专题04实数的初步认识期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题04实数的初步认识期中复习讲义 1.解平方根、算术平方根概念，分清两者区别；掌握平方根性质，会求非负数的平方根与算术平方根；利用被开方数≥0 求字母取值范围。 2.理解立方根定义与性质，会求一个数的立方根；对比平方根、立方根的异同，会利用开方解方程。 3.认识无理数（无限不循环小数），掌握实数分类；知道实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上画出简单无理数对应的点。 4.掌握实数大小比较，会估算无理数的整数、小数部分；会求实数字的相反数、绝对值，完成简单实数运算。 5.了解近似数概念，会按要求取近似值，能用计算器进行开方近似计算。 6.综合平方根、立方根、实数知识，解决求值、估算、简单证明类题型。 7.重点易错点：正数有两个平方根，算术平方根只有非负一个；负数没有平方根，但负数有立方根；区分无理数和无限小数。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★ 题型六 求一个数的平方根 ★ 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 ★★ 题型八 利用平方根解方程 ★★ 题型九 求一个数的立方根 ★ 题型十 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十一 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型十二 立方根的实际应用 ★★ 题型十三 无理数 ★ 题型十四 无理数的大小估算 ★★ 题型十五 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型十六 实数的分类与性质 ★ 题型十七 实数与数轴 ★★ 题型十八 实数的大小比较 ★★ 题型十九 程序设计与实数运算 ★★★ 题型二十 求一个数的近似数 ★ 题型二十一 求近似数的精确度 ★ 题型二十二 近似数推断取值范围 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础概念 1. 乘方与开方（互逆运算） 求相同因数积的运算叫做乘方；已知幂和指数，求底数的运算叫做开方，平方与开平方互为逆运算。 2. 平方根 (1)定义：如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 (2)符号表示 正数 a 的平方根记作±； 读作：正负根号 a； 其中 a 叫做被开方数。 3. 算术平方根 (1)定义：正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根。 (2)符号表示：记作(a) ；读作：根号 a。 (3)规定：0的算术平方根是0。 4. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:平方根的性质（重点） 正数：有两个平方根，它们互为相反数； 0：只有一个平方根，就是它本身（0）； 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不为负数）。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。 重点：根指数 3 绝对不能省略。 2.立方根性质（和平方根核心区分点） (1)正数的立方根是正数； (2)0 的立方根是0； (3)负数的立方根是负数； (4)任意实数都有且只有 1 个立方根。 3.重要公式 立方无双重非负性限制，不用加绝对值。 知识点04:立方根与平方根的区别 知识点05.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点06.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点07.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点08:实数的相关概念 知识点09:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点10:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 知识点11.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 题型一：求一个数的算术平方根 1．计算：_______． 2．若，则的值为（     ） A．－16 B．16 C．－2 D．2 3．若，则______． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 4．若，则___________ 5．若，则的平方根为________． 6．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 题型三：估计算术平方根的取值范围 7．若整数满足，则的值是_________． 8．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 9．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 题型四：与算术平方根有关的规律探索题 10．若，，则______． 11．在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 12．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 题型五：算术平方根的实际应用 13．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 14．一间面积为的客厅，若选用相同规格的正方形地砖，正好用50块完整地砖铺满地面，则该款地砖的边长为__________． 15．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 题型六：求一个数的平方根 16．的平方根是___________． 17．如果是1024的两个平方根，那么_____． 18．已知，则的平方根是_____________ ． 题型七：已知一个数的平方根，求这个数 19．如果的平方根是，那么______． 20．若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 21．一个正数的平方根分别是与，则a的值为________． 22．已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（    ） A．1或9 B．3 C．1 D．81 题型八：利用平方根解方程 23．若，则x的值为______． 24．方程的解是____． 25．若 ，则x的值为___． 26．若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 题型九：求一个数的立方根 27．实数64的立方根是（     ） A．4 B． C．16 D．32 28．若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 29．对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（   ） A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是 题型十：已知一个数的立方根，求这个数 30．若一个数的立方根是，则这个数是__________． 31．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为__________． 32．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 题型十一：与立方根有关的规律探索 33．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 34．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 35．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 题型十二：立方根的实际应用 36．已知一个正方体的体积为，则它的棱长是（     ） A． B． C． D． 37．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 38．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型十三：无理数 39．给出下列一组数：，，，，，其中，无理数的个数是_______个． 40．在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 41．下列实数中：，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十四：无理数的大小估算 42．已知是整数，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 43．设，则对于实数m的范围判断正确的是（     ） A． B． C． D． 44．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十五：无理数整数部分的有关计算 45．已知的整数部分是，则的值为_____． 46．若，则所有满足条件的整数之和为________． 47．已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 题型十六：实数的分类与性质 48．在，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1），，，中，无理数的个数是（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 49．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 50．在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ___________；无理数有 ___________．（填写序号） 51．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 题型十七：实数与数轴 52．点A，B在数轴上表示的数分别是1和，点C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为__________ 53．如图，以数轴上的2个单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是________． 54．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 题型十八：实数的大小比较 55．下列四个数中，比0小的数是（     ） A． B． C． D． 56．下列各数中，数值最小的是（    ） A． B． C． D． 57．在中，最大与最小实数的和是（    ） A． B． C．0 D．1 题型十九：程序设计与实数运算 58．如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 59．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为_______ （2）分析发现，当非负实数x取_______时，该程序无法输出y的值． 60．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（     ） A． B． C．5 D． 题型二十：求一个数的近似数 61．用四舍五入法，将78950000精确到十万位得到近似值是________． 62．小商店9月份（30天）的利润是6500元，则小商店9月份平均每天的利润大约为___________元（结果精确到个位）． 63．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 题型二十一：求近似数的精确度 64．将数5.678用四舍五入法精确到0.01为______． 65．的相反数是______，______，近似数精确到______位． 66．下列说法中正确的是（    ） A．近似数6.9×104是精确到十分位 B．将80360精确到千位为8.0×104 C．近似数17.8350是精确到0.001 D．近似数149.60与1.496×102相同 题型二十二：近似数推断取值范围 67．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是，这个三位小数最大是_____． 68．【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 69．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 解答题 70．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 71．某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 72．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 73．阅读下列材料，回答问题． 材料1：若一个整数能写成另一个整数的平方，则这个整数就是一个完全平方数． 如：，则n是完全平方数． 完全平方数的排列顺序：，，，，，，……，即0，1，4，9，16，25，……． 材料2：将一个无理数的平方置于两个相邻的完全平方数之间，然后再同时开平方． 如：把的平方，置于两个相邻的完全平方数1和4之间，即，∴，由此我们就知道了无理数的大致位置介于1和2之间． 材料3：若一个无理数q的值，介于两个连续整数之间，即，我们称无理数q的“有理区间”为．如：的“有理区间”为． (1)请你写出三个大于200且小于300的完全平方数：__________． (2)求的“有理区间”． (3)若某个无理数的“有理区间”为，且，是整数，请你直接写出代数式的值． 74．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题， (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________． (4) 75．小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04实数的初步认识期中复习讲义 1.解平方根、算术平方根概念，分清两者区别；掌握平方根性质，会求非负数的平方根与算术平方根；利用被开方数≥0 求字母取值范围。 2.理解立方根定义与性质，会求一个数的立方根；对比平方根、立方根的异同，会利用开方解方程。 3.认识无理数（无限不循环小数），掌握实数分类；知道实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上画出简单无理数对应的点。 4.掌握实数大小比较，会估算无理数的整数、小数部分；会求实数字的相反数、绝对值，完成简单实数运算。 5.了解近似数概念，会按要求取近似值，能用计算器进行开方近似计算。 6.综合平方根、立方根、实数知识，解决求值、估算、简单证明类题型。 7.重点易错点：正数有两个平方根，算术平方根只有非负一个；负数没有平方根，但负数有立方根；区分无理数和无限小数。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★ 题型六 求一个数的平方根 ★ 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 ★★ 题型八 利用平方根解方程 ★★ 题型九 求一个数的立方根 ★ 题型十 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十一 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型十二 立方根的实际应用 ★★ 题型十三 无理数 ★ 题型十四 无理数的大小估算 ★★ 题型十五 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型十六 实数的分类与性质 ★ 题型十七 实数与数轴 ★★ 题型十八 实数的大小比较 ★★ 题型十九 程序设计与实数运算 ★★★ 题型二十 求一个数的近似数 ★ 题型二十一 求近似数的精确度 ★ 题型二十二 近似数推断取值范围 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础概念 1. 乘方与开方（互逆运算） 求相同因数积的运算叫做乘方；已知幂和指数，求底数的运算叫做开方，平方与开平方互为逆运算。 2. 平方根 (1)定义：如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 (2)符号表示 正数 a 的平方根记作±； 读作：正负根号 a； 其中 a 叫做被开方数。 3. 算术平方根 (1)定义：正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根。 (2)符号表示：记作(a) ；读作：根号 a。 (3)规定：0的算术平方根是0。 4. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:平方根的性质（重点） 正数：有两个平方根，它们互为相反数； 0：只有一个平方根，就是它本身（0）； 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不为负数）。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。 重点：根指数 3 绝对不能省略。 2.立方根性质（和平方根核心区分点） (1)正数的立方根是正数； (2)0 的立方根是0； (3)负数的立方根是负数； (4)任意实数都有且只有 1 个立方根。 3.重要公式 立方无双重非负性限制，不用加绝对值。 知识点04:立方根与平方根的区别 知识点05.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点06.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点07.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点08:实数的相关概念 知识点09:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点10:实数的运算 1.运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然成立。 2.运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 3.近似计算：遇到无理数且需要求值时，可取近似小数计算。 知识点11.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 题型一：求一个数的算术平方根 1．计算：_______． 【答案】5 【详解】解：． 2．若，则的值为（     ） A．－16 B．16 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 3．若，则______． 【答案】 5 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：，， ， 解得：，， ． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 4．若，则___________ 【答案】 【分析】根据算术平方根和乘方的非负性可得，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 5．若，则的平方根为________． 【答案】 【分析】根据绝对值和完全平方式的非负性求得，的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 6．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 题型三：估计算术平方根的取值范围 7．若整数满足，则的值是_________． 【答案】 3 【分析】估算的取值范围，确定其介于哪两个连续整数之间，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ 整数满足 ， ∴． 8．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 9．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 题型四：与算术平方根有关的规律探索题 10．若，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可． 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 11．在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 【答案】 【分析】先计算给出的前三个式子，归纳得到运算规律，再利用规律求解结果. 【详解】解：， ， ， 观察可得规律：. ∴. ， . 12．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 题型五：算术平方根的实际应用 13．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 14．一间面积为的客厅，若选用相同规格的正方形地砖，正好用50块完整地砖铺满地面，则该款地砖的边长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：， 即该款地砖的边长为． 15．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题． 【详解】解：分割图形如下： ∵正方形的面积为， 故这个正方形的边长是：． 题型六：求一个数的平方根 16．的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：的平方根是． 17．如果是1024的两个平方根，那么_____． 【答案】 【详解】解：∵是1024的两个平方根， ∴， ∵1024的平方根是， ∴， ∴． 18．已知，则的平方根是_____________ ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．还考查了平方根的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 即， 解得， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 题型七：已知一个数的平方根，求这个数 19．如果的平方根是，那么______． 【答案】 【详解】解：的平方根是， ∴． 20．若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，据此建立关于的方程，求解后再计算的值． 【详解】解：与是同一个正数的两个不同的平方根， ， 去括号，合并同类项得， 解得， ． 21．一个正数的平方根分别是与，则a的值为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得 ， 解得 ． 22．已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（    ） A．1或9 B．3 C．1 D．81 【答案】A 【分析】首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：当两数互为相反数时，， 解得：， ，， 则这个正数为9． 当两数相等时， 这个正数是1． 故这个正数为1或9 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 题型八：利用平方根解方程 23．若，则x的值为______． 【答案】或 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【详解】解：变形，得． 根据平方根的意义，可得． 所以或． 24．方程的解是____． 【答案】 【分析】将方程两边平方转化为一元一次方程求解，求解后需检验根的有效性． 【详解】解：， 两边平方，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时，左边＝右边， 因此是原方程的解． 25．若 ，则x的值为___． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题关键是掌握平方根的求法； 先系数化为1，再开平方即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 26．若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 题型九：求一个数的立方根 27．实数64的立方根是（     ） A．4 B． C．16 D．32 【答案】A 【分析】根据立方根的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴实数64的立方根是． 28．若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 29．对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（   ） A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是 【答案】D 【分析】先根据新定义运算求出的结果，再结合相关定义判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的结果没有平方根和算术平方根，立方根为． 题型十：已知一个数的立方根，求这个数 30．若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 即这个数是． 31．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为__________． 【答案】 【分析】观察可知，与互为相反数，求解出后再计算出． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 解得， ∴． 32．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 题型十一：与立方根有关的规律探索 33．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 【答案】 【详解】解：观察各式可知，被开方数扩大（缩小）倍，立方根扩大（缩小）倍， ∵，， ∴，． 34．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 35．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 题型十二：立方根的实际应用 36．已知一个正方体的体积为，则它的棱长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得：， ∴． 37．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 38．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 题型十三：无理数 39．给出下列一组数：，，，，，其中，无理数的个数是_______个． 【答案】 【分析】先根据无理数的定义逐个判断，然后再统计无理数的个数即可． 【详解】解：是整数，属于有理数；是无限不循环小数，是无理数；是分数，属于有理数；开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数；，是整数，属于有理数； 故，无理数共有个． 40．在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次多1个1）．根据无理数的定义，逐一判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 中是无理数，减去有理数1后仍为无理数； （两个1之间依次多一个0）是特殊结构的无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 综上，无理数有、、、，共4个． 故答案为：4． 41．下列实数中：，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先计算立方根，算术平方根，根据无限不循环小数是无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】是有理数，，是无理数，共2个 题型十四：无理数的大小估算 42．已知是整数，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是整数，且， ∴． 43．设，则对于实数m的范围判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算相邻正整数的平方，对比33与这些平方值的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】因为5的平方是25，即，6的平方是36，即，且． 对这个不等式的所有部分同时开算术平方根，不等号方向不变，则， 也就是，即． 44．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用夹逼法估算无理数的范围，先确定的取值范围，再推导得到的范围，即可选出正确选项． 【详解】解：∵ ∴ 不等式两边同时减1，得 不等式两边同时除以2，得． 题型十五：无理数整数部分的有关计算 45．已知的整数部分是，则的值为_____． 【答案】 8 【分析】先估算的取值范围，再推导的取值范围，即可求出其整数部分的值. 【详解】解：， ，即， ∴，即， 的整数部分为，即. 46．若，则所有满足条件的整数之和为________． 【答案】 【分析】先估算、的范围，求出不等式范围内的所有整数，再求和即可． 【详解】解：， ， ． ， ． ， 满足条件的整数为：． 则． 47．已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算．先计算，确定的范围，从而得到整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为6， ∴ 小数部分为． 故选：D． 题型十六：实数的分类与性质 48．在，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1），，，中，无理数的个数是（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：是有限小数，是整数，是分数，均是有理数，不是无理数； 开立方开不尽，含，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，开平方开不尽，均是无理数， 故无理数共4个． 49．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 【答案】13 【分析】根据得到，代入得到，从而得到，代入计算即可． 【详解】因为， 解得， 代入得到， 所以， 所以． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了实数的非负性，求代数式的值，熟练掌握实数的非负性，灵活运用整体思想求代数式的值是解题的关键． 50．在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ___________；无理数有 ___________．（填写序号） 【答案】 ⑥⑧ ①⑤⑦ 【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案． 本题考查实数的分类及定义，无理数是指无限不循环小数，大于等于0的整数为非负整数；必须熟练掌握． 【详解】解：， 非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． 51．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 题型十七：实数与数轴 52．点A，B在数轴上表示的数分别是1和，点C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为__________ 【答案】/ 【分析】根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点C表示的数即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴点C表示的数为． 53．如图，以数轴上的2个单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由题意可得，正方形的边长为2，则正方形的面积为4，设正方形的对角线长为，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得，正方形的边长为2， ∴正方形的面积为， 设正方形的对角线长为， ∴， ∴， ∴点可以看作表示4的点向左平移个单位长度得到的，即点表示的数是． 54．图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积由组成正方形的小正方形个数决定，计算即可得出拼接的正方形的边长；观察作图过程得出拼接的正方形的边长=点到的距离，再根据实数与数轴的关系即可求解． 【详解】解：∵由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形 ∴正方形的面积 ∴拼接的正方形的边长， 观察作图过程得出点到的距离， ∴点表示的数是． 题型十八：实数的大小比较 55．下列四个数中，比0小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵负数小于0，正数大于0， ∴比0小的数是. 56．下列各数中，数值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，， ∵，，，，，， ∴， ∴数值最小的是． 57．在中，最大与最小实数的和是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】先比较给定四个实数的大小，找出最大数和最小数，再计算二者的和即可得到结果． 【详解】解：对四个实数进行大小排序 最大的实数是，最小的实数是 ∴． 题型十九：程序设计与实数运算 58．如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 【答案】 【分析】先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可． 【详解】解：第一次输入8时，是有理数， 第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为． 59．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为_______ （2）分析发现，当非负实数x取_______时，该程序无法输出y的值． 【答案】 0或1 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把代入按程序计算即可求出值； （2）0的算术平方根和立方根都是0，1也是一样，不会是无理数，不能输出y值． 【详解】解：（1）当时，，， 当时，； 故答案为：； （2）当时，，，一直计算，0的算术平方根和立方根都是0，不会是无理数，不能输出y值， 当时，，，一直计算，1的算术平方根和立方根都是1，不会是无理数，不能输出y值， ∴当非负实数x取0或1，该程序无法输出y值， 故答案为：0或1． 60．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 题型二十：求一个数的近似数 61．用四舍五入法，将78950000精确到十万位得到近似值是________． 【答案】 【分析】先根据科学记数法将78950000转化为，再利用四舍五入法看万位数字，大于等于5的进1，即可求出答案． 【详解】解：78950000， 78950000精确到十万位得到的近似值是． 62．小商店9月份（30天）的利润是6500元，则小商店9月份平均每天的利润大约为___________元（结果精确到个位）． 【答案】217 【分析】先用除法计算出小商店9月份平均每天的利润，再根据四舍五入的方法求解即可． 【详解】解：（元）． 63．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 【答案】D 【分析】本题考查近似数的计算，熟练掌握取近似值的各种说法及四舍五入求近似值的方法是解题关键．根据四舍五入法，对0.05019按照各选项的精度要求进行近似计算，判断正误． 【详解】A、∵ 0.05019精确到0.1（十分位）时，百分位为5，应进位， ∴ 近似值为0.1，A正确； B、∵ 精确到0.0001（万分位）时，十万分位为9，应进位， ∴ 近似值为0.0502，B正确； C、∵ 精确到千分位时，万分位为1，应舍去， ∴ 近似值为0.050，C正确； D、∵ 精确到百分位时，千分位为0，应舍去， ∴ 近似值为0.05，但D选项为0.10，错误． 故选：D． 题型二十一：求近似数的精确度 64．将数5.678用四舍五入法精确到0.01为______． 【答案】5.68 【分析】精确到0.01，需要对千分位上的数字进行四舍五入，根据四舍五入法则即可得到结果． 【详解】解：5.678的千分位数字是8，，向百分位进1， ∴5.678用四舍五入法精确到0.01为5.68． 65．的相反数是______，______，近似数精确到______位． 【答案】 3 百 【分析】分别根据相反数定义，绝对值性质，近似数精确度的判断方法求解即可． 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴， ∴； 将还原为原数，得到，末尾的数字对应原数的百位，因此该近似数精确到百位． 66．下列说法中正确的是（    ） A．近似数6.9×104是精确到十分位 B．将80360精确到千位为8.0×104 C．近似数17.8350是精确到0.001 D．近似数149.60与1.496×102相同 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度分析判断即可． 【详解】解：A选项，近似数6.9×104是精确到千位，故该选项不符合题意； B选项，将80360精确到千位为8.0×104，故该选项符合题意； C选项，近似数17.8350是精确到0.0001，故该选项不符合题意； D选项，近似数149.60精确到0.01，1.496×102精确到0.1，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字，把科学记数法形式的数字还原为原数是解题的关键． 题型二十二：近似数推断取值范围 67．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是，这个三位小数最大是_____． 【答案】 【分析】四舍五入保留两位小数得到，“四舍”得到近似数时原数更大，因此只需在四舍的情况中求最大的三位小数． 【详解】解：当原三位小数通过“四舍”得到时， ∵ 四舍规则要求千分位上的数小于，舍去后不改变前两位小数， ∴ 千分位最大取，前两位小数为，这个三位小数是． 当原三位小数通过“五入”得到时，原数的前两位为，整体小于，因此这个三位小数最大是． 68．【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论得到近似数的原数，四舍得到近似数时原数更大，五入得到近似数时原数更小，分别确定最大和最小的三位小数即可． 【详解】解：求保留两位小数得到的三位小数，分“四舍”和“五入”两种情况讨论： 若为“四舍”得到，说明千分位上的数小于，舍去后得到，千分位最大取， 因此最大的三位小数是， 若为“五入”得到，说明千分位上的数大于或等于，进后得到，原来的百分位为，千分位最小取， 因此最小的三位小数是． 69．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 解答题 70．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 71．某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）略． 72．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用立方根与算术平方根的含义列方程求解即可； （2）求解，进一步求解即可. 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得． 因为的算术平方根是4， 所以， 解得． （2）解：由（1）得，． 所以． 所以的平方根为． 73．阅读下列材料，回答问题． 材料1：若一个整数能写成另一个整数的平方，则这个整数就是一个完全平方数． 如：，则n是完全平方数． 完全平方数的排列顺序：，，，，，，……，即0，1，4，9，16，25，……． 材料2：将一个无理数的平方置于两个相邻的完全平方数之间，然后再同时开平方． 如：把的平方，置于两个相邻的完全平方数1和4之间，即，∴，由此我们就知道了无理数的大致位置介于1和2之间． 材料3：若一个无理数q的值，介于两个连续整数之间，即，我们称无理数q的“有理区间”为．如：的“有理区间”为． (1)请你写出三个大于200且小于300的完全平方数：__________． (2)求的“有理区间”． (3)若某个无理数的“有理区间”为，且，是整数，请你直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)3或7 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）由于，且，故得到，即，即可写出的“有理区间”； （3）由题意得，，设（k为非负整数），则，由于，故，故列举求解即可． 【详解】（1）解：， 故三个大于200且小于300的完全平方数可以是； （2）解：，且 故，即 ∴的“有理区间”是； （3）解：由题意得，， 已知是整数， 设（k为非负整数），则， 由于 故 当时，此时，不满足，不符合题意； 当时，此时，满足，符合题意； 当时，此时，满足，符合题意； 当时，，不符合题意 综上：代数式的值为3或7． 74．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题， (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________． (4) 【答案】(1)3，； (2) (3) 【分析】（1）利用无理数的估算得出，即可求解； （2）利用无理数的估算得出，，再代入计算求解即可； （3）根据正方形的边长和顶点的位置，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）解：，， ，， 的小数部分为的整数部分为， ，， ， 的平方根为； （3）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， ， 顶点在数轴上，且表示的数为， 点所表示的数是． 75．小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $