第四单元 圆（复习课件）数学人教版六年级上册（新教材）

单元复习课件 小学数学·六年级上册·人教版·新教材 第四单元：圆 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 单元知识框架 知识点1： 圆和扇形的认识 1 圆和扇形的认识 1．圆的认识 （1）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径， 一般用字母r表示。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径， 一般用字母d表示。 知识点梳理 （4）圆的特征 ①圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。 ②在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。d＝2r，或r＝d。 （5）用圆规画圆的方法 ①先把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离； ②再把带有针尖的一只脚固定在一点上； ③然后把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 知识点梳理 2．扇形的认识 （1）弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 （2）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 （4）扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 知识点梳理 【易错点】 （1）同一圆内“半径与直径的关系”不适用不同圆：d=2r仅在“同一个圆或等圆”中成立，若两个圆大小不同（半径不同），则直径与半径的2倍关系不成立。 （2）圆的对称轴是“直径所在的直线”，且对称轴有无数条。 （3）扇形的“构成条件”：扇形必须同时满足“由两条半径和一条弧围成”且“两条半径的顶点在圆心”两个条件，缺一不可。 知识点梳理 【典型例题】小军在整理玩具时，找到了一个 直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形 塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板 从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为（ ）厘米。 考点01：圆和扇形的认识 2.4 只要直角三角形最短的高比空心圆孔的直径小，那么直角三角形塑料片就能从空心圆孔中穿过去。最短的高是斜边上的高。 直角三角形的面积为4×3÷2＝6（平方厘米） 由三角形的面积求斜边上的高，高＝三角形的面积×2÷底 6×2÷5＝2.4（厘米） 重难点题型精讲 【练习1】在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（ ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” 题干中“圆心到圆上的距离一样长”指的是圆的半径长度都相等。 A．“没有规矩不成方圆”是指画圆需要圆规，画方需要直尺，强调做事需要遵循规则，没有描述圆的半径特征，此选项错误； B．“径一而周三”是指圆的周长大约是直径的 倍，反映的是圆周率的早期认识，此选项错误； 重难点题型精讲 【练习1】在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（ ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” C．“圆一中同长也”出自《墨经》，“一中”表示有一个中心（圆心），“同长”表示从中心到周边的距离相等（半径相等），符合题意，此选项正确； D．“圆出于方，方出于矩”是指圆可以从正方形切割而来，正方形可以用矩尺画出来，描述的是图形的形成，此选项错误。 C 重难点题型精讲 【练习2】用圆规画一个直径20cm的圆，圆规两脚间的距离应是（ ）cm。 圆规两脚间的距离就是圆的半径；根据“半径＝直径÷2”用20除以2即可计算圆规两脚间的距离。 20÷2＝10（cm） 用圆规画一个直径20cm的圆，圆规两脚间的距离应是10cm。 10 重难点题型精讲 知识点2： 圆的周长 2 圆的周长 1．圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。一般用字母C表示。 2．测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。 3．圆周率：圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。一般用字母π表示。在计算时，一般保留两位小数，即π≈3.14。 4．圆的周长： C=πd ，或C=2πr 。 5．半圆的周长： ，或。 6．圆周长的一半： 。 知识点梳理 【易错点】 （1）圆周率（π）的取值规范：计算时需按题目要求取π的值（如题目未说明，默认取3.14），且π是比值，无单位，不能说“π=3.14cm”。 （2）公式的灵活运用：已知半径求周长时，需先算“2r”再乘π（即C=2πr），避免漏乘2；已知周长求半径时，需先除以π再除以2，避免顺序颠倒。 知识点梳理 【典型例题】如图，AB＝BC＝CD＝8cm，∠B和∠C都是直 角。一个半径为2cm的圆片从点A出发，沿A－B－C－D的 路径平滑地滚动到点D，圆心走过的路径长度是（ ）cm。 A．24 B．24＋π C．20＋π D．18＋π 考点02：圆的周长 圆心走过的路径长度分成4段，首先圆心走过线段AB，然后圆心从B点的正上方到B点的正右方，走过半径是2cm的圆周长的（圆周长＝2πr），再走过一段（BC－2）距离，最后圆心到D点，经过（DC－2）距离。 重难点题型精讲 【典型例题】如图，AB＝BC＝CD＝8cm，∠B和∠C都是直 角。一个半径为2cm的圆片从点A出发，沿A－B－C－D的 路径平滑地滚动到点D，圆心走过的路径长度是（ ）cm。 A．24 B．24＋π C．20＋π D．18＋π 考点02：圆的周长 8＋×2π×2＋（8－2）＋（8－2） ＝8＋π＋6＋6 ＝（20＋π）cm 圆心走过的路径长度是（20＋π）cm。 C 重难点题型精讲 【练习1】一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，它的周长增加了（ ）厘米。 A．2π B．4π C．6π D．8π 根据圆的周长公式 ，分别算出半径变化前后的周长，再利用减法求出周长增加了多少厘米。 原来的周长：2π×3＝6π（厘米） 现在的周长：2π×5＝10π（厘米） 增加的周长：10π－6π＝4π（厘米） B 变式巩固练习 【练习2】探测车车轮的外圆直径是50厘米。如果火星表面有一个圆形陨石坑，直径为10米，探测车绕坑一周车轮需要转动多少圈？（π取3.14） 【分析】分别求出车轮的外圆周长和陨石坑的周长，再用陨石坑的周长除以车轮的外圆周长。注意要先统一单位。 【详解】50厘米＝0.5米 （3.14×10）÷（3.14×0.5） ＝31.4÷1.57 ＝20（圈） 答：探测车绕坑一周车轮需要转动20圈。 变式巩固练习 【典型例题】在长5厘米，宽3厘米的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）厘米。 A．9.42 B．18.84 C．14.42 D．12.85 要在长方形中画一个最大的半圆，需考虑半圆的直径落在长方形的长或宽上。若以长5厘米为直径，半径为2.5厘米，所需宽度为2.5厘米，小于实际宽3厘米，符合条件；若以宽3厘米为直径，半圆较小。因此最大半圆的直径为5厘米。半圆的周长等于圆周长的一半加上直径。 考点03：半圆的周长 重难点题型精讲 【典型例题】在长5厘米，宽3厘米的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）厘米。 A．9.42 B．18.84 C．14.42 D．12.85 所画半圆的直径是5厘米。 3.14×5÷2+5 =15.7÷2+5 =7.85+5 =12.85（厘米） 这个半圆的周长是12.85厘米。 考点03：半圆的周长 D 重难点题型精讲 【练习1】如图：赛车甲、乙分别按两种路线进行比赛，则下列正确的是（ ）。 A．赛车甲走的路程长，比赛不公平 B．赛车乙走的路程长，比赛不公平 C．赛车甲、乙走的路程相同 把大半圆直径看作三个小半圆直径之和，分别计算两条路线的弧长，会发现两段路程长度相等，因此比赛公平。 假设三个小半圆的直径分别是4、2、2，那么大半圆的直径就是4＋2＋2＝8。 变式巩固练习 【练习1】如图：赛车甲、乙分别按两种路线进行比赛，则下列正确的是（ ）。 A．赛车甲走的路程长，比赛不公平 B．赛车乙走的路程长，比赛不公平 C．赛车甲、乙走的路程相同 计算赛车甲的路程：三个小半圆的弧长分别是：π×4÷2＝2π，π×2÷2＝π，π×2÷2＝π 总路程：2π＋π＋π＝4π 计算赛车乙的路程：大半圆的弧长：π×8÷2＝4π 比较：两者路程相等，对应选项C。 C 变式巩固练习 【练习2】如图所示，张爷爷开辟了一块半圆形菜地（一面靠墙），它的直径是8m，如果用篱笆将菜地围起来，至少需要（ ）米长的篱笆。 如图，张爷爷的篱笆围起来的菜地是半圆形，因为靠墙，所以篱笆的长度是圆周长的一半，因此根据圆的周长＝π×直径，先求出圆的周长，再用周长÷2即可。 3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 12.56 变式巩固练习 知识点3： 圆的面积 3 圆的面积 1．圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2．圆的面积公式的推导： 把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。 拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 知识点梳理 3．圆的面积计算公式：S= 4．半圆的面积： 5．圆环： （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。 （2）计算公式： ，或 。 知识点梳理 【易错点】 圆环面积的计算关键：计算圆环面积时，需先明确“外圆半径（R）” 和“内圆半径（r）”，不能用“外圆直径减内圆直径”再算半径；且公式π（R2−r2）需先算“R²-r²”，再乘π，避免先“R-r”再平方。 知识点梳理 【典型例题】如图，把一个直径8厘米的圆形硬纸片放 在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出 长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不能接触到的面积是（ ）平方厘米。 当圆移动到一个直角处时，不能接触到的面积是以圆的半径为边长的正方形的面积减去圆面积的，算出一个直角处不能接触到的面积，再乘4即可。 正方形的面积＝边长×边长 圆的面积S＝πr2。 考点04：圆的面积 重难点题型精讲 【典型例题】如图，把一个直径8厘米的圆形硬纸片放 在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出 长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不能接触到的面积是（ ）平方厘米。 8÷2＝4（厘米） （4×4－3.14×42×）×4 ＝（16－12.56）×4 ＝3.44×4 ＝13.76（平方厘米） 考点04：圆的面积 13.76 重难点题型精讲 【练习1】圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（ ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 减少的面积是半径为4cm的圆面积减去半径为3cm的圆面积，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），π取3.14，代入数值即可。 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 圆的面积减少了21.98cm2。 A 变式巩固练习 【练习2】公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【分析】喷头旋转一周喷水形成一个圆形，最远喷水距离是圆的半径。求喷水面积就是求圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径2。 【详解】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：最大的喷水面积是200.96平方米。 变式巩固练习 【典型例题】安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 考点05：圆环的面积 【分析】求红色油漆的面积，就是求圆环的面积；根据半径＝直径÷2，据此求出指示牌的半径； 再用指示牌的半径－油漆圈的宽度，求出小圆的半径，即不刷红色油漆的面积，根据圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2）解答，注意单位换算。 重难点题型精讲 【典型例题】安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 考点05：圆环的面积 【详解】120÷2＝60（厘米） 60－20＝40（厘米） 3.14×（602－402） ＝3.14×2000 ＝6280（平方厘米）＝0.628平方米 答：红色油漆的面积是0.628平方米。 重难点题型精讲 【练习1】游乐园中有一个半径6米的圆形喷水池，周围有一条2米宽的环形小路（如下图）。求这条环形小路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 【分析】小圆半径为6米，大圆半径为小圆半径加小路的宽，小路为环形，用大圆的面积－小圆的面积，圆的面积公式：S＝πr2，可以求得小路的面积。 【详解】6＋2＝8（米） 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 变式巩固练习 【练习1】游乐园中有一个半径6米的圆形喷水池，周围有一条2米宽的环形小路（如下图）。求这条环形小路的占地面积是多少平方米？（π取3.14） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 200.96－113.04＝87.92（平方米） 答：这条环形小路的占地面积是87.92平方米。 变式巩固练习 【练习2】如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为3－2＝1分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式S＝πr2，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 变式巩固练习 【练习2】如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 【详解】3－2＝1（分米） ×3.14×32－×3.14×12 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝12.56（平方分米） 答：至少需要真丝面料（涂色部分）12.56平方分米。 变式巩固练习 【典型例题】如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 考点06：求最大面积 【分析】通过观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 重难点题型精讲 【典型例题】如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 考点06：求最大面积 【详解】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 答：这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 重难点题型精讲 【练习1】从一个长14分米、宽4分米的长方形木板上锯下面积最大的圆，这样的圆最多有（ ）个，将圆全部锯掉后，剩下木板的面积是（ ）平方分米。 在长方形中锯最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。用长方形的长除以圆的直径，即14÷4＝3（个）……2（分米），长方形的长能容纳3个圆的直径，因为宽只能容纳1个圆的直径，所以总个数就是长能容纳的数量3个。 根据公式：长方形的面积＝长×宽、圆的面积S＝π（d÷2）2，求出长方形的面积和最大圆的面积；最后用长方形的面积减去3个最大圆的面积，即可求出剩下木板的面积。 3 变式巩固练习 【练习1】从一个长14分米、宽4分米的长方形木板上锯下面积最大的圆，这样的圆最多有（ ）个，将圆全部锯掉后，剩下木板的面积是（ ）平方分米。 14×4－3.14×（4÷2）2×3 ＝14×4－3.14×22×3 ＝14×4－3.14×4×3 ＝56－37.68 ＝18.32（平方分米） 3 18.32 变式巩固练习 【练习2】如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 面积最大的三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积即可。 4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 所以这个三角形的面积是4平方厘米。 4 变式巩固练习 【典型例题】中国建筑中经常见到“外方内圆”与“外 圆内方”的设计，其中蕴含着为人处世的朴素道理。如 果图①中外面正方形的面积是64 ，则内圆的面积是（ ） ；如果图②中外圆的面积是28.26 ，则圆内大正方形的面积是（ ） 。 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 图①外面正方形的边长等于内圆的直径，根据64＝8×8可知外面正方形的边长是8，则内圆的直径为8。 内圆面积：3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝50.24（dm²） 50.24 重难点题型精讲 【典型例题】中国建筑中经常见到“外方内圆”与“外 圆内方”的设计，其中蕴含着为人处世的朴素道理。如 果图①中外面正方形的面积是64 ，则内圆的面积是（ ） ；如果图②中外圆的面积是28.26 ，则圆内大正方形的面积是（ ） 。 考点07：方中圆和圆中方的面积问题 图②圆内正方形的对角线等于外圆的直径，先用外圆的面积除以π求出r²＝28.26÷3.14＝9； 对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形。 圆内正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r²＝2×9＝18 50.24 18 重难点题型精讲 【练习】“外圆内方”形状的窗户是我国古建筑设计中常见的设计。如图中外圆的半径是3分米，则圆内最大正方形的面积是（ ）平方分米。 如图，可以将圆内最大的正方形分割成两个相等的三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径。圆的直径为3×2=6（分米），最后用三角形的面积＝底×高÷2解答。 6×3÷2 =18÷2 =9（平方分米） 9×2=18（平方分米） 18 变式巩固练习 知识点4： 含圆的组合图形的周长与面积 4 含圆的组合图形的周长与面积 1．周长计算 （1）拆分图形：识别组合图形中的直线部分和曲线部分（曲线部分多为圆或半圆的周长）。 （2）计算各部分长度：直线部分求和，曲线部分按圆/半圆周长公式计算。 （3）总周长=直线部分长度+曲线部分长度 （注意：组合图形中重合的边不算周长）。 知识点梳理 2．面积计算 （1）拆分或补全：将组合图形拆为基础图形，或补全为完整图形。 （2）计算各基础图形面积。 （3）总面积=各基础图形面积的和/差。 知识点梳理 【易错点】 （1）周长计算不遗漏曲线部分。 （2）面积计算不重复/漏算。 （3）统一单位：所有基础图形的边长、半径单位需一致，避免混合单位计算导致结果错误。 知识点梳理 【典型例题】在一个边长为8厘米的正方形中画一条对角线、一个半圆和一个四分之一圆（如图所示），阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 由图可知，①和②的形状相同，面积相等，③和④的形状相同，面积相等，则①＋③＋⑤＝②＋④＋⑤，②④⑤面积的和等于三角形BCE的面积，三角形BCE的面积等于正方形ABCD面积的，所以阴影部分的面积等于正方形面积的。 考点08：含圆的组合图形的周长与面积 重难点题型精讲 【典型例题】在一个边长为8厘米的正方形中画一条对角线、一个半圆和一个四分之一圆（如图所示），阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 8×8× ＝64× ＝16（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是16平方厘米。 考点08：含圆的组合图形的周长与面积 16 重难点题型精讲 【练习1】如果图A与图B是两个等大的圆，那么图A和图B的涂色部分的周长和面积相比较，它们的 （ ）。 A．周长、面积都相等 B．面积、周长都不相等 C．周长相等、面积不相等 D．面积相等、周长不相等 观察图形可知，图A的阴影部分周长为大圆的周长÷2＋小圆的周长×2，阴影部分的面积＝大圆的面积÷2。 设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r。 图A的周长为2πr×2＋2π（2r）÷2＝4πr＋2πr＝6πr， 面积为π（2r）2÷2＝4πr2÷2＝2πr2。 重难点题型精讲 【练习1】如果图A与图B是两个等大的圆，那么图A和图B的涂色部分的周长和面积相比较，它们的 （ ）。 A．周长、面积都相等 B．面积、周长都不相等 C．周长相等、面积不相等 D．面积相等、周长不相等 图B的阴影部分周长为大圆的周长÷2＋小圆的周长×2，阴影部分的面积＝大圆的面积÷2。 设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r。 图B的周长为2πr×2＋2π（2r）÷2＝4πr＋2πr＝6πr， 面积为π（2r）2÷2＝4πr2÷2＝2πr2。 所以图A和图B的周长、面积都相等。 A 重难点题型精讲 【练习2】求阴影部分的面积（单位：cm）。 【分析】用割补法将不规则图形转化为规则的几何图形进行计算。将右侧的弓形割补到左侧，正好拼成一个直角梯形， 【详解】上底：12－5＝7（cm） 面积：（12＋7）×5÷2 ＝19×5÷2 ＝47.5（cm²） 重难点题型精讲 启发思维 快乐学习 $