第1章·三角形·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第1章·三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握三角形高、中线、角平分线的概念，会用中线性质求三角形面积 · 灵活运用三边关系确定第三边范围，熟练解决等腰三角形分类讨论问题 · 掌握全等三角形五种判定方法，能在复杂图形中规范寻找条件完成证明 · 掌握角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，会作常见辅助线 · 能解决旋转、折叠、动点、最短路径等三角形综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的重要线段与面积 三角形的高：从顶点向对边（或延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段；钝角三角形有两条高在外部 三角形的中线：顶点与对边中点的连线，中线把三角形分成面积相等的两部分 三角形的角平分线：内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 等底等高的三角形面积相等，中线、角平分线上的点常用来转化高 概念辨析例题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为20，求△ABD的面积。 答案：△ABD的面积为10 解析：AD是中线，则BD=DC，△ABD与△ADC等底同高、面积相等，故△ABD的面积为20÷2=10。 ☆ 2.三边关系与等腰三角形 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 已知两边a、b，第三边c满足|a-b|<c<a+b；求整数解时常结合不等式 等腰三角形分腰与底两类讨论，求出后必须用三边关系检验能否构成三角形 格点中画等腰三角形：分别以已知线段为底、为腰分类计数，避免重复或遗漏 概念辨析例题：等腰三角形两边长为4和9，求它的周长。 答案：周长为22 解析：若4为腰，则三边4、4、9，4+4<9不能构成三角形；若9为腰，则三边9、9、4，能构成，周长为9+9+4=22。 ☆ 3.全等三角形的判定与性质 全等三角形对应边相等、对应角相等，是证明线段或角相等的主要手段 判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL；SAS中的角必须是夹角 找条件时先挖隐含条件：公共边、公共角、对顶角、平行线带来的角相等 证明思路：要证的边（角）所在的两个三角形是否全等，缺什么条件就证什么 概念辨析例题：如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D。 答案：可由SSS证△ABC≌△ADC，得∠B=∠D 解析：连接AC，在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS得两三角形全等，故对应角∠B=∠D。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反之亦然 见到角平分线常向两边作垂线；见到垂直平分线常连接端点得到等线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），三边垂直平分线交于一点（外心） 概念辨析例题：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若D到AB的距离为3，求CD的长。 答案：CD=3 解析：AD是角平分线，DC⊥AC，D到AB的垂线段为距离，由角平分线性质得CD等于D到AB的距离，即CD=3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形的中线 顶点与对边中点的线段 平分三角形面积 三边关系 |a-b|<c<a+b 较短两边之和大于最长边 等腰三角形 等边对等角，分类讨论 求出后检验能否构成三角形 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL SAS的角必须是夹角 角平分线 到角两边距离相等 常向两边作垂线 垂直平分线 到线段两端距离相等 常连接端点得等线段 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的重要线段与面积（第1-3题） · 中线把三角形分成面积相等的两部分，面积问题常先找中点 · 角平分线上的点到两边距离相等，可把高转化为线段长 · 遇垂线、最短距离问题联想垂线段最短 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是一个正在修建的公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、根据三角形中线求面积 【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．取的中点E，连接，则为边上的中线，，当点H在上，连接，则，推导出，由点H到、的距离相等，可知点H在的角平分线上，所以凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则为边上的中线， ∵， ∴， 当点H在上，连接，则， ∴， ∴， ∵点H到的距离相等， ∴点H在的角平分线上， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为6，则的面积为______． 【答案】18 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．连接，利用D、E是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别是的中点， ， ，， ，， ， ∵四边形的面积为6， ， ， ， ， 故答案为：18． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【考点2】三边关系与格点等腰三角形（第4-6题） · 判断能否构成三角形：较短两边之和大于最长边 · 已知两边求第三边范围用|a-b|<c<a+b，求整数解结合不等式 · 格点等腰三角形以已知边为底、为腰分别计数 4．（25-26七年级上·广东广州·开学考试）一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形三边关系，分类讨论，是解题的关键． 根据等腰三角形两边之比为，设等腰三角形两边长为，（），若腰为，底边为，此时无法构成三角形．若腰为，底边为，可以构成三角形．此时三边为、、，当底边时，三角形周长为．当腰时， 周长为，即得． 【详解】解：∵等腰三角形两边之比为， ∴设等腰三角形两边长为，（）， 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴无法构成三角形，三角形不存在． 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴可以构成三角形． 当底边时，． 腰长为． ∴此时三角形周长为． 当腰时，， 底边长为， ∴此时周长为． ∴这个等腰三角形的周长最大可以是 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个． 故选：C． 6．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为__________（填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为__________． 【答案】 ① 10或12或13或14 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、求一元一次不等式的整数解 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解． 【详解】：（1）①， ∴能组成“不均衡三角形”； ②， ∴不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当16为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， ， 经检验，当时，可构成三角形； ③当为最长边，16为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， 或或，都可以构成三角形； 综上所述，的整数值为或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【考点3】全等三角形的判定与基本证明（第7-12题） · 先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件，再选判定方法 · 添加条件题：从已知出发补齐一种判定，注意SSA不能判定 · 要证线段（角）相等，先看它们分别在哪两个三角形中 7．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或， 故选：D． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故正确，符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有共3个， 故选：． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 【答案】(1) 解：，， ， ． 平分， ． 在和中， ， ． (2) 解：如图，过点分别作于点，的延长线于点． ，， ． 同（1）可知，． 又， 在和中， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）先证明，再通过证明即可证明结论； （2）过点分别作于点，的延长线于点．由同角的补角可得．同（1）可知，，再通过证明即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 10．（22-23八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； (3)3 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴______ ∴______ 又∵， ∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    【答案】探究发现：；；； 类比探究： 证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．    ∵平分， ∴． ∴，， ∴； 拓展应用： 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】探究发现：根据题干中的解题思路求解即可； 类比探究：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【详解】探究发现：略 类比探究：略 拓展应用： 在上取点G，使得，连接，    ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，则，， 由（1）知， 即． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意、正确添加辅助线、熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 【考点4】角平分线的性质与判定综合（第13-16题） · 角平分线上的点向两边作垂线，得到两条相等的垂线段 · 面积法：用角平分线性质转化高，结合面积公式求线段 · 平行线+角平分线常推出等腰三角形 13．（20-21八年级下·江苏南通·开学考试）如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ）    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键，①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，①②③④均正确， 故选：A． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】(1) ①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②1 (2)①； ② (3)2或6． 【知识点】线段垂直平分线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）①略 ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 【答案】(1)①；60；② (2)①60； ②当发生变化时，的度数不变；理由如下： 连接，如图所示： 当发生改变时，同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）①证明，得出，，，根据，得出； ②过点A作于点M，于点N，根据，，得出，证明，即可得出答案； （2）①连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出； ②连接，当发生变化时，同理可证明，得出，，证明为等边三角形，得出； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，得出，求出，，根据，即可得出． 【详解】（1）解：①∵利都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴； ②过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的角平分线上， ∴； （2）解：①连接，如图所示： ∵H，G分别是，的中点， ∴，， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②略 （3）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)③④⑤ (2) 证明：在筝形中，， 同（1）得：， ∴， 依题意知：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是筝形． (3)或 【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可； （2）根据“筝形”的性质同（1）得∶得出，由角平分线的性质定理得出，再通过证明可得，再结合运用“筝形”即可证明结论； （3）分“筝形”两种情况，分别根据“筝形”的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵“筝形”， ∴①不一定成立；②不一定成立；故①②都是错误的； ∵， ∴垂直平分，故③是正确的； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分和，即④正确； ∵， ∴，故⑤是正确的． 故答案为：③④⑤． （2）略； （3）解：分两种情况∶ ①如图：当四边形是筝形且时， ∴； ②如图：当四边形是筝形时且时， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识以及掌握分类讨论是解题的关键． 【考点5】线段垂直平分线与折叠（第17-19题） · 垂直平分线上的点到两端距离相等，连接端点转化线段 · 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，设未知数列方程 · 与三线合一结合时，注意等腰三角形底边的高与中线重合 17．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得：（）， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短（）， 故答案为：8． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图中，，，为边的中点，点和点分别为边和上的动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】过点C作于点G，过点D作于点H，连接，，，，，，证明，得出，证明，得出，根据两点之间线段最短，得出当F、H、B三点共线时，最小，即最小，且最小值为，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点C作于点G，过点D作于点H，连接，，，，，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当F、H、B三点共线时，最小，即最小，且最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 19．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 依题意，补全图形如图所示： (2) (3) 解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）略 【考点6】等腰、等边与含30°直角三角形（第20-25题） · 等边对等角、等角对等边，等腰问题常作底边上的高 · 含30°角的直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半 · 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是求线段长的常用结论 20．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、对顶角相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    21．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由可证明是等边三角形，故可判定①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，由多边形内角和定理求出，由直角三角形的性质即可得出，故可判定②； 由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；证明，，可得到，故可判断④． 【详解】解：, 是等边三角形， 故结论①正确； , , ,, , , , 故结论②正确； 是等边三角形，， 垂直平分, , 故结论③错误； 如图，延长到，使，连接， , , , 在和中, , ,, , , 在和中, , , , 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角的直角三角形，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为________ 【答案】秒或秒或秒 【知识点】三线合一、几何问题(一元一次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，根据勾股定理得出，根据题意得，然后分为底和腰两种情况讨论即可．解题的关键是掌握勾股定理及等腰三角形的性质． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒， ∴， ①当为底边时， ∵是等腰三角形， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（秒）； ②当为腰时， 如图， 当时，得：（秒）； 当时， ∵， ∴， ∴（秒）； 综上所述，的值为秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 23．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，D是上的一点，连接，在的延长线上取一点E，使得，若，，当是等边三角形时，则的长是______． 【答案】13 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点C作于点F，构造出含有角的直角三角形，算出的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作于点F， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：13． 24．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿射线AC方向以每秒2个单位长度的速度运动，连接BD，则当是等腰三角形时，运动时间为________s． 【答案】5，6或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题需要先利用勾股定理求出的长度，然后分三种情况讨论为等腰三角形时的运动时间，分别是． 【详解】在中，， 根据勾股定理， 设运动时间为秒，则， ①当时：， 解得； ②当时： ， ， 则，即， 解得； ③当时：， 在中，根据勾股定理， 即， 展开得， 移项化简得， 解得． 综上所述：则当是等腰三角形时，运动时间为，或s． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，掌握分情况讨论，结合勾股定理求解运动时间是解题的关键． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数； （4）拓展探究：如图④，以等腰的腰为直角边作，且， ，连接，求的最大值． 【答案】（1）①；②； （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）； （4） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①由可证，根据全等三角形的性质求出的度数； ②根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段、、之间的数量关系； （3）根据解答即可； （4）过C作，且，取的中点F，连接，，，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，勾股定理求出，当A、F、E三点共线时，最大，即最大，的最大值为． 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②由①得， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）∵和都是等腰三角形，， ∴，，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）如图，过C作，且，取的中点F，连接，，，则， ∵为等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，点F为的中点，， ∴，， 又∵， ∴当A、F、E三点共线时，最大，即最大， ∴的最大值为． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【考点7】旋转与全等综合模型（第26-34题） · 旋转不改变图形形状大小，旋转前后对应边、对应角相等 · 旋转后常出现新的全等三角形，注意旋转角与等腰三角形的联系 · 等边三角形、正方形背景下的旋转常与全等、勾股结合考查 26．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：； ； ； ，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得，判断②；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得，判断③；连接，根据旋转的性质，可得，，根据等边三角形的判定和性质，可得是等边三角形，，根据三角形三边的关系，可得，进行判断④即可． 【详解】解：由旋转性质可知，，旋转角 ． ∴， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴，故①正确． ∵， ∴ ． ∵是的延长线， ∴，故②正确． 如图，连接， ∵，，且由旋转， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴ ∵ ∴（） ． ∴，故③正确． 连接， 由旋转可得：，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ④错误． 综上，正确的是①②③ ． 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系． 27．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， 由旋转性质得，， ， ∵三角形是等边三角形，是等边的高线， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时最短， ，， ∴在中，， ∴线段长度的最小值是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，根据旋转的性质得是等边三角形，得，根据等边三角形的性质得，，证明，得，继而得到，当点在上时取“”，此时取得最大值，即可得出结论．确定是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接、， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 当点在上时取“”，此时取得最大值， ∴的最大值为． 故选：C． 29．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为______． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形全等的判定和性质等知识，连接，，先证明，得到，根据三角形三边关系的应用得到，当点在上时，最大为，然后利用勾股定理求出长，即可得到答案． 【详解】如图，连接，， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴当点在上时，的长最大为，此时， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， 故答案为：． 30．（2022八年级·江苏无锡·竞赛）如图，在中，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，，，连接，若，则的度数为________°． 【答案】/30度 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】连接，由旋转的性质可得，可证为等边三角形，由“”可证，可得，由角的数量关系和等腰三角形的性质可求，再由三角形内角和可求解． 【详解】解：连接与交于点 ∵线段绕逆时针旋转得到线段， 则， ∴为等边三角形， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) 解：．理由如下， ∵， ∴． 由旋转得，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴． 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）由旋转得，，可得，可证明，即可得； （2）由题意得，．证明，可得，，则．在中，由勾股定理得，，即． 【详解】（1）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 33．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴点，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 34．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】 （1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）4． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、根据平行线的性质探究角的关系、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 【考点8】勾股定理与动点、最短路径压轴综合（第35-45题） · 压轴题中先在图中找出直角三角形，用a2+b2=c2列方程 · 动点问题用含未知数的式子表示线段长，抓住等量关系建立方程 · 最短路径问题通过作对称或展开图形，把折线转化为两点间线段 · 倍长中线、垂线模型等辅助线把分散条件集中到全等三角形中 35．（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）如图，在等腰中，，，边上有一点，连接，将沿翻折得到，连接，若平分，则点到的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】过点C作于点F，由折叠的性质得出，，设，则，求出，则，再由勾股定理解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点C作于点F， ∵平分， ∴， 又∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 36．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 37．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，延长，交的延长线于，由可证，可得，，由可证，可得，，可证，由勾股定理可得，即可求解．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长，交的延长线于， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 已知的长， 可求的长， 故选：A． 38．（24-25八年级上·江苏常州·期末）定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键是正确分类讨论． 根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：∵点，点、在轴上 ∴当时，点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∵是等边三角形，，点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图所示，过点P作于点D 当时， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴此时动点与等边的“点图距” ∴当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴ ∴； 当时，动点与等边的“点图距”为的长度 ∴ 综上所述，． 故选：B． 39．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，的角平分线，相交于点，则四边形的面积为___________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 由题意作于于于于，连接，并根据题意分别求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于于于于，连接， 在中 ， ， ∵平分，平分， 点是的内心， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设， 在中 ， ， ， 同法可求：， ． 40．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】10 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 41．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 42．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止，若点、点同时出发，当点到达终点时，点也停止运动，设点运动的时间为（秒）． (1)连结，当将的面积二等分时，求的值； (2)用含的代数式表示的长； (3)当时，求的面积； (4)当所在的直线与的某一边平行或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，合理的分类讨论是解决问题的关键． （1）根据当将的面积二等分，知，列方程求解即可； （2）根据P在B点左、右两侧进行分类讨论； （3）根据列方程求出t的值，进而可得长度，则面积可求，注意要根据P在B点左、右两侧进行分类讨论； （4）分四类，，，进行讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 当将的面积二等分时， ， ， ； （2）∵动点从点出发，速度为每秒4个单位长度， 当时，， 当时，； （3）∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止， ∴ 当时，，， ，， ， 当时，，， ，， ， 综上所述，或； （4）当时，如下图，， ，， ， ， ， 则为等腰直角三角形， ， ； 当时，如下图，可得为等腰直角三角形， ， ； 当时，此时P与B重合，， 当时，如下图，此时，舍去． 综上所述，或或． 43．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 【答案】(1) 证明：把绕点逆时针旋转到， ，，即， ，即， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ； (2) 证明：，，， ， 平分， ， ，， ，， ， ， ， ； (3) 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，即，结合，即，等量代换可得，，从而证得，可得，等量代换可得，从而得证； （2）根据等腰三角形三线合一可得，进而结合角平分线的性质可求得的度数，即可得到的度数，根据外角的性质和等腰直角三角形的性质，结合角的等量代换可求得，证得，从而得证； （3）过点作于点，结合角平分线的性质，易得，易证是等腰直角三角形，，利用锐角三角函数求得的长，进而依次求得、、的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点作于点， 平分，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为． 44．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【知识点】与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 45．（25-26八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图（1），．点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等；；理由如下； (2)存在；或使得与全等． 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、方程组的应用等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）利用“”证得得出，进一步得出进而证明结论； （2）与全等，分和两种情况，分别根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：与全等，，理由如下： 当时，， ， ， ∴, ， ， 在和中， ， ， ， , . （2）解:由题意可知，， ①若，则， ∴，解得：； ②若，则， ∴，解得：。 综上可得，存在或使得与全等． 💯 课后巩固 复习建议 · 高、中线、角平分线都是线段，注意钝角三角形高的位置 · 等腰三角形与三边关系问题务必分类讨论并检验能否构成三角形 · 证明全等先找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），再选判定 · 角平分线作垂线、垂直平分线连端点，是两类最常用的辅助线 · 压轴题善于设未知数、找直角三角形列方程，动点问题分类不遗漏 【作业1】．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】垂线段最短、根据三角形中线求面积 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 【作业3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由可得， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 【作业4】．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的性质定理 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正确；进而得，②正确；由得，③正确；点是线段上任意一点，由与不平行，与不平行，得，故，④不正确，所以有3个正确． 【详解】解： 平分 平分 平分,故①正确； ,故②正确； ，故③正确； 如图，点是线段上任意一点 与不平行，与不平行 ，故④不正确， 所以，正确的个数有3个． 故选：C． 【作业5】．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等. 掌握这些判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 解法一：过作于，连接；由折叠的性质及等腰三角形的性质证明 ，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解； 解法二：过作于，过作于，连接，在上截取，由等边三角形的定义得是等边三角形，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解. 【详解】解：解法一：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵ ， ，， ∴，，， 和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ， ∵，， ， ， 故选B； 解法二：如图，过作于，过作于，连接，在上截取， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 故选：B． 【作业6】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【答案】6或或 【知识点】列代数式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题通过证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，，和，四种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， ①当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ③当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ④当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 【作业7】．（25-26九年级上·全国·课前预习）如图，在中，，，BD平分交AC于点D，若E为BD的中点，，则________． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了角平分线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 在中， 平分得出，结合等腰三角形的性质求出的长度． 【详解】∵，点为的中点， 平分， 故答案为：． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】如图，延长交于点，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由翻折的性质可知，，，可得是的垂直平分线，得到， ，设，则，在和中，由勾股定理得，即得到，解得，得到，，由，得到，，进而得到，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【作业9】．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【答案】 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【作业10】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，，N为线段AB上的任意一点，的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则的最小值是________． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、等边三角形的性质 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用． 过点作交于点，交于点，当、、三点共线时，有最小值为，求出的值即为所求． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值为， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 【作业11】．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 【答案】/ 【知识点】两直线平行内错角相等、两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 【作业12】．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 【答案】(1)， 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2) (3)16或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： （一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______； A．   B．    C．    D． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明 如图，在边上找一点，使点到点的距离等于点到边的距离． 【答案】（一）（1）C； （2）①证明：由作法可得，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②正确； ③角平分线的判定定理； （3）如图， 根据作图可知：，垂直平分， ∵到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， ∴此时的垂直平分线过点O， ∵，， ∴根据等腰三角形三线合一可知，平分． （二）如图，点E即为所求作的点． 根据作图可知：，平分， 因为角平分线上点到角的两边距离相等，所以点E到的距离等于点E到的距离， 即点E到点B的距离等于点E到的距离． 【知识点】角平分线的判定定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、全等三角形综合问题 【分析】（一）（1）连接，，由作图可得，，证明得出，即可得解； （2）①由作法可得，证明，得出，即可得证； ②由作法可得，，，从而得出，证明，得出证明，得出，最后证明，得出，即可得解； ③根据角平分线的判定进行求解即可； （3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，则过点O，即为的平分线； （二）延长，过点B作，交的延长线于点D，作的角平分线，交于点E，则点E即为所求作的点． 【详解】解：（一）（1）连接，， 由作法可得，， ∵， ∴， ∴， ∴射线就是的角平分线的依据是， 故选：C； （2）①略 ②正确，理由如下： 由作法可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分； ③根据作图可知：点P到的距离等于直尺的宽度，点P到的距离等于直尺的宽度， ∵直尺的宽度不变， ∴点P到的距离等于点P到的距离， ∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴平分， 即丙同学的这种作角平分线的依据是角平分线的判定定理； （3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，则过点O，即为的平分线； （二）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【作业14】．（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等、线段垂直平分线的性质、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 【作业15】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 【答案】 （1）证明：如图，过点C作，交延长线于点D， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴．， （2）为等腰直角三角形， 理由如下： 过点作，交延长线于点，连接 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形内角和为，即：， ，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）如图：连接，过点B作，且，取中点，即为藏宝地点， 由作法可知：是等腰直角三角形， 由（2）可知：藏宝地点是的中点． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作，交延长线于点D，容易证明，由此得出，，进而可证明，即可得出，由此证明； （2）过点作，交延长线于点，连接，同理可以证明，进而可得，，再利用五边形内角和为，结合，，可得，而，由此证明，进而可得，得出，，由可得是等腰直角三角形，再由是中点得出，即可得出为等腰直角三角形． （3）构造同（2）的是等腰直角三角形，取的中点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握三角形高、中线、角平分线的概念，会用中线性质求三角形面积 · 灵活运用三边关系确定第三边范围，熟练解决等腰三角形分类讨论问题 · 掌握全等三角形五种判定方法，能在复杂图形中规范寻找条件完成证明 · 掌握角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，会作常见辅助线 · 能解决旋转、折叠、动点、最短路径等三角形综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的重要线段与面积 三角形的高：从顶点向对边（或延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段；钝角三角形有两条高在外部 三角形的中线：顶点与对边中点的连线，中线把三角形分成面积相等的两部分 三角形的角平分线：内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 等底等高的三角形面积相等，中线、角平分线上的点常用来转化高 概念辨析例题：在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为20，求△ABD的面积。 答案：△ABD的面积为10 解析：AD是中线，则BD=DC，△ABD与△ADC等底同高、面积相等，故△ABD的面积为20÷2=10。 ☆ 2.三边关系与等腰三角形 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 已知两边a、b，第三边c满足|a-b|<c<a+b；求整数解时常结合不等式 等腰三角形分腰与底两类讨论，求出后必须用三边关系检验能否构成三角形 格点中画等腰三角形：分别以已知线段为底、为腰分类计数，避免重复或遗漏 概念辨析例题：等腰三角形两边长为4和9，求它的周长。 答案：周长为22 解析：若4为腰，则三边4、4、9，4+4<9不能构成三角形；若9为腰，则三边9、9、4，能构成，周长为9+9+4=22。 ☆ 3.全等三角形的判定与性质 全等三角形对应边相等、对应角相等，是证明线段或角相等的主要手段 判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL；SAS中的角必须是夹角 找条件时先挖隐含条件：公共边、公共角、对顶角、平行线带来的角相等 证明思路：要证的边（角）所在的两个三角形是否全等，缺什么条件就证什么 概念辨析例题：如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D。 答案：可由SSS证△ABC≌△ADC，得∠B=∠D 解析：连接AC，在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS得两三角形全等，故对应角∠B=∠D。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反之亦然 见到角平分线常向两边作垂线；见到垂直平分线常连接端点得到等线段 三角形三条角平分线交于一点（内心），三边垂直平分线交于一点（外心） 概念辨析例题：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若D到AB的距离为3，求CD的长。 答案：CD=3 解析：AD是角平分线，DC⊥AC，D到AB的垂线段为距离，由角平分线性质得CD等于D到AB的距离，即CD=3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形的中线 顶点与对边中点的线段 平分三角形面积 三边关系 |a-b|<c<a+b 较短两边之和大于最长边 等腰三角形 等边对等角，分类讨论 求出后检验能否构成三角形 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL SAS的角必须是夹角 角平分线 到角两边距离相等 常向两边作垂线 垂直平分线 到线段两端距离相等 常连接端点得等线段 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的重要线段与面积（第1-3题） · 中线把三角形分成面积相等的两部分，面积问题常先找中点 · 角平分线上的点到两边距离相等，可把高转化为线段长 · 遇垂线、最短距离问题联想垂线段最短 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是一个正在修建的公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为6，则的面积为______． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【考点2】三边关系与格点等腰三角形（第4-6题） · 判断能否构成三角形：较短两边之和大于最长边 · 已知两边求第三边范围用|a-b|<c<a+b，求整数解结合不等式 · 格点等腰三角形以已知边为底、为腰分别计数 4．（25-26七年级上·广东广州·开学考试）一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 5．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为__________（填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为__________． 【考点3】全等三角形的判定与基本证明（第7-12题） · 先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件，再选判定方法 · 添加条件题：从已知出发补齐一种判定，注意SSA不能判定 · 要证线段（角）相等，先看它们分别在哪两个三角形中 7．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 10．（22-23八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴______ ∴______ 又∵， ∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【考点4】角平分线的性质与判定综合（第13-16题） · 角平分线上的点向两边作垂线，得到两条相等的垂线段 · 面积法：用角平分线性质转化高，结合面积公式求线段 · 平行线+角平分线常推出等腰三角形 13．（20-21八年级下·江苏南通·开学考试）如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ）    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 14．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 16．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【考点5】线段垂直平分线与折叠（第17-19题） · 垂直平分线上的点到两端距离相等，连接端点转化线段 · 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，设未知数列方程 · 与三线合一结合时，注意等腰三角形底边的高与中线重合 17．（23-24八年级上·四川广元·期末）如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上中点，M为线段上一动点，则的周长最小值为___________． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图中，，，为边的中点，点和点分别为边和上的动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 19．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【考点6】等腰、等边与含30°直角三角形（第20-25题） · 等边对等角、等角对等边，等腰问题常作底边上的高 · 含30°角的直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半 · 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是求线段长的常用结论 20．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 22．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为________ 23．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，D是上的一点，连接，在的延长线上取一点E，使得，若，，当是等边三角形时，则的长是______． 24．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿射线AC方向以每秒2个单位长度的速度运动，连接BD，则当是等腰三角形时，运动时间为________s． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数； （4）拓展探究：如图④，以等腰的腰为直角边作，且， ，连接，求的最大值． 【考点7】旋转与全等综合模型（第26-34题） · 旋转不改变图形形状大小，旋转前后对应边、对应角相等 · 旋转后常出现新的全等三角形，注意旋转角与等腰三角形的联系 · 等边三角形、正方形背景下的旋转常与全等、勾股结合考查 26．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：； ； ； ，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 27．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B．1 C． D．2 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为______． 30．（2022八年级·江苏无锡·竞赛）如图，在中，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，，，连接，若，则的度数为________°． 31．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是__________． 32．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明． 33．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 34．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【考点8】勾股定理与动点、最短路径压轴综合（第35-45题） · 压轴题中先在图中找出直角三角形，用a2+b2=c2列方程 · 动点问题用含未知数的式子表示线段长，抓住等量关系建立方程 · 最短路径问题通过作对称或展开图形，把折线转化为两点间线段 · 倍长中线、垂线模型等辅助线把分散条件集中到全等三角形中 35．（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）如图，在等腰中，，，边上有一点，连接，将沿翻折得到，连接，若平分，则点到的距离为（   ） A．1 B． C． D． 36．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 38．（24-25八年级上·江苏常州·期末）定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，的角平分线，相交于点，则四边形的面积为___________． 40．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 41．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 42．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止，若点、点同时出发，当点到达终点时，点也停止运动，设点运动的时间为（秒）． (1)连结，当将的面积二等分时，求的值； (2)用含的代数式表示的长； (3)当时，求的面积； (4)当所在的直线与的某一边平行或垂直时，直接写出的值． 43．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 44．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 45．（25-26八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图（1），．点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 高、中线、角平分线都是线段，注意钝角三角形高的位置 · 等腰三角形与三边关系问题务必分类讨论并检验能否构成三角形 · 证明全等先找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），再选判定 · 角平分线作垂线、垂直平分线连端点，是两类最常用的辅助线 · 压轴题善于设未知数、找直角三角形列方程，动点问题分类不遗漏 【作业1】．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【作业2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【作业3】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【作业4】．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【作业7】．（25-26九年级上·全国·课前预习）如图，在中，，，BD平分交AC于点D，若E为BD的中点，，则________． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于______． 【作业9】．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【作业10】．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，，N为线段AB上的任意一点，的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则的最小值是________． 【作业11】．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 【作业12】．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： （一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______； A．   B．    C．    D． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明 如图，在边上找一点，使点到点的距离等于点到边的距离． 【作业14】．（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【作业15】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $