c是根时，，但时不一定为0；④由求根公式直接推导成立． 【详解】解：①∵当时，是方程根， ∴，但不一定大于0，故①错误； ②∵方程有两个不等实根， ∴， 对于方程，， ∴有两个不等实根，故②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即； 当时，不一定为0，故③错误； ④∵是一元二次方程的根， ∴； ∴； ∴，故④正确． ∴正确的是②④． 故选：D． 【作业6】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，灵活运用这些知识是解题的关键． 将代入方程可得，由根与系数的关系可得，将转化为后代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． 又∵m，n是方程的两个根， ∴由根与系数的关系，得， ∴． 故选：D． 【作业7】．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【知识点】实际问题与反比例函数 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 【作业8】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【答案】7 【知识点】点与圆上一点的最值问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 【作业9】．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，轴于点，则的值________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值、求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，求反比例函数值，先把点P坐标代入反比例函数解析式中求出点P坐标，进而得到，再利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 【答案】 9π 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用弧长公式和圆的周长公式求出底面圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：设底面半径为R，则， ∴， ∴圆锥的底面积为． 故答案为：． 【作业11】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）一元二次方程的两个根分别是a和b，则______． 【答案】9 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，．将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是a和b， ∴，， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 【作业12】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是_____． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记未知数最高次为2，二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴或， ∵， ∴， ∴舍去， 故， 故答案为：． 【作业13】．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 【答案】20 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】连接，由圆内接四边形对角互补可得的度数，由直径所对的圆周角相等和直角三角形两锐角互余可得的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【作业14】．（24-25九年级上·江苏常州·阶段检测）如果关于的一元二次方程有相等的实数根，那么的值是__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 由已知方程有两个相等实数根，得到根的判别式等于0，列出关于m的方程即可求得m的值． 【详解】解：∵方程有相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【作业15】．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）十年树一桃，新品种破解“甜蜜密码”．经过近十年研发，无锡阳山的果林里成功培育出了新品种桃树，新品种的水蜜桃抗病性提高，将提升水蜜桃产量及成果率． (1)据测算，新品种水蜜桃的产量将比旧品种提高m%，因研发成本提高，故果农也将把每颗水蜜桃的价格提高%．此时新品种水蜜桃的总价（产量×每颗价格）将比旧品种的总价提高32%．求m的值． (2)在（1）的条件下，某水果店计划批发新、旧品种的水蜜桃共100盒，每盒水蜜桃均装有8颗桃子，已知旧品种的水蜜桃每颗8元，在总费用不超过6720元的情况下，最多可以购买多少盒新品种水蜜桃？ 【答案】(1)20 (2)最多可以购买50盒新品种水蜜桃 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）根据总价产量×每颗价格以及新品种水蜜桃的总价将比旧品种的总价提高32%，列出方程，即可求解； （2）设可以购买x盒新品种水蜜桃，则购买盒旧品种水蜜桃，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：（不合题意，舍去）， 即m的值为20； （2）由（1）得新品水蜜桃的价格提高10%， 解：设可以购买x盒新品种水蜜桃，则购买盒旧品种水蜜桃，根据题意得：， 解得：， 答：最多可以购买50盒新品种水蜜桃． 【作业16】．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F， (1)求动力F与动力臂l的函数表达式； (2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？ (3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】实际问题与反比例函数、由反比例函数值求自变量、求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析，解题的关键是理解题意，求出反比例函数解析． （1）根据阻力阻力臂动力动力臂，求出动力F与动力臂l的函数表达式即可； （2）将代入函数解析式，求出l的值即可； （3）根据动力臂为，求出此时需要用的最小动力即可． 【详解】（1）解：∵阻力（石头重量）和阻力臂分别为和， ∴， 即； （2）解：把代入得： ， 解得：， 答：他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头； （3）解：∵动力臂为， ∴若想撬动石头，必须使， 即． 【作业17】．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】 证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】略 【作业18】．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）若是方程的一个根，求这个方程的另一个根及c的值． 【答案】另一个根为, 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解 【分析】将代入方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ 解得： ∴方程为： 即： ∴ 另一个根为 【点睛】本题考查一元二次方程的根及求解一元二次方程．注意计算的准确性． 【作业19】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、相似三角形的判定与性质综合、三角形的外角的定义及性质、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）连接，求出的度数，根据等腰三角形的性质求出的度数，再由三角形外角的性质计算的度数即可； （2）延长交圆于点，在中利用勾股定理求出，设，用将表示出来，证明，根据相似三角形的性质，列出关系式并求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． ，， ， ， ， ， 的度数 （2）延长交圆于点．连接， ， ，， ， 在， 设，则 四边形是圆内接四边形， 又 又 ， ， ，即 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【作业20】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）在锐角中，的对边分别是a、b、c，其外接圆的半径为．（注：当时，都有） (1)【基础探究】 ①如图1，作直径，若，发现的值为___________． ②猜想之间的关系，并证明你的猜想． (2)【拓展应用】 利用（1）②中的结论（说明：此结论对任意三角形都成立）解决下面的问题：如图2，将两个边长为2的正六边形一边完全重合摆放在一起， A、B、C是其中的三个顶点．连接，与正六边形一边交于点．请利用（1）②中的结论计算，并直接写出的外接圆半径． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 由①知，， 在中，， 如图，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即， 如图，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即， ∴． (2)，的外接圆半径为 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、解直角三角形的相关计算、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①连接，推出，在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可求得答案；②由①推出，在中，，同理：，，即可推出结论==； （2）设两个边长为2的正六边形重合一边为，交于点，连接，取中点，过点作，连接交于点，连接交于点，由正六边形的性质得，，易证是等边三角形，证明，求出，证明，求出，，证明三点共线，得到，即可求出，再求出，由（1）②知，即可求出，设的外接圆半径为，则，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， 则， ∵是直径， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8； ② 略 （2）解：如图，设两个边长为2的正六边形重合一边为，交于点，连接，取中点，过点作，连接交于点，连接交于点， 由正六边形的性质得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由正六边形的性质得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）②知，即， ∴， 设的外接圆半径为，则， ∴，即的外接圆半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，圆周角定理，正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线，构造三角形全等与相似、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 复习建议 · 方程过关：四种解法熟练，判别式与韦达定理配套使用 · 综合过关：反比例与一次函数、几何图形联立求交点 · 圆证明过关：垂径、圆周角、切线三条主线要贯通 · 计算过关：弧长扇形圆锥公式记准，割补法求面积 · 压轴过关：把综合题拆成小模型，逐个突破 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练选择恰当方法解一元二次方程，灵活运用判别式讨论根的情况并求参数 · 深化根与系数关系的应用，能在含参方程、代数式求值中整体代换 · 掌握反比例函数与一次函数、几何图形综合题的解法，理解k的几何意义 · 能综合运用垂径定理、圆周角定理解决圆的证明与计算，掌握切线的判定与性质 · 会处理点与圆的最值、正多边形和圆、弧长扇形圆锥等综合压轴计算 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的解法与判别式 四种解法：直接开平方、配方、公式x=、因式分解，按结构择优 判别式Δ=b2-4ac的符号决定实根个数，也是讨论参数取值范围的依据 抛物线与x轴交点个数即对应一元二次方程实根个数，常转化为Δ的问题 含参方程讨论根的情况时，务必先保证二次项系数a≠0 概念辨析例题：若关于x的方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围 答案：k<1且k≠0 解析：由题意k≠0且Δ=4-4k>0，解得k<1，综合得k<1且k≠0 ☆ 2.根与系数的关系及方程应用 韦达定理：x1+x2=-，x1x2=，使用前须Δ≥0 求与两根有关的代数式，先变形为两根和与两根积的组合再整体代入 已知方程的一个根求另一根及参数：代入根或用韦达定理 增长率问题a(1+x)2=b、营销利润问题围绕等量关系列方程并验根 概念辨析例题：方程2x2-4x+1=0的两根为x1、x2，求x12+x22 答案：x12+x22=3 解析：x1+x2=2，x1x2=，原式=(x1+x2)2-2x1x2=4-1=3 ☆ 3.反比例函数的综合应用 y=（k≠0）：k的符号决定象限，|k|=图象上点向坐标轴作垂线围成矩形面积 由增减性、象限分布求参数，注意在每个象限内讨论 与一次函数交点：联立两解析式，交点坐标同时满足两者 与几何图形结合时，用坐标表示线段与面积，注意自变量实际范围 概念辨析例题：反比例函数y=的图象上一点P到两坐标轴的垂线与坐标轴围成面积为3，求k 答案：k=3或k=-3 解析：矩形面积=|k|=3，故k=±3，需结合图象所在象限确定符号 ☆ 4.圆的综合：性质、位置关系与计算 垂径定理+勾股：遇弦作弦心距，构造半径、半弦、弦心距的直角三角形 圆周角=同弧圆心角一半；直径所对圆周角为90°；圆内接四边形对角互补 切线：连半径得垂直；证切线即证半径垂直于直线；切线长定理 弧长l=，扇形S=，圆锥侧面积=πRl，侧面展开扇形弧长=底面周长 概念辨析例题：圆锥底面半径为3，母线长为5，求它的侧面积与侧面展开图圆心角 答案：侧面积15π，圆心角216° 解析：S=π×3×5=15π；底面周长6π=，解得n=216 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 判别式 Δ=b2-4ac 先保证a≠0再用Δ 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 使用前先验Δ≥0 反比例k 矩形面积=|k| 在每个象限内谈增减 垂径定理 垂直弦的直径平分弦及弧 作弦心距用勾股 切线 切线⊥过切点半径 证切线连半径证垂直 弧长扇形圆锥 l=，S侧=πRl 母线R与底面半径r分清 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与解法（第1-5题） · 按方程结构择优：可直接开方就不开方，能因式分解优先 · 公式法是通用法，用前先算Δ · 配方法注意先把二次项系数化为1再配方 1．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）的所有的根的乘积__________． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25九年级上·江苏·阶段检测） 解下列方程： (1)； (2)． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【考点2】根的判别式（第6-11题） · 由Δ符号判根，由根的情况反列不等式 · 含参问题先化一般形式再算Δ · 抛物线与x轴交点个数即方程实根个数 6．（25-26九年级下·江苏常州·期中）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 10．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求m的值． 11．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个负实数根，求m的取值范围． 【考点3】根与系数的关系及方程应用（第12-18题） · 熟记两根和与两根积，整体代换求代数式 · 已知一根求另一根与参数，代入或用韦达 · 增长率、营销问题找准等量关系并验根 12．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为________． 13．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这时容器内剩下的纯药液是28L．假设每次倒出的液体是xL，则其中第二次倒出的纯药液是 ____________________L，列方程为_____． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）若、是方程的两根，则____________． 16．（25-26八年级下·北京·期末）设m，n是方程的两实数根，则______． 17．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【考点4】反比例函数的概念、图象与性质（第19-21题） · 由k符号定象限，由象限或增减性反求k · 比较函数值要注意是否在同一分支上 · 用待定系数法代入一点求k 19．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 20．（24-25九年级上·江西上饶·期末）下列式子中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【考点5】反比例函数综合与实际应用（第22-29题） · 与一次函数交点联立求解，坐标即公共解 · k的几何意义：矩形、三角形面积与|k|挂钩 · 实际问题注意自变量取值范围与图象信息 22．（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 23．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 25．（2024·湖南郴州·模拟预测）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 26．（2024·广东河源·一模）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当时，，则当时，R的值是 _______． 27．（2025·江苏苏州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______．    28．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”． 【概念辨析】 （1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为， ，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽． 请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1） 我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号） 29．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【考点6】圆的基本性质（第30-42题） · 遇弦作弦心距，垂径定理+勾股求线段 · 圆周角与圆心角相互转化，注意同弧等弧 · 圆内接四边形对角互补，见直径构造直角 30．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．垂直于弦的直径平分弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆内接四边形的对角相等 31．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（  ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，四边形内接于．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 33．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，将两个正方形如图放置（，，共线，，，共线），若，，点在线段上， 以为半径作，点，点都在上， 则的长是（       ） A． B． C． D． 34．（22-23九年级上·江苏常州·阶段检测）下列命题是真命题的是（    ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径 D．半径相等的半圆是等弧 35．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）在半径为2的中，弦的长度为2，点C为上异于A、B两点的一个动点，则____． 36．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，的直径，是的弦，于点E，，则的长为______．    37．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 38．（23-24九年级上·吉林·期中）已知中最长的弦长为，则的半径为_______________． 39．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点，，都在上，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求的度数． 40．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于E，若，求的度数． 41．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【考点7】与圆有关的位置关系（第43-53题） · 证切线：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径 · 切线长定理与勾股联用求线段 · 点与圆最值、外接圆问题转化为圆心距与半径关系 43．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，是的切线，B为切点，与交于点D，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级上·河北唐山·期末）若的半径为5，圆心的坐标为，则平面直角坐标系的原点与的位置关系是（    ） A．在内 B．在外 C．在上 D．无法确定 45．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 47．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 48．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则______．    49．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知的半径为2，P是外一点，，点A、B在上，且满足，则线段的取值范围是_________． 50．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 51．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，连接并延长交于点E． (1)尺规作图：作的切线，交的延长线于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)问：是等腰三角形吗？为什么？ 52．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 53．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材 2中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行． 【考点8】正多边形和圆（第54-57题） · 构造半径、边心距、边长一半的直角三角形 · 内角、中心角、边长用直角三角形计算 · 不规则阴影面积用割补转化 54．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 55．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 56．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在半径为的中作一个正六边形．则此正六边形的面积为（） A． B． C． D． 57．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，得到，则图中阴影部分的面积为_____． 【考点9】弧长、扇形与圆锥（第58-60题） · 弧长、扇形面积公式直接代入 · 圆锥侧面展开：扇形弧长=底面圆周长 · 母线、底面半径、高构成直角三角形 58．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）若圆锥底面圆的半径2，母线长是5，则该圆锥侧面的面积为______． 59．（23-24九年级下·广东云浮·期中）若圆锥底面圆的半径是，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角度数为____________． 60．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 💯 课后巩固 【作业1】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，的周长为，正六边形内接于．则 的面积为（     ） A．1 B． C． D． 【作业2】．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25九年级上·广西柳州·期末）已知的半径为3，，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 【作业4】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【作业6】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 【作业7】．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【作业8】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【作业9】．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，轴于点，则的值________． 【作业10】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为______． 【作业11】．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）一元二次方程的两个根分别是a和b，则______． 【作业12】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是_____． 【作业13】．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点E在上，连接，若，则________． 【作业14】．（24-25九年级上·江苏常州·阶段检测）如果关于的一元二次方程有相等的实数根，那么的值是__________． 【作业15】．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）十年树一桃，新品种破解“甜蜜密码”．经过近十年研发，无锡阳山的果林里成功培育出了新品种桃树，新品种的水蜜桃抗病性提高，将提升水蜜桃产量及成果率． (1)据测算，新品种水蜜桃的产量将比旧品种提高m%，因研发成本提高，故果农也将把每颗水蜜桃的价格提高%．此时新品种水蜜桃的总价（产量×每颗价格）将比旧品种的总价提高32%．求m的值． (2)在（1）的条件下，某水果店计划批发新、旧品种的水蜜桃共100盒，每盒水蜜桃均装有8颗桃子，已知旧品种的水蜜桃每颗8元，在总费用不超过6720元的情况下，最多可以购买多少盒新品种水蜜桃？ 【作业16】．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和，设动力臂为l，动力为F， (1)求动力F与动力臂l的函数表达式； (2)若小明只有的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头？ (3)现有动力臂为的撬棍，若想撬动石头，直接写出动力F满足的条件． 【作业17】．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【作业18】．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）若是方程的一个根，求这个方程的另一个根及c的值． 【作业19】．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【作业20】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）在锐角中，的对边分别是a、b、c，其外接圆的半径为．（注：当时，都有） (1)【基础探究】 ①如图1，作直径，若，发现的值为___________． ②猜想之间的关系，并证明你的猜想． (2)【拓展应用】 利用（1）②中的结论（说明：此结论对任意三角形都成立）解决下面的问题：如图2，将两个边长为2的正六边形一边完全重合摆放在一起， A、B、C是其中的三个顶点．连接，与正六边形一边交于点．请利用（1）②中的结论计算，并直接写出的外接圆半径． 复习建议 · 方程过关：四种解法熟练，判别式与韦达定理配套使用 · 综合过关：反比例与一次函数、几何图形联立求交点 · 圆证明过关：垂径、圆周角、切线三条主线要贯通 · 计算过关：弧长扇形圆锥公式记准，割补法求面积 · 压轴过关：把综合题拆成小模型，逐个突破 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $